У. 2. Основные допущения и критерии устойчивости

Поскольку построение математической модели задач устойчивости значительно сложнее, чем при решении задач прочности, то при выборе расчетной схемы вводятся дополнительные допущения, практически приводящие все реальные задачи к идеализированным.

• 1. При исследовании устойчивости рамных систем принимается, что система образована из идеально прямых стержней, соединенных друг с другом жестко или шарнирно. Возможные искривления стержней, а также неточности изготовления и соединения их между собой учитываются коэффициентом продольного изгиба ф, который зависит от гибкости стержня.
• 2. Стержни системы до момента потери устойчивости испытывают только продольные деформации.
• 3. Для сплошных стержней системы в момент потери устойчивости учитываются только деформации изгиба, т. е., как и при решении задач прочности, не учитывается влияние продольных и поперечных сил на деформации стержней.
• 4. Предполагается, что критическое состояние конструкции достигается путем одновременного возрастания всех узловых нагрузок с сохранением постоянного соотношения между ними.

5. В дальнейшем рассматривается потеря устойчивости в малом, т. е. при сколь угодно малом отклонении от исходного состояния, что позволяет использовать для решения задач приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня вместо точного Принятые допущения приводят задачу к абстрактной расчетной схеме, так как на самом деле стержни не являются идеально прямыми, а нагрузка вызывает изгибающие моменты в стержнях еще до наступления момента потери устойчивости. Но они позволяют описать задачи устойчивости достаточно простой математической моделью. Получаемый результат дает возможность в какой-то мере судить о поведении реального объекта.

При решении задач, излагаемых далее, находится критическая нагрузка, соответствующая переходу системы из устойчивого в неустойчивое состояние. Вопрос установления перехода системы из одного состояния в другое или установление критерия устойчивости в общем случае представляется относительно сложным, а порою и спорным. Общепринятыми и часто встречающимися критериями являются статический, энергетический и динамический.

В предлагаемой книге будут использованы только два первых критерия, которые допускают решение задач устойчивости консервативных систем.

В консервативных системах работа, совершаемая внешними силами, не зависит от пути, проделываемого силами при переходе системы из начального положения в конечное, как при решении задач прочности.

Динамический критерий устойчивости используется при исследовании движения системы после ее вывода из состояния покоя. Если при этом частота свободных колебаний системы стремится к нулю, то этот факт свидетельствует о потери устойчивости системы. Динамический критерий устойчивости применим и к неконсервативным системам. Примеры консервативной и неконсервативной систем показаны на рис. У.2. Консервативная система изображена на рис. У.7, а. Направление силы не меняется при потере устойчивости. На рис. У.7, б показана так называемая следящая сила, которая при потере устойчивости все время направлена по касательной к оси стержня в месте приложения. Для консервативных систем все три критерия приводят к одинаковым результатам.

Рис. У.7. Примеры систем: консервативной (а) и неконсервативной (б).

В учебнике излагаются метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня, или, другими словами, метод Эйлера, и метод перемещений, которые при принятых допущениях считаются точными.

Для приближенного решения задач предлагаются энергетический метод, метод конечных элементов и вариационные методы. Изложение других методов, причем применительно не только к стержневым системам, но и к пластинкам и оболочкам, приведено в монографиях [4, 8, 26 и др.].

Контрольные вопросы

• 1. В чем заключается явление потери устойчивости?
• 2. В чем различие потери устойчивости I и II рода?
• 3. Какие допущения принимаются при исследовании устойчивости?