Приближенные и другие методы решения задач устойчивости

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • принцип Дирихле;
• • метод Ритца при решении задач устойчивости; уметь
• • решать задачи устойчивости энергетическим методом;
• • давать самостоятельную оценку методам решения задач устойчивости; владеть
• • методом конечных элементов при решении задач устойчивости;
• • методом Бубнова — Галёркина при решении задач устойчивости отдельных стержней.

Изложенный выше метод перемещений удобен в применении лишь к расчету рам с небольшим числом стержней, имеющих постоянное сечение. В практике строительства встречаются более сложные конструкции из стержней переменного сечения или из составных стержней, к которым в изложенной трактовке метод перемещений неприменим, а проблемы устойчивости остаются. Для оценки устойчивости таких конструкций применяются другие методы, как правило, приближенные.

Энергетический метод

В основе энергетического метода лежит доказательство теоремы Лагранжа, сделанное в 1853 г. Дирихле. Согласно принципу Дирихле потенциальная энергия системы Э в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение, в состоянии неустойчивого равновесия — максимальное, а в состоянии безразличного равновесия приращение потенциальной энергии системы ДЭ = 0, что и служит критерием устойчивости. Наглядно принцип Дирихле легко представить с помощью шарика, находящегося на различных поверхностях (рис. 11.1).

а б в.

Рис. 11.1. Демонстрация принципа Дирихле:

а — устойчивое положение шарика; б — неустойчивое положение; в — безразличное положение шарика Излагаемый ниже вариант энергетического метода предложил С. II. Тимошенко. Определение потенциальной энергии приведено в параграфе 4.1:

где U — работа внешних сил; W — работа внутренних сил, или энергия деформации системы.

В состоянии безразличного равновесия.

Здесь A W — приращение энергии деформации системы, возникающее при небольшом отклонении системы от ее состояния равновесия (при этом внутренние силы, стремясь возвратить систему в исходное состояние, совершают положительную работу); AU— приращение работы внешних сил. Работа внешних сил при возвращении системы в исходное состояние будет отрицательной.

Критерий устойчивости вытекает из выражения (11.1):

Энергетический метод применим к любым конструкциям. Отличие состоит лишь в выражениях для вычисления потенциальной энергии.

Рассмотрим его применение в приложении к стержневым системам. В общем случае изменение энергии деформаций упругой плоской стержневой системы, состоящей из прямолинейных стержней, как известно, определяется выражением.

где п — число стержней рассматриваемой системы; М, N, Q — изгибающие моменты, продольные и поперечные силы в стержнях, возникающие при отклонении системы от первоначальной формы равновесия.

Знаки усилий при этом нс играют роли, так как в формулу (11.3) усилия подставляются в квадрате. Для большинства несложных систем, состоящих из стержней сплошного сечения, влияния продольных деформаций и деформаций сдвига относительно малы, поэтому их обычно не учитывают. Вследствие этого в формуле (11.3) останется только один член:

Если учесть, что Е1у" (х) = -М (х), то.

Для шарнирно-стержневых систем (ферм), в элементах которых возникают только продольные усилия, энергия деформации определяется вторым членом из формулы (11.3).

Далее определим приращение работы внешних сил. В общем случае.

где т — число стержней, в которых имеют место продольные усилия.

Подсчитаем работу для отдельного стержня. Рассмотрим шарнирно опертый стержень (рис. 11.2, а). Отклоним его от прямолинейного положения равновесия (рис. 11.2, б).

Рис. 11.2. Вычисление работы внешних сил Вырежем элемент dx (рис. 11.2, в):

Заменим выражение в скобках через синус половины угла <�р:

Вследствие малости угла синус заменим самим углом, а угол — тангенсом:

В итоге приращение работы внешних сил для одного стержня Подставим значение A IP из формулы (11.4) для одного стержня и AU из формулы (11.5) в равенство (11.2):

и отсюда получим выражение для критической силы.

Если в пределах интегрирования жесткость стержня постоянная, то ее можно вынести за знак интеграла.

Чтобы получить значение критической силы по формуле (11.7), необходимо задать стержню форму потери устойчивости, удовлетворяющую гра ничным условиям. Так как истинная форма потери устойчивости неизвестна, то приходится задавать ее приближенно. При выборе функции у (х) следует иметь в виду, что она входит в числитель и знаменатель. Следовательно, ее можно выбирать с точностью до постоянного множителя, который в формуле (11.7) сокращается.

Необходимость задания возможной формы деформированного состояния системы в момент потери устойчивости является одним из недостатков метода. К недостаткам следует отнести и тот факт, что, вычислив приближенно критическую нагрузку, нельзя указать степень точности полученного результата. Энергетический метод при правильном его использовании дает завышенные либо точные значения критических сил. Последнее имеет место в тех случаях, когда удается задать истинную форму потери устойчивости.

Завышение значения критических сил объясняется принципом минимума энергии деформации. Согласно этому принципу действительному состоянию всегда соответствует минимум энергии деформации. Любая другая форма деформации как бы накладывает на систему дополнительные связи, которые и ведут к повышению критической нагрузки, поскольку энергия деформации входит в числитель выражения (11.7).

Превышение критической нагрузки имеет место только в случае, если энергия деформации учитывается полностью. Например, если исследовать устойчивость многостержневых систем или составных стержней, то ограничение одним членом из формулы (11.3), учитывающим лишь изгиб стержней, является недостаточным и даже ошибочным, так как приводит к результатам, далеким от истинных значений критических сил. При расчете ряда конструкций нужно учитывать еще влияние поперечных и продольных сил. Например, при расчете составных стержней (см. далее рис. 11.6) нужно учитывать поперечные силы, а при расчете башен Шухова и других подобных систем (см. далее рис. 11.8) кроме изгибпых деформаций необходимо учитывать продольные деформации стержней. Без их учета критическая нагрузка получается гораздо ниже истинного значения, что уже указывает на неправильное использование энергетического метода.