Построение линий влияния для балки на двух опорах

Построим линии влияния опорных реакций для простой балки на двух опорах (рис. 2.5, а).

Поставим на балку груз, равный единице (Р= 1), и найдем значение реакции А на левой опоре. Используя уравнение статики (сумма моментов в шарнире па правой опоре равна нулю), получим.

Реакция А из этого выражения будет.

Из выражения (2.1) очевидно, что опорная реакция А является линейной функцией абсциссы х, поэтому график линии влияния изобразится прямой линией. Для того чтобы провести прямую линию, достаточно определить две принадлежащие ей точки. Для этой цели по уравнению (2.1) необходимо вычислить две ординаты для каких-либо характерных точек. Вычислим ординаты линии влияния для опорных реакций балки: при х = О А = 1, при х = 1 А = 0. Отложив эти значения от горизонтальной линии и проведя прямую, получим графическое изображение линии влияния опорной реакции А (рис. 2.5, 6).

Для построения линии влияния опорной реакции В используем условие YjM_a = Рх — В1= 0. При Р = 1 получим.

при х = 0 В = 0, при х = IB = 1. Графическое изображение л. в. реакции В показано на рис. 2.5, в.

Каждая ордината линий влияния как реакции А, так и реакции В равна величине соответствующей реакции для.

Рис. 2.5.

случая, когда груз, равный единице (Р = 1), расположен в той точке, для которой взята соответствующая ордината. Например, когда груз Р = 1 стоит на левой опоре, ордината л. в. А равна единице, а для правой опоры она равна нулю, так как при х = 0 груз Р = 1 целиком воспринимается левой опорой.

Построим теперь линии влияния опорных реакций для балки с двумя консолями (рис. 2.6, а). Поставим груз Р = 1 в произвольную точку, например на расстоянии х от левого конца балки.

Уравнения моментов всех сил относительно опорных шарниров соответствен! ю будут.

откуда при Р = 1 получим.

Рис. 2.6.

Опять мы видим, что реакции А и В зависят от переменной х в первой степени, т. е. описываются прямыми линиями: при х = С, А = 1, В = 0; при х = I + С, А = 0, В = 1.

Линии влияния реакций А и В изображены соответственно на рис. 2.6, б, в. Из этих линий влияния очевидно, что когда груз Р = 1 расположен на левой консоли, реакция В будет отрицательной, т. е. будет направлена не вверх, а вниз. Реакция А в этом случае больше единицы, так как она уравновешивает груз Р= 1 и реакцию В, направленную сверху вниз.

Рассмотрим построение линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил для балки на двух опорах.

Установим следующее правило знаков: изгибающий момент будем считать положительным, если он в заданном сечении вызывает растяжение нижнего волокна. Поперечная сила будет положительной, если она вращает вырезанный около рассматриваемого сечения малый элемент по ходу часовой стрелки.

Так, например, в сечении к балки (рис. 2.7, а) от единичной силы Р = 1 возникают момент и поперечная сила. Вырезанный около сечения к малый элемент балки показан на рис. 2.7, б. Легко заметить, что опорная реакция А стремится повернуть сечение к по ходу часовой стрелки, что вызывает растяжение нижнего волокна, следовательно, момент будет положительным. Поперечная сила также будет положительной (см. рис. 2.7, б), гак как сила стремится повернуть малый элемент по ходу часовой стрелки.

Для консольной балки (рис. 2.7, в) сила Р = 1, наоборот, стремится повернуть малый элемент в сечении к против хода часовой стрелки, следовательно, в малом элементе.

(рис. 2.7, г) растянутое волокно будет вверху, поэтому момент будет отрицательным. Поперечная сила стремится повернуть элемент против часовой стрелки, следовательно, Q^ < 0.

Построим линию влияния момента в сечении к, расположенном на расстоянии ад от левой опоры (рис. 2.8, а). Рассмотрим вначале случай, когда груз Р = 1 расположен в произвольном месте правее точки k. Изгибающий момент в сечении к (из условия равновесия левой отсеченной части) будет равен М* = Аа^. Из этого выражения очевидно, что момент изменяется так же, как опорная реакция А, но величина Mk отличается от А множителем а^. Таким образом, л. в. Мъ такая же, как л. в. А, взятая в масштабе аследовательно, на левой опоре надо отложить ординату а

Проведенные рассуждения справедливы только в том случае, когда груз Р = 1 расположен правее точки к. Если груз расположить слева от сечения к, то