Устойчивость стержня на упругом основании

^[1]

Представим, что стержень, шарнирно опертый по концам, имеет двустороннюю связь с упругим основанием (рис. 9.6). Пусть реакция основания, приходящаяся на единицу длины стержня, будет прямо пропорциональна перемещению балки, как это имеет место для винклерского основания:

где с называется модулем основания, или коэффициентом постели (характеристика винклеровского основания). Размерность коэффициента постели — [Н/см³].

Рис. 9.6. Расчетная схема стержня

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня представим в общем виде, в котором вместо нагрузки подставим реакцию основания, т. е. q = -R:

Если воспользоваться обозначениями.

то вместо уравнения (9.19) будем иметь следующее однородное линейное уравнение:

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид его корни будут Решение уравнения (9.21) получает форму.

Произвольные постоянные определим из граничных условий.

При х = 0 и х = / прогиб и момент равны нулю. Используя выражение прогиба и второй производной.

получим, что В = С = D = 0. При А Ф 0 будем иметь.

Отсюда Определяя а² из формулы (9.24) и пользуясь равенством (9.27), находим.

Изогнутая линия оси стержня состоит из п полуволн синусоиды:

В отличие от свободно изгибающегося стержня здесь число полуволн п должно определяться из условия минимума нагрузки. Если число полуволн п достаточно велико, то можно записать условие минимума а², приял равнивая нулю производную от а² по —:

При этом Используя формулы (9.28) и (9.29), в результате несложных алгебраических преобразований получаем для критической нагрузки выражение.

Пример 9.3. Определим число полуволн и критическую нафузку на шпунт в виде швеллера № 20, заглубленного в фунт с коэффициентом постели с = 55,2 Н/см³ (хороший грунт). Длина шпунта 2000 см. Предполагается, что внизу и вверху.

• [1] Параграф написан на основе материалов работы [4].