Биматричные игры. 
Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Более сложными теоретико-игровыми моделями, выходящими за ограничения антагонистических игр, являются иеантагонистические игры (в некоторых случаях их называют также играми с переменной суммой). Такие игры моделируют ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но необязательно являются противоположными. Хотя в некоторых играх этого класса предполагается возможность определенного информационного обмена или поступления дополнительной информации, вообще говоря, возможность кооперации игроков и образования их коалиций не рассматривается, т. е. считается, что игроки принимают решения, не договариваясь друг с другом. Тем не менее анализ таких игр оказывается весьма полезным, в том числе для определения возможных вариантов сотрудничества и просчета их результатов.

Наиболее простым случаем бескоалиционных игр с переменной суммой являются биматричные игры — неантагонистические игры двух лиц с конечным числом стратегий. В качестве примера можно назвать рассмотренные ранее прототипные игры «Борьба за рынки», «Семейный спор», «Дилемма узников» и др. В таких играх каждый игрок выбирает одну стратегию из имеющегося у него конечного числа стратегий и после этого получает платеж согласно определенным для каждого из игроков платежным матрицам. Так как подобная игра полностью определяется двумя платежными матрицами, такие игры называются биматричными.

Любая конечная бескоалиционная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия (теорема Нэша). В полной мере эта теорема распространяется, разумеется, и на биматричные игры.

Биматричные игры являются расширением класса матричных игр (моделируемые конфликтные ситуации гораздо разнообразнее), поэтому увеличиваются и сложности решения таких игр. В частности, в биматричной игре всегда существует хотя бы одно решение в смешанных стратегиях даже при наличии одного или нескольких равновесий в чистых стратегиях. Однако при описании биматричных игр мы можем воспользоваться многими принципами, рассмотренными ранее, и во многом будем следовать логике, лежащей в основе решения матричных игр.

Пусть у первого игрока имеется т чистых стратегий, г = 1,…, т, у второго игрока имеется п чистых стратегий, у = 1,…, п. Выигрыши игроков соответственно задаются матрицами.

Смешанной стратегией первого игрока является полный набор вероятностей применения этим игроком своих чистых стратегий х = (х_1?…, х_т), и, соответственно, у = (y_v …, у_п) — смешанная стратегия второго игрока. Тогда средние выигрыши игроков определяются соответственно как.

Напомним, что ситуация s* в игре называется равновесием Нэша, если для любого игрока i и любой его стратегии 5, € S_t выполняется неравенство {/;($*) > Ufa, Стратегия s* является наилучшим ответом на я^для игрока г. При такой ситуации никому не выгодно отклоняться от своей стратегии, если остальные придерживаются своих стратегий. Для игроков биматричной игры условие равновесия Нэша может быть сформулировано как.

Общий подход к решению биматричных игр основан на логике, которой мы руководствовались при нахождении оптимальных стратегий в матричной игре. Условие равновесия для биматричной игры должно выполняться в том числе для любых чистых стратегий игроков (x_if у). Тогда для оптимальных стратегий х° и г/° игроков соответственно должно выполняться следующее условие:

Для определения ситуаций равновесия необходимо решить указанную систему неравенств относительно неизвестных х° = (х,°, …уХ°_т) и у⁰ = (г/,°, г/Jj) при условиях.

В качестве иллюстрации применения данного подхода рассмотрим случай, когда каждый игрок имеет две чистые стратегии^[1] [27]. В этом случае их платежные матрицы имеют по четыре элемента:

а смешанные стратегии соответственно х = (x_v х₂) и у = (г/, г/₂).

Тогда условие равновесия будет выглядеть как.

Далее для упрощения записи опустим индексы и обозначим первый элемент смешанной стратегии первого игрока как х₉ а второго игрока как у. Тогда смешанные стратегии игроков примут вид.

а средние ожидаемые платежи равны.

Полагаях= 1 (соответствует выбору первой чистой стратегии), получим В случае х = 0 (соответствует выбору второй чистой стратегии) имеем.

Допустим, что смешанные стратегии игроков (х, 1 — х) и (у, 1 — у) являются оптимальными. Рассмотрим разности U_{(A, x, y) — ?/,(Д 1, у) и ?/,(Л, .г, у) —

— 0 .у). В случае выполнения условия равновесия Нэша эти разности должны быть неотрицательными:

Введем обозначения С = а_п — а_{2 — а_2[ + а₂₂ и F= а₂₂ — я₁₂. С учетом таких обозначений получаем.

