Расчет систем с распределенной массой

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • способы замены распределенной массы сосредоточенными массами;
• • вариационный метод решения задач динамики;

уметь

• • вычислять частоты собственных колебаний отдельных стержней аналитическим методом;
• • определять критические скорости ветра при ветровом резонансе для простых конструкций;

владеть

• • методом расчета на ветровой резонанс;
• • навыками оценки частот, определяемых в системах с дискретным расположением масс, с помощью аналитических решений.

Замена распределенной массы сосредоточенными массами

Как отмечалось во введении к разд. I, любое инженерное сооружение изза наличия веса и, следовательно, распределенной массы необходимо рассматривать как систему с бесконечным числом степеней свободы. Там же указывалось на большую трудоемкость расчета таких систем.

Поэтому в тех случаях, когда требуется определить лишь низшие частоты или даже только одну низшую частоту свободных колебаний, можно ограничиться заменой распределенной массы сосредоточенными массами. Примеры замены распределенной массы сосредоточенными приведены на рис. Д. 2 и в примере 2.3. На рис. 3.1 изображена ферма, состоящая из стержней с постоянной распределенной массой т и с одинаковой длиной стержней /. Масса приведена к узлам фермы, чтобы, как обычно в фермах, исключить изгиб стержней при динамическом расчете.

Естественно, что на конструкции может находиться оборудование (станки, механизмы и др.), масса которого в динамическом расчете также.

Рис. 3.1. Замена распределенной массы узловой в ферме представляется сосредоточенной. Она добавляется к сосредоточенным массам, полученным за счет распределенной массы, либо учитывается непосредственно.

Приведение системы с бесконечным числом степеней свободы к системе с небольшим числом степеней свободы позволяет определять с большой точностью лишь низшую частоту свободных колебаний. Для получения последующих частот с достаточной точностью необходимо увеличивать число сосредоточенных масс, а с ними и число степеней свободы, что, разумеется, ведет и к увеличению трудоемкости расчета. Некоторые затруднения встречаются при замене распределенной массы сосредоточенными массами в несимметричных сложных системах, где результат заметно зависит от удачного выбора места сосредоточенных масс. В простейших же системах результат получается достаточно точным.

Пример 3.1. Определим частоту свободных колебаний однопролстной шарнирно опертой балки с равномерно распределенной массой.

Решение

По правилу рычага распределим массу в середину пролета и по опорам. Массы на опорах при принятых допущениях не будут колебаться. В середине пролета значение сосредоточенной массы будет равно т_х = 0,5ml, т. е. в итоге получим систему с одной степенью свободы. Низшую частоту определим по формуле (1.4).

/³

48?/.

Прогиб в середине балки от единичной силы, как известно, равен 8_И

Тогда.

Точное значение, как будет показано ниже, равно.

Расхождение составляет лишь 0,7%.