Воздействие импульсов различной формы на систему с одной степенью свободы

Импульс в форме трапеции. В трапецеидальном импульсе изменение усилия происходит по линейному закону. Форма импульса представлена на рис. 5.12 [14].

Решим эту задачу с использованием преобразования Фурье и интегрирования с помощью вычетов при нулевых начальных условиях [14]. Совершенно очевидно, что при рассматриваемом воздействии будут два решения:

1) для времени ?, x_v когда будут иметь место только свободные колебания. При t_{ = т, оба решения совпадают. При силовом.

Рис. 5.12. Форма трапецеидального импульса Введем обозначение F (со) = У (о))(-8₁₁/?г₁со² + 8_n(ipco + 1), что представляет собой спектральную функцию временномй функции /(f). Из приведенного выражения получаем.

где К (т) =-5—— - — комплексная передаточная функция,.

(-о_п/72,(0″ + S, p,2w+1).

представляющая свойства системы. Она имеет один и тот же вид для всех систем с одной степенью свободы. Представим ее в более удобном виде, разделив числитель и знаменатель на (-8,///,) и учтя обозначение со² = 1/(8,1772,). В результате имеем.

Окончательное выражение для г/,(?) примет вид.

Выражение (5.17) удобно тем, что в нем решение представлено в виде произведения двух функций, одна из которых характеризует свойства системы, а другая — вид воздействия. Этим выражением удобно пользоваться для отыскания частных решений при нулевых начальных условиях.

воздействии уравнение колебаний с учетом сил сопротивления будет следующим:

Общее решение этого уравнения известно. Частное решение будем искать в виде

Здесь Y (co) — комплексная функция вещественного аргумента [22]; со — спектральная переменная. Подставим решение (5.15) в уравнение (5.14):

Продолжение решения требует введения функции времени, чтобы иметь возможность определить спектральную функцию F (со). Спектральная функция связана с задаваемой функцией времени обратным преобразованием Фурье [5]:

В свою очередь Для определенности рассмотрим колебание только по одной координате, например горизонтальной или вертикальной, т. е. учтем влияние продольной или поперечной волны. При одновременном волновом воздействии по равным направлениям задача решается с помощью принципа независимости действия сил. Предлагаемое решение распространяется только на линейные системы.

Функция времени для изображенного импульса имеет вид.

F₂-F_x

где 5=-.

h

Так как воздействие продолжается только в течение времени т, то спектральную функцию без постоянных множителей вычислим в пределах от О до x_t по формуле (5.19):

Вычислим интегралы для каждого члена спектральной функции отдельно, пользуясь выражениями (5.16) и (5.17). Первый интеграл:

Аналитическое продолжение:

Особые точки находятся из равенств z² — 2а_{iz — cof = 0 и z = 0. Итак,.

Здесь res, — вычеты.

Заменим показательные функции тригонометрическими по формуле Эйлера (1.7):

Следующий интеграл:

Введем обозначение.

Тогда интеграл /₂ будет отличаться от предыдущего только временем и знаком, т. е.

Перейдем к следующему интегралу:

Опять введем обозначение (5.25). В итоге придем к первому интегралу, но с другими множителем и временем:

В следующем интеграле сразу введем обозначение (5.25):

В этом интеграле две особые точки являются полюсами первого порядка. Их значения приведены в (5.23). Имеем.

Определим вычеты:

Особая точка г, является полюсом второго порядка. Вычеты в полюсе произвольного порядка т вычисляются по формуле [22].

В данном случае при т = 2.

Заменим показательные функции тригонометрическими по формуле Эйлера:

И последний интеграл:

Этот интеграл отличается от предыдущего только временем и знаком:

Полное перемещение равно сумме интегралов:

Решение получено для всей временной оси. Выделим из него решение для времени, в течение которого действует импульс, т. е. для времени t < т,. Оно получается из суммы (5.29), если принять t₂ = 0:

Теперь выделим решение для времени ! > т,. При отсутствии воздействия в сумме (5.29) останутся только члены, представляющие свободные колебания, т. е. члены с множителями ехр (-а,?,) и ехр (-а/₂):

Нетрудно видеть, что полученное решение можно использовать и для импульсов прямоугольной и треугольной формы, принимая соответствующие значения F, и F₂.

Знание перемещений позволяет определить усилия в конструкции. В общем случае усилия определяются на основе принципа независимости действия сил. Например, для произвольного сечения.

где S_kF — усилие в рассматриваемом сечении от F= 1; S_kl — усилие от статического приложения единичной силыJ_x = 1.

Величины S_kF и Sи находятся из статического расчета.

Сила инерции вычисляется обычным путем, т. е.

Для вычисления усилий необходимо найти силы инерции. Они определяются выражением (5.32) и, так же как и перемещения, будут различными для времени действия импульса и для свободных колебаний. Определим силу инерции для времени t < т,. С этой целью возьмем вторую производную по времени от выражения (5.30), принимая, ради упрощения, время в показателе постоянным, и подставим это выражение в формулу (5.32):

Естественно, при t = т, оба выражения сил инерции дают одинаковые значения.

Пример 5.5. Продемонстрируем на конкретном примере использование полученных выражений для перемещений от импульса. Допустим, что па систему с одной степенью свободы действует сила, изменяющаяся по линейному закону. Сила представляет собой треугольный импульс:

где т — время действия импульса. Для времени I < т возьмем выражение (5.30). Чтобы получить треугольный импульс, примем = 0 и из-за краткости процесса не будем учитывать демпфирование, т. е. примем, что, а = 0. В итоге получим следующее выражение:

Для времени t > т возьмем уравнение (5.31). При принятых выше условиях оно будет таким:

где t₂ = t_x- т.