Таким образом, получаем систему неравенств:

Аналогично определим разности U₂(B, х, у) — U₂(B, х, 1) и II₂(В, х, у) —

— и₂(В, х, 0). С учетом обозначений D = Ь_п— Ь_[2— Ь._п + Ь₂₂ и G = b₂₂ — Ь₂₁ получим (читателю рекомендуется определить самостоятельно):

В случае ситуации равновесия эти разности неотрицательны:

Итак, для нахождения ситуации равновесия необходимо решить систему неравенств

где С = а_и — а₁₂ — а_2х + а₂₂; D = b_u — b_[2 — b_n + b₂₂, F = а₂₂ — я₁₂; G = Ь₂₂— Ь_п.

Такой подход в принципе может быть расширен на бескоалиционные конечные игры с произвольным количеством игроков, имеющих по две стратегии (диадические игры). Но в этом случае технические сложности решения существенно увеличиваются. В приложении П2 приведена последовательность получения системы неравенств, определяющей условие равновесия Нэша и позволяющей найти оптимальные стратегии для игры трех игроков, имеющих по две стратегии (диадическая игра трех лиц).

Пример 5.1. Рассмотрим использование полученных результатов на примере (вариант прототипной игры «Борьба за рынки»). Фирма, А намерена вложить средства (например, предложить партию товара) в один из двух рынков (или в оба одновременно), контролируемых другой, более крупной компанией (фирма Б). Фирма Б может воспрепятствовать этому, приняв предупредительные меры и затратив па это собственные средства. Не встречая противодействия, фирма, А успешно реализует товар, при наличии препятствий — терпит убытки. Результаты определяются прибылью компаний согласно следующим матрицам:

Сравнение платежей игроков в разных стратегических ситуациях показывает, что фирма Б, очевидно, сильнее фирмы А, а рынок 1 оказывается более прибыльным, по и более рискованным, чем рынок 2.

Как видим, в данной игре нет доминирования и равновесия в чистых стратегиях. Поэтому воспользуемся полученным выше условием для определения оптимальных смешанных стратегий игроков.

Для этой игры определяем константы:

Условие равновесия в игре определяется системой неравенств.

Па практике может быть более удобным построение такой системы путем непосредственного определения платежей игроков в условии равновесия Нэша, используя элементы платежных матриц.

Рассмотрим вначале первые два неравенства:

Поскольку .те [0; 1 ], возможны три случая: х = 1, т = 0, 0 < х < 1. Решая систему неравенств для этих трех случаев, получим:

• 3
• 1) х = 1, и < —;

' ⁹ 14.

• 2) т= 0, у >
• 14
• 3
• 3) 0 < х < 1, и = —.

' ⁹ 14.

Аналогично для второй пары неравенств.

получаем:

• 1) г/=1,т>-;
• 2) г/ = 0, т<
• 3) 0 < г/ < 1, дт= |.

Представим эти случаи на графике (рис. 5.1). Графическим решением нашей системы неравенств является точка пересечения двух «зигзагов» с координата- 2 3.

ми х = - и у = —, что и определяет единственное решение данной игры. Опти- 9 14.

(2 7) (3 1 Г мальная смешанная стратегия компании, А — -, компании Б — —;—, что.

* [9 9) 1¹⁴ 14J.

в данном случае интерпретируется как пропорции распределения компаниями своих средств на двух рынках.

Рис. 5.1. Графическое решение биматричной игры «Борьба за рынки».

4 1.

При этом платежи игроков составят ?/,(А, х, у) = —; U₂(B, х, у) = — (про;

7 3.

верьте самостоятельно).

Таким образом, решение рассмотренной биматричной игры 2×2 выполнено.

графоаналитическим методом.

Аналогичный результат будет получен при определении ожидаемых платежей игроков U_{ и U₂ по соответствующим элементам платежных матриц игроков, подстановке найденных платежей в условие равновесия Нэша.

и решением соответствующих систем неравенств (читателю рекомендуется самостоятельно решить задачу «Борьба за рынки» таким способом).

Отклонение одного из игроков от своей оптимальной стратегии, при условии что другой игрок придерживается своего оптимального решения, не улучшит платеж отклоняющегося, но, в отличие от матричных игр, необязательно улучшит платеж игрока, придерживающегося своей оптимальной стратегии, но может и ухудшить.

