Ветровой резонанс вант мостов

Ванты являются основными несущими элементами вантовых мостов. Их можно рассматривать как гибкие стержни постоянного сечения с распределенной массой. Гибкие стержни в основном колеблются от ветрового потока. Далее рассмотрим несколько вариантов колебания вант большепролетных мостов в зависимости от их гибкости. Вначале представим вант как гибкую нить, закрепленную по концам. В отличие от нити с опорами на одном уровне, в вантах при учете их собственного веса натяжение по концам будет различным. Однако в рабочем состоянии ванты испытывают настолько сильное натяжение, по сравнению с которым влияние собственного веса становится незначительным. В дальнейшем натяжение вант принимается постоянным, равным среднему значению.

В результате можно взять известное уравнение гибкой нити, добавив в него член, учитывающий рассеивание энергии [9]:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Здесь т — масса на единицу длины струны; N — натяжение струны; Р — коэффициент, учитывающий рассеивание энергии; q — погонная нагрузка. Решение представим в виде произведения двух функций:

Подставим выражение (3.14) в уравнение (3.13) и после разделения переменных получим два уравнения.

Решения уравнений имеют вид.

г-— Р При колебании на воздухе со = Vorот ~со, 2а = —. Будем считать, что.

" т

концы ванта неподвижны. Следовательно, при х = 0 и х = I у (х) = 0. Тогда.

/ ш

из второго уравнения (3.16) следует: С = 0, Dsin со. — 1 = 0. Так как посго;

u ^VAr

янная D ?= 0, то sin со —1 = 0, или V N

Из соотношения (3.17) определяются значения угловых частот колебаний со, совпадение любой из которых с угловой частотой внешнего воздействия вызывает резонанс:

z' [пГ /.

а период колебаний Т = А-.—, где, а = 2- — длина волны.

V N п

Каждому значению со, соответствует решение, удовлетворяющее уравнению (3.13) и краевым условиям. Общее решение представляет собой сумму этих решений (по координате х принята синусоида):

Далее получим частное решение уравнения (3.13) от ветрового воздействия [24]:

q = Qsin 0f? sin bx Q = c~pv²S; 0 = 2nk,

где Cy — коэффициент поперечной (подъемной) силы для цилиндра нрибли;

пп

женно принимается равным единице; b = —; р — плотность воздуха; v — скорость ветрового потока; S — проекция площади поверхности тела на поверхность, перпендикулярную направлению ветрового потока; k — частота срыва вихрей Бенара — Кармана в герцах.

Решение получим методом Бубнова — Галёркина [20], используя только один член:

В результате интегрирования получим выражение для множителя а:

и окончательное выражение для перемещения примет вид.

Критическая скорость ветра находится из условия 0 = со_п. Для цилиндре/.

рических поверхностей число Струхаля Sh = — = 0,185, тогда.

Здесь d — диаметр ванта.

Полное решение будет равно сумме общего и частного решений:

Произвольные постоянные определяются из начальных условий. Пусть при t = 0 начальное смещение и начальная скорость равны нулю. После несложных преобразований для /7 = 1 получим.

Поскольку, в отличие от нити, ванты имеют более жесткое сопротивление при искривлении, то во втором варианте рассмотрим колебание с уче;

том изгибной жесткости. Нс будем учитывать рассеивание энергии и в уравнение (3.13) введем новый член [11]:

Вначале определим частоту собственных колебаний. Решение уравнения (3.22) будем искать в виде.

Возьмем один член и подставим его в (3.22) при q = 0:

Отсюда получим уравнение для/(?), которое после деления на т примет вид.

Из уравнения очевидно, что частота колебаний.

Здесь со, _изг — частота собственных изгибных колебаний; со, _иат — частота колебаний ванта без учета изгибной жесткости.

Частное решение уравнения (3.22) получим методом Бубнова — Галёркина с функцией f (t) = Qsin0?. Разделим уравнение на т. Решение будем искать с одним параметром y (t, х) = asinQt-sinbx.

В итоге получим.

Подставим искомое решение в уравнение Бубнова — Галёркипа:

Из этого выражения после выполнения соответствующих вычислений получим значение множителя а

Следовательно, Из равенства 0~ = со_{3 изг} + (о;_(нат получается значение критической скорости ветра для зоны резонанса:

В третьем варианте приближенно учтем сопротивление вант вследствие их искривления при колебании. В какой-то мере это может быть трение между тросами в одном ванте. С этой целью введем в уравнение (3.22) член, являющийся функцией поворота сечения:

Здесь R =fN_T — сила трения; / — коэффициент трения (зависит от материала); значение N_T = A’tgcp, где ср — угол между прямой, соединяющей концы ванта, и касательной к ванту на опоре (среднее значение); г — расстояние от нейтральной оси ванта при искривлении до места трения.

После деления уравнения на т частное решение определим методом Бубнова — Галёркина с одним членом:

Подставим это выражение в уравнение (3.25):

После умножения и интегрирования в указанных пределах получим.

Из этого равенства находится.

Окончательное решение будет таким:

Критическая скорость ветра определяется при резонансе из выражения.

или.

Приведенные формулы показывают, что критические скорости ветра, вызывающие резонанс, зависят от числа полуволн п линейно для гибких вант и нелинейно при учете изгибной жесткости ванты. Очевидно, что при увеличении жесткости вант увеличивается и критическая скорость ветра. Вычисленные скорости ветра следует сопоставлять с числами Рейнольдса, так как не при каждом значении этого числа возможен срыв вихрей Бекара — Кармана.

Для проводов и вант наиболее опасными являются поперечные колебания, связанные с резонансом. Главная трудность решения этой задачи заключается в нестационарности аэродинамической силы, которая зависит от чисел Рейнольдса [24]:

где v — скорость ветрового потока; d — диаметр провода круглого сечения; р — кинематическая вязкость воздуха при атмосферном давлении 133,3 Па (760 мм рт. ст.), р = 0,145- 10~⁴м²/с [24].

Хорошо изучена картина обтекания неподвижного цилиндра потоком воздуха [24]. При Re < 10 имеем ламинарный поток; с увеличением числа Рейнольдса позади цилиндра образуются два стационарных вихря, которые растут и, наконец, отрываются от основного потока при Re = 40. При Re > 50 начинается переменный отрыв вихрей, что и создает поперечные колебания. Область этого ламинарного отрыва распространяется до Re = 150. Образующийся вихревой след называется вихревой дорожкой Бенара — Кармана. Между Re = 150 и Re = 300 вихревая дорожка становится турбулентной, а отрыв вихрей — нерегулярным. Начиная с Re = 300 в отрыве вихрей наблюдается периодичность, причем на колебания потока, имеющего некоторую преобладающую частоту, налагаются турбулентные флуктуации. Этот процесс остается неизменным до Re = 2 • 10⁵. При превышении этого значения пограничный слой становится турбулентным, вихри отрываются нерегулярно, и так до Re = 5 • 10^е. При Re> 5−10°снова образуется вихревой периодический след с почти постоянным коэффициентом лобового сопротивления с_ги преобладающей частотой вихрей.