Метод итерации. 
Методология научного познания

Метод итерации состоит в построении производных объектов научной теории из ее исходных объектов, когда имеет место последовательное применение (путем повторения) некоторой элементарной операции сначала к ее исходным, а затем и к производным объектам. В результате происходит порождение всего множества возможных объектов теории. Метод итерации применяется в основном в арифметике, логике и теории множеств. Этим методом, например, создаются все числа натурального ряда, как множество всех объектов такой теории, как арифметика натуральных чисел. Исходным идеальным объектом арифметики натуральных чисел является число.

1 или 0 — это дело конвенции. А каждое другое ее число (производный объект) создается путем прибавления единицы к предшествующему ему числу. Путем последовательного повторения (итерации) этой простейшей операции прибавления единицы к любому натуральному числу, начиная с исходного числа, создается весь натуральный ряд чисел как последовательно возрастающая их последовательность. Очевидно, что потенциально эта последовательность является бесконечной (хотя реально — всегда конечной), поскольку к любому сколь угодно большому натуральному числу в принципе (логически) всегда может быть прибавлена еще одна единица. Это означает, что потенциально число членов натурального ряда бесконечно, и что в принципе не может существовать самого большого натурального числа. Как замечает по этому поводу Г. Вейль, натуральный ряд чисел создается как «многообразие возможного, развертывающегося путем итерации и простирающегося в бесконечность». Аналогично, по Вейлю, создается и такой производный объект математики, как пространство, а именно, как «конструктивное задание всех возможных местоположений (places)». Методом итерации создаются также такие производные объекты арифметики, как рациональные числа (числа вида «т деленное на п», где т и п — любые натуральные числа), а также и действительные числа (числа вида «т, п, к, с,…», где т, n, k, c — любые натуральные числа, а «…» означает открытый характер последовательности натуральных чисел после занятой в действительном числе). И это притом, что, как строго доказано, количество действительных чисел не просто бесконечно как количество натуральных или рациональных чисел, но еще и несчетно. То есть бесконечное множество действительных чисел «больше» по своей мощности бесконечного множества натуральных или рациональных чисел, которые счетны и равномощны по количеству своих элементов. Методом итерации создаются также все производные объекты таких математических и логических теорий, как теория множеств (ее исходным объектом является либо пустое множество, либо множество, состоящее только из одного элемента), все алгебраические теории, теория вероятности, а также все формализованные теории математики и логики. Конечно, метод итерации также является, безусловно, редукционистским способом отношения производных объектов некоторой теории к ее исходным идеальным объектам. И поскольку, как это было строго показано в математике уже в конце XIX в., исходные понятия всех математических теорий могут быть определены в понятиях арифметики и алгебры, а все понятия последних, в конечном счете, могут быть определены в понятиях арифметики натуральных чисел, постольку вся математика в принципе представляет собой глобальную конструкцию различного рода идеальных объектов и их взаимосвязей, основу которой составляет арифметика натуральных чисел. Однако все же имеются существенные различия между методом индукции и методом итерации. Они стоят в следующем. Во-первых, метод редукции опирается при построении производных объектов на работу воображения («продуктивного воображения», по Канту), тогда как метод итерации — на глобальную интуицию, на способность различения и отождествления минимальных порций когнитивной информации. Во-вторых, метод редукции допускает больше свободы в конструировании производных объектов теории, чем метод итерации. И в-третьих, метод редукции, в отличие от метода итерации, может приводить к введению в теорию неконструктивных объектов (например, актуальной бесконечности в теории множеств, сингулярности в космологии, актуальной бесконечной прямой линии, непредикативных множеств и функций (множеств и функций, включающих себя в качестве своих элементов или аргументов) и т. д.). Метод же итерации, хотя и беднее «по своим возможностям», чем метод редукции, но зато гарантирует невозможность введения в теорию неконструктивных сущностей, использование которых часто приводит теорию к логическим противоречиям (как это было, например, с теорией множеств Кантора, или с понятием бесконечной Вселенной в космологии, или с понятиями абсолютного пространства и времени в классической физике, или с понятием непрерывного характера энергии, или с понятием абсолютной истины в эпистемологии и т. д.). Сравнивая методы редукции и итерации, справедливо также утверждать, что метод итерации является более жестким в плане обеспечения сведения производных понятий теории к ее исходным, нежели метод редукции. Но тот и другой методы сходны в том, что не допускают использования в производных объектах и понятиях теории такого содержания, которого нет в ее исходных объектах и понятиях. Именно благодаря этому все теории, построенные с помощью этих методов, имеют строго аналитический характер, а обоснование их истинности не требует выхода за пределы самих теорий. Они, так сказать, самодостаточны именно благодаря рассмотренным выше методам своего построения. И понятно, что такими теориями являются в основном математические и логические теории. Совсем другое дело — естественные и социально-гуманитарные теории, которые призваны быть моделями определенных аспектов объективной действительности и которые поэтому не могут быть чисто аналитическими и замкнутыми по отношению к миру «вещей в себе» (Кант). Поэтому в них основным методом построения производных методов и понятий является генетически-конструктивный метод.