Примеры динамического расчета систем с одной степенью свободы

Пример 1.5. Определим динамический коэффициент, амплитуду вынужденных колебаний и построим эпюру изгибающих моментов от динамической нагрузки для системы, показанной на рис. 1.14, а. Число оборотов двигателя п = 120 об/мин, вертикальная составляющая центробежной силы /?'(/) = 2siп0/ кН, EI = 225 кН • м². Вес двигателя G = 1,8 кН. Собственный вес конструкции нс учитывается.

Рис. 1.14. Расчет системы с одной степенью свободы на вибрационную нагрузку.

Решение

Система статически определимая. Перемещение 6_П от единичной силы, приложенной по направлению перемещения массы (рис. 1.14, б), определяется по формуле Мора.

Эпюра М_{ представлена на рис. 1.14, в. Частота свободных колебаний определяется по формуле (1.4):

Используя формулу (1.14), представим число оборотов через угловую частоту вынужденных колебаний:

Динамический коэффициент определим по формуле (1.33):

Статический прогиб от амплитудного значения возмущающей силы:

Динамический прогиб: г/_днн= ху._л = 2,38 0,04 = 0,095 м.

Статический прогиб от веса двигателя: y_G = G8, = 1,8 — 0,02 = 0,036 м. Максимальный прогиб под двигателем: г/_тах = у_с + г/_дни = 0,036 + 0,095 = 0,131 м. Эпюра изгибающих моментов Л/, от веса двигателя M_G = G приведена на рис. 1.14, г. Динамическая эпюра изгибающих моментов изображена па рис. 1.14, д. Полная эпюра моментов (М = М_а + М_ДШ1) представлена па рис. 1.14, е.

Далее приведем расчет статически неопределимых систем методом сил и методом перемещений.

Пример 1.6. Определим динамический коэффициент, амплитуду вынужденных колебаний и построим эпюру изгибающих моментов от вибрационной нагрузки в двухпролетной неразрезной балке, если в середине левого пролета работает двигатель весом G = 1,5 кН. Двигатель делает 100 об/мин и создает вертикальную составляющую центробежной силы F (t) = 0,8sin0? (рис. 1.15, а). Поперечное сечение постоянное, EI = 120 кНм². Собственный вес балки не учитывается.

Решение

Данный пример аналогичен предыдущему. Основное отличие состоит в том, что система является статически неопределимой, а перемещение от единичной силы по направлению колебания массы 5_П согласно теории необходимо определять в заданной системе (рис. 1.15, б). Балка имеет одну лишнюю связь. Решим задачу методом сил. Основная система приведена на рис. 1.15, в. Каноническое уравнение метода сил запишется следующим образом: 5J/X, + = 0.

Эпюра моментов от X, = 1 показана на рис. 1.15, г. Эпюра изгибающих моментов от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению перемещения массы, приведена на рис. 1.15, д. Вычислим коэффициент 5^, и свободный член 5{/:

Рис. 1.15. Вибрационное воздействие на статически неопределимую систему.

Тогда.

Построим эпюру изгибающих моментов М_х = МХ_х + M°_F (рис. 1.15, е). Определим 8_И (см. рис. 1.15, б):

Угловая частота собственных колебаний согласно формуле (1.13) равна.

Преобразуем число оборотов в минуту в угловую частоту: Затем вычислим динамический коэффициент (1.33):

Используем полученный коэффициент для вычисления динамических прогибов и изгибающих моментов. Получаем.

(здесь F = 0,8 кН — амплитуда вибрационной нагрузки). В максимальный прогиб иод двигателем входит и статический прогиб от веса двигателя:

Момент равен М_лш = xM_F= цА/,/⁷(рис. 1.15, ж).

Если эту эпюру сложить со статической эпюрой моментов от веса двигателя M_cr = M_yG (рис. 1.15, з), то получим полную эпюру изгибающих моментов от заданного воздействия (рис. 1.15, и, где сплошные линии соответствуют М_ст+ М , штриховые линии — Л/_ст — М_Д1Ш).

Пример 1.7. Выполним расчет двухпролетной рамы (рис. 1.16, а) на действие вибрационной нагрузки. В середине правого пролета установлен двигатель весом G = 4 кН, делающий в стационарном режиме 120 об/мин. Он создает вертикальную составляющую центробежной силы F (t) = 2sin0f кН. Собственный вес стержней рамы нс учитывается. Поперечные сечения ригеля и стойки различны, EI = 87,5 кН • м².

Решение

Рассматриваемая система при принятых допущениях имеет одну степень свободы, так как масса может перемещаться только в вертикальном направлении.

Степень статической неопределимости рамы п = 4, а степень кинематической неопределимости равна единице, поэтому расчет выполним методом перемещений.

Рис. 1.16. Расчет рамы на вибрационную нагрузку методом перемещений.

Для определения перемещения 6_И (рис. 1.16, б) от единичной силы, приложенной, но направлению перемещения массы, построим эпюру моментов в заданной системе.

Основная система метода перемещений показана па рис. 1.16, в. Каноническое уравнение r^Z, + r_iF= 0. Эпюра от Z, = 1 приведена на рис. 1.16, г, эпюра от внешней нагрузки — на рис. 1.16, д. Выделяя добавленную связь и составляя уравнения моментов, определим реакции г_п и r, p г_п = 4,5?7; r_lF = -0,75. Подставляя эти значения в каноническое уравнение, найдем.

Построим эпюру изгибающих моментов, пользуясь выражением М_х = MfZ, + M_F (рис. 1.16, е).

Для упрощения вычисления 6_П дополнительно построим эпюру от единичной силы в статически определимой системе (рис. 1.16, ж). Итак,.

Частота свободных колебаний:

Угловая частота вынужденных колебаний:

Динамический коэффициент:

Статический прогиб под двигателем: y_G = С6_И = 4 -0,0057 = 0,0228 м. Статическая эпюра моментов изображена на рис. 1.16, з. Максимальный прогиб под грузом:

Динамическая эпюра изгибающих моментов, построенная по выражению М_т- |дА/,/% изображена на рис. 1.16, и. Полная эпюра моментов при стационарной работе двигателя представлена на рис. 1.16, к (сплошными линиями показана этора М₍. + М_ти, а штриховыми — М_с — М_тн).

Упражнение 1.2. Определите максимальное перемещение массы и постройте эпюру моментов от вибрационной силы в системе, показанной на рис. 1.17. Исходные данные: F (t) = 6OOOsin0? Н; т_х = 500 кг; 0 = 20 с^-1; EI = 18,437 • 10^б Н • м².

Рис. 1.17. Статически определимая система под вибрационной нагрузкой.