Доказано, что если равновесных ситуаций в игре нечетное число, то при достаточно малых изменениях элементов платежных матриц форма и характер взаимного расположения «зигзагов» на графике не изменятся, а значит, не изменится и количество равновесных ситуаций. Но в случаях четного и бесконечного числа равновесных ситуаций малейшее изменение элементов платежных матриц может привести к иным равновесиям [17].

Более простой способ нахождения решения биматричной игры в смешанных стратегиях основан на принципе безразличия (индифферентности) к выбору чистых стратегий (предварительно должна быть сделана проверка на наличие решения в чистых стратегиях).

В соответствии с этим принципом смешанная стратегия игрока будет оптимальна, когда она будет выбрана гак, что другому игроку будет безразлично, какую из чистых стратегий выбирать, т. е. платеж другого игрока при любой выбранной чистой стратегии будет одним и тем же.

Рассмотрим использование данного принципа также на примере задачи «Борьба за рынки».

Пусть оптимальная стратегия первого игроках* = (х_1Ух₂), х₂ = 1 —x_v Оптимальная стратегия второго игрока у* = (г/, г/._;), г/₂ = 1 — y_v Найдем платежи второго игрока при его чистых стратегиях и смешанной стратегии первого игрока:

Исходя из принципа безразличия приравняем данные платежи, чтобы получить оптимальные значения х_х и х₂:

Определим платежи первого игрока при его чистых стратегиях и смешанной стратегии второго игрока:

Исходя из принципа безразличия приравняем данные платежи, чтобы получить оптимальные значения у_х и у₂.

Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков.

Платежи игроков в ситуации равновесия рассчитываются по соответствующим платежным матрицам игроков при найденных стратегиях х*, у*.

Рассмотрим еще один подход к решению биматричной игры. Если решить эту игру как две отдельные матричные игры, то для игры с матрицей А оптимальные смешанные стратегии для первого игрока и цена игры получаются из решения системы уравнений

Вероятность применения первым игроком своей первой чистой страте- 2.

гии — х = —, вероятность применения вторым игроком своей первой чис- ³ 4.

той стратегии — у = —, цена игры — о = что совпадает с платежом с/, в точке равновесия, найденным при решении соответствующей матричной игры.

Для игры с матрицей В оптимальные смешанные стратегии и цена игры для второго игрока определяются из системы

Вероятность применения первым игроком своей первой чистой страте;

^{2 1 1} «.

гии — х = -, а вторым игроком — у = -, цена игры о = -, что совпадает с и₂.

и О О Таким образом, если каждый из игроков будет применять свои стратегии в этой игре исходя только из своих платежных матриц и не учитывая платежную матрицу другого игрока, то их средние ожидаемые платежи совпадают с их платежами при ситуации равновесия в биматричной игре. Кроме того, по своей платежной матрице игрок может определить оптимальную стратегию другого игрока (т.е. выбор первого игрока определяется элементами платежной матрицы второго игрока и не зависит от элементов собственной платежной матрицы, а выбор второго игрока определяется элементами платежной матрицы первого игрока и также не зависит от элементов собственной платежной матрицы). Равновесная стратегия обоих игроков определяется стремлением не столько увеличить собственный выигрыш, сколько минимизировать выигрыш другого игрока. Таким образом, логика решения биматричных игр показывает, что игроки стремятся контролировать поведение партнеров, т. е. в данной игре присутствует не антагонизм интересов, а антагонизм поведения [17, 22].

Теоретически такой результат можно рассматривать как дополнительный и более простой метод решения биматричных игр (причем со сколь угодно большим числом чистых стратегий игроков) путем приведения их к двум матричным играм, каждая из которых в свою очередь может быть решена приведением к двойственной задаче линейного программирования. Однако такой подход не может считаться универсальным, поскольку он не позволяет выявить все оптимальные стратегии игроков и провести полный анализ ситуации, моделируемой биматричной игрой. В частности, условием применения этого подхода является отсутствие седловой точки в каждой матричной игре. Тем не менее он позволяет довольно просто найти хотя бы одну равновесную ситуацию в любой биматричной игре, хотя вовсе не обязательно, что это будет лучшее решение. Как правило, таким путем отыскивается одно решение в смешанных стратегиях. Если платежные матрицы не очень большие, то наличие равновесия в чистых стратегиях можно выявить простым перебором всех стратегических ситуаций, проверяя их на выполнение условия равновесия Нэша.