Рассмотрим числовой пример (рис. 5.13). Схема системы: балка — двутавр № 40,.

пЕ 3 ql

Е = 19,6? 10⁷ кН/м²; I = 2,385 • 10 ⁴ м⁴; w = —- - 0,55 486 м; т. = —— = 4,587 т;

^п 8 EJ ¹ 8−9,81.

F- ^31 012 = 45кН; х = 0,69 с; 6, = — = 0,1 233 м/кН; <�о, = /—!— = 4,205 с '. 8 «F К⁸п.

Рис. 5.13? Расчетная схема системы Подставляя эти значения в выражения перемещений, получим график колебаний массы т_л во времени (рис. 5.14). На графике горизонтальные линии отделяют г/,, ^а вертикальная линия указывает на место, где стыкуются уравнения, т. е. на время ?, = т. Максимальное перемещение равно 0,633 м, что больше у_СТ на 14%. Если воспользоваться выражением (1.44), то максимальное перемещение y (t) = 0,1 233 • 0,5 • 45 • 0,69 • 4,205 = 0,8059 м, что менее точно.

Рис. 5.14. Колебание массы от треугольного импульса Импульс криволинейной формы. Нагрузка имеет зависимость F (t) = Fe ^st. Вид нагружения приведен на рис. 5.15. Функция времени в данном случае.

где F — обобщенная сила; 5 — постоянное число.

Рис. 5.15. Форма импульса Подставим F (t) в выражение для спектральной функции (5.19):

Ограничим пределы интегрирования, взяв нижний предел равным нулю:

Интеграл табличный. В указанных пределах он определяется выражением.

Спектральную функцию F (со) и передаточную функцию K (i (o) из формулы (5.16) подставим в выражение (5.17):

Этот интеграл, имеющий тип (5.19), вычислим с помощью вычетов. Первые две особые точки приведены в (5.23). Третья находится из выражения iz + s = 0: z₃ = si.

Все особые точки являются полюсами первого порядка, поэтому вычеты определяются выражениями, приведенными для импульса в форме трапеции.

Далее возьмем аналитическое продолжение функции:

Представим квадратное уравнение через его корни:

Запишем:

Подставим значение вычетов в выражение для перемещения (5.33):

Показательные функции заменим тригонометрическими по формуле Эйлера (1.7):

При нулевых начальных условиях это решение будет окончательным. При ненулевых начальных условиях к решению (5.34) нужно добавить решение (1.10).

Введем обозначение.

Тогда полное решение примет вид.

Динамический коэффициент в рассматриваемом случае отличается от выражения (5.34) только отсутствием множителя A_lf.

Импульс в виде полуволны синусоиды. Форма показана на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Форма импульса в виде синусоиды.

Для этой формы приведем окончательный результат без вывода. Решение для времени t_x < т:

Выражение динамического коэффициента при а, = 0 имеет вид.

Для получения окончательного перемещения при t_{ > т, получим.

Импульс прямоугольной формы. Для этой формы решение легко получить из выражений (5.30) и (5.31), приняв в них F₂ = F_v

Мгновенный импульс. Окончательное решение для этого импульса следующее:

При, а = 0 оно совпадает с решением (1.44).

Пример 5.6. В этом примере представим графическое изображение трех импульсов. В качестве объекта принята шарнирно опертая балка из двутавра № 40. Общие исходные данные: Е = 19,6 -10¹⁰ Н/м²; I = 2,385 • 10^-4 м⁴; / = 12,33 м;

Дополнительные данные: для прямоугольника т = 0,5 с; для криволинейной.

п

формы 5 = 9; для синусоиды т = 0,5 с и 0 = «.

т Анализ графиков показывает, что наибольший динамический эффект возникает от внезапно приложенной нагрузки (р —⁵— 2 при оц = 0). С этой точки зрения следует рекомендовать по возможности плавное, постепенное приложение нагрузки, что существенно снижает ее динамический эффект. И, конечно, совсем нежелательна ударная нагрузка в виде падения тела на массу, когда динамический коэффициент может быть значительно больше двух.

Рис. 5.17. Изменение перемещений во времени от импульсов различной формы:

а — прямоугольник; б — экспонента; в — синусоида Из графиков также очевидно, что максимальные перемещения возникают в зоне максимального значения приложенных сил. Поэтому при определении максимального значения динамического коэффициента можно ограничиться поисками в области максимального значения внешних сил.

Решение уравнения типа (5.14) можно получить другим путем. В параграфе 1.7 получено решение при кратковременном импульсе. Однако при решении задач неустановившихся вынужденных колебаний возникла идея аппроксимировать произвольное воздействие, в частности силовое, путем введения бесконечно малых по времени импульсов, которые можно ввести в любой момент. Отклик системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования запишется так [7]:

Здесь t — время ввода импульса. Следует заметить, что при ск —? 0 решение будет точным. Для линейной системы суммирование бесконечно малых откликов приводит к интегралу:

Выражение (5.35) носит название интеграл Дюамеля. Интеграл вычисляется обычно численно, особенно в тех случаях, когда исходные данные берутся из эксперимента, но для некоторых видов нагрузки в работе [3| приведены аналитические выражения решений. Так, если поставить в выражение (5.35) постоянное значение силы, то при отсчете от t = 0 получим выражение (1.43). Часть решений можно получить с помощью преобразования Фурье.

Интеграл Дюамеля широко используется в электротехнике для расчета переходных процессов.