Основы устойчивости сооружений

В результате освоения данной главы студент должен: знать

• • основные положения расчета на устойчивость;
• • методы определения критических сил;
• • значения критических сил и расчетных длин центрально сжатых стержней;
• • пределы применимости формулы Эйлера; уметь
• • определять критические параметры расчетных схем статическим способом и на основе метода перемещений;

владеть

• навыками решения практических задач на продольный изгиб.

Основные положения

Системы, применяемые в качестве строительных конструкций, должны находиться в состоянии устойчивого равновесия. Это означает, что если какие-либо случайные причины выведут систему из состояния равновесия, то после удаления этих причин система должна вернуться в первоначальное положение.

Например, простая балка (рис. 16.1, а), загруженная поперечной нагрузкой, находится в состоянии устойчивого равновесия, так как под действием нагрузки она прогибается во вполне определенном направлении, на точно установленную величину, и, следовательно, принимает единственно возможное положение.

Рис. 16.1.

Теперь рассмотрим длинную гибкую стойку (рис. 16.1, б), заделанную одним концом и совершенно свободную на другом, где приложена сжимающая сила. Такая стойка не всегда будет находиться в устойчивом равновесии. При малом значении нагрузки она остается прямой и испытывает простое сжатие, но при постепенном увеличении нагрузки наступает момент, когда прямолинейная форма становится неустойчивой, появляется возможность искривления стойки, причем в любую из двух сторон в плоскости наименьшей жесткости. К действующим напряжениям сжатия в сечениях стойки добавляются напряжения от изгиба. Описанный случай называют продольным изгибом, т. е. изгибом, вызванным продольной силой, действующей вдоль оси стержня, при котором происходит качественное изменение напряженно-деформированного состояния центрально сжатого стержня при достижении какого-то определенного значения нагрузки.

Таким образом, при заданной схеме сооружения и заданной схеме нагрузки устойчивость равновесного состояния зависит от величины нагрузки. Для каждой конкретной расчетной схемы можно найти такую нагрузку, при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой и возможно другое, качественно новое деформированное состояние, тоже являющееся состоянием равновесия.

Например, на рис. 16.2, а — в показаны расчетные схемы кольца, параболической арки и рамы, сечения которых при указанной нагрузке испытывают напряжения центрального сжатия, но при достижении нагрузками величин, обычно называемых критическими (q_cr или F_ct), получают новую изогнутую форму равновесия.

Рис. 16.2.

Выход системы из первоначального состояния равновесия называется потерей устойчивости, а нагрузка, при небольшом превышении которой возможно осуществление новой устойчивой формы равновесия, называется критической нагрузкой.

Явление потери устойчивости в строительных конструкциях опасно тем, что изменение напряженно-деформированного состояния приводит к многократному увеличению напряжений в сечениях элементов расчетной схемы. Кроме того, сам процесс потери устойчивости происходит очень быстро (во многих случаях мгновенно). Оба этих фактора практически приводят к разрушению сооружения. В мировой строительной практике известно достаточное число катастроф с крупными инженерными сооружениями, происшедших в результате потери устойчивости.

Первые исследования потери устойчивости сжатых упругих стержней были выполнены Л. Эйлером (1744 г.).

Построение математической модели задач устойчивости значительно сложнее, чем при решении задач прочности. Поэтому при выборе расчетной схемы для одиночных стержней и рам вводятся дополнительные допущения, практически приводящие все реальные задачи к идеализированным, но позволяющие описать получение решения на основе достаточно простой математической модели:

• 1) полагают, что расчетная схема образована из идеально прямых стержней;
• 2) стержни расчетной схемы до момента потери устойчивости испытывают только продольные деформации;
• 3) в момент потери устойчивости для сплошных стержней учитываются только деформации изгиба, т. е. как и при решении задач прочности, влиянием продольных и поперечных деформаций пренебрегают;
• 4) предполагают, что критическое состояние конструкции при действии нескольких сжимающих сил достигается за счет одновременного их возрастания с сохранением постоянного соотношения между ними;
• 5) рассматривают потерю устойчивости при бесконечно малых деформациях, что позволяет использовать при решении задач приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня у" (х) = -М (х) / EI.

Общепринятыми и часто встречающимися критериями устойчивости являются статический, энергетический и динамический. В данном учебнике будет использован только первый критерий, позволяющий решать задачи устойчивости консервативных систем, т. е. систем, в которых работа, совершаемая внешними силами, не зависит от пути, проделываемого силами при переходе из начального состояния расчетной схемы в конечное (как и при решении задач прочности). Пример консервативных систем показан на рис. 16.1, 6 и 16.2, когда направление приложенных нагрузок не меняется при потере устойчивости.

При использовании статического критерия устойчивости предполагается, что система после потери устойчивости занимает новое равновесное состояние, качественно отличное от первоначального, а следовательно, в равновесии находится и любой бесконечно малый элемент этой системы. Записав дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого элемента в деформированном состоянии под действием внутренних и внешних сил и проинтегрировав эти уравнения, можно найти форму потери устойчивости и критическую нагрузку.