Пример 5.2. Обратимся к прототинной игре «Семейный спор», которая задана, например, следующими матрицами:

Анализируя эту игру в гл. 3, мы показали, что в ней есть две ситуации равновесия в чистых стратегиях: когда оба игрока выбирают свои первые чистые стратегии д: = (1, 0), г/ = (1, 0) и когда они выбирают свои вторые чистые стратегии х = (0, 1), у = (0, 1). В нервом случае первый игрок получает платеж 2, а второй игрок — 1, во втором случае — наоборот. Мы имеем две ситуации, для которых выполняется условие равновесия Нэша, т. е. игрокам невыгодно отклоняться от них. Но эти ситуации неравноценны для игроков: в каждой из ситуаций один игрок получает больше, другой — меньше, т. е. однозначного решения анализ чистых стратегий не дает.

Рассмотренный выше графоаналитический метод решения биматричных игр обнаруживает еще одно решение, т. е. на графике определяются три точки пересечения «зигзагов» (читателю рекомендуется найти их самостоятельно): помимо двух равновесий в чистых стратегиях есть еще равновесие в точке х = (2/3,1/3) и у = (1/3, 2/3), при этом каждый из игроков получает платеж, равный 2/3 (это равновесие в смешанных стратегиях обнаруживается и при решении игры путем приведения ее к двум матричным играм). Казалось бы, это и есть самое эффективное и справедливое решение, ведь игроки получают одинаковые платежи при выборе таких стратегий. Но, как видим, эти платежи даже меньше тех, что они могут получить при одинаковом выборе любой из чистых стратегий. Более того, в ситуативном контексте данной игры следование данным смешанным стратегиям выглядит несколько нелепо. Таким образом, оптимальное (в смысле равновесности) решение в смешанных стратегиях хотя и «справедливо», но далеко не эффективно.

Рассмотренный пример не является свидетельством несовершенства методов теории игр, это скорее отражение реального положения дел, когда большинство экономических и социальных проблем допускает множественные решения, каждое из которых различается по предпочтительности для их участников, а задачей теоретико-игрового анализа как раз и является выявить эти решения и указать путь их компромиссного и эффективного согласования.

Здесь мы сталкиваемся с ограничениями, накладываемыми на дальнейший анализ ситуации и поиск оптимального решения. Эти ограничения связаны с предположением, включенным в модель биматричной игры, о независимости выбора игроками своих стратегий в условиях отсутствия информации о выборе другого игрока, т. е. с предположением о невозможности договариваться и общаться друг с другом. Однако даже на этой стадии анализа мы имеем конкретные результаты, которые позволяют выйти на переговоры (если они будут возможны) с конкретными предложениями. Во-первых, очевидно, что нет эффективного оптимального решения в смешанных стратегиях, следовательно, необходимо совместно выбирать чистые стратегии. Во-вторых, разница в платежах игроков составляет 1 ед. в любой из двух ситуаций равновесия. Это приводит к идее о компенсации порядка 0,5 ед., выплачиваемой игроком, получающим больший платеж, игроку, получающему меньший платеж (т.е. один из игроков может попытаться «подкупить» другого, чтобы тот выбрал альтернативу, предпочтительную для первого игрока). Такую компенсацию можно выплатить лишь из возможного выигрыша, поэтому выигрыш должен иметь вид, допускающий передачу от одного игрока к другому (некие передаваемые блага). В контексте игры «Семейный спор» трактовка подобной компенсации не очень ясна, но для экономических приложений данной игры, рассмотренных в параграфе 3.4, подобный подход имеет смысл и приносит практическую пользу.

Игры, в которых учитываются возможности прямых или косвенных переговоров, называются коммуникационными. Простой вариант коммуникационной игры — возможность осуществления предварительных доигровых переговоров, когда игроки могут заранее встретиться и обсудить предстоящую игру. В частности, они могут договориться о стратегиях, которые будут применять, но эти договоренности не являются обязывающими соглашениями. Тогда, чтобы договоренности были правдоподобными {credible), они должны быть равновесиями Нэша, как, например, в игре типа «Семейный спор». Подобные переговоры, даже не обязывающие к выполнению принятых решений, могут помочь реализации некоторого равновесия, хотя и не могут дать новых решений.

Во время предварительных соглашений можно договориться о контингентных действиях, т. е. действиях, зависящих от значений некоторых событий. В этом случае можно говорить о коррелированных равновесиях.

Пример 5.3. Рассмотрим возможность контингентных действий па примере прототинной игры «Перекресток»:

У каждого игрока есть две чистые стратегии: «миролюбивая» — «пропустить» (1) и «воинственная» — «не пропускать» (2). Здесь, как п в игре «Семейный спор», есть два чистых равновесия (1, 2) и (2, 1), при которых один из игроков получает платеж 3 ед., а другой — 0, и одно смешанное равновесие х = (0,5; 0,5), у = (0,5; 0,5), при котором платежи игроков равны 1 ед. Допустим, что игроки могут договориться, например, о следующем: бросаем монету, и если выпадет «орел», то выбираем равновесие (1, 2), а если «решка» — (2, 1). Средний выигрыш для каждого игрока — 1,5 ед.

Другой вариант, который уже обсуждался, — компенсация. Если выпал «орел», выбирается равновесие (1, 2), но второй игрок платит компенсацию первому игроку в размере 1,5 ед. Если выпадает «решка», выбирается равновесие (2, 1), и первый игрок компенсирует второму 1,5 ед.

Такие варианты, как в примере осуществления какого-то рода переговоров, хотя и не обеспечивают игрокам максимально возможный платеж, но все же лучше исхода смешанного равновесия с платежом в 1 ед. для каждого игрока и позволяют принять решение в ситуации наличия двух или более равновесных, но не равноценных для игроков исходов.

Действительно, в ситуации, когда игроки выбирают свои стратегии не «независимо случайно», а «скоррелированно случайно», у них появляются дополнительные возможности выйти на скоординированные равновесия. Игры, в которых реализуется некий механизм коррелирования стратегий, называются коррелированными играми, или играми с посредником.

Допустим, что игроки могут обратиться за помощью к посреднику, а он может выбрать сам или по согласованию с игроками некоторую коррелированную стратегию р и сообщить об этом всем игрокам, так что р становится общим знанием. Таким образом, есть некий общий сигнал р е [0; 1 ], который могут наблюдать все игроки, и в этом случае появляются новые возможности. Например, в игре «Семейный спор» игроки могут идти на футбол, если р ½ (фактически это то же самое, что принимать решение по подбрасыванию монеты). Здесь мы имеем дело со вполне скоординированными стратегиями, имеющими равновесный характер (если один игрок следует этому правилу, то и для второго игрока оптимальным решением является следование этому же правилу). Другим примером является игра «Перекресток», в которой в качестве посредника может выступать светофор, показывая «красный» или «зеленый». Допустим, в первом случае игроки должны выбирать равновесие (1, 2), а во втором — (2, 1). При каждом исходе получается равновесие Нэша, а математическое ожидание выигрышей одинаково для каждого игрока (при равной вероятности сигналов светофора), поэтому оптимальное решение обеспечивает в данном случае и равновесие по Нэшу, и оптимальность по Парето, и «справедливость» (в данном случае — фокальность по Шеллингу).

Понятие коррелированного равновесия предполагает, что: а) имеется посредник, например природа, и б) имеется канал связи, позволяющий посреднику посылать сообщение каждому игроку.

Таким образом, выход на уровень коммуникационной игры (обращение к посреднику или переговоры до или в процессе игры), даже анализируемой первоначально на основе предположений о невозможности общения игроков, может дать эффективное решение.

Модель статической игры с полной информацией предполагает, что у игроков есть вся необходимая информация для принятия решений, включая платежи игроков. В реальных ситуациях все, разумеется, сложнее; например, фирмы могут не знать о точных затратах друг друга, точной величине спроса, прибылях и т.и. В некоторых случаях это не критично для принятия решения, как неоднократно демонстрировалось выше, но тем не менее для более строгого решения в теории игр разработан класс моделей, учитывающих, что игроки могут иметь не точное знание о стратегиях и исходах игры, а некоторые представления, в той или иной степени приближающиеся к точному знанию. Такие игры, как уже было обозначено в гл. 3, называются играми с неполной информацией. Одним из классов таких игр являются байесовы игры, в которых платежи задаются с некоторой вероятностью. Такие игровые модели были впервые предложены Дж. Харсаньи в 1967 г. и названы в честь английского математика XV1J1 в. Т. Байеса.

Например, одна фирма не знает точно структуру затрат другой, но знает, что они могут быть (с соответствующими вероятностями) высокими или низкими. Мы не рассматриваем в данном учебнике методы анализа игр с неполной информацией. Отметим только, что игры с неполной информацией являются обобщением игр с полной информацией, и по мере сокращения информационной неполноты поведение игроков стремится к поведению, соответствующему равновесию Нэша в играх с полной информацией.

• [1] Использованы материалы книги [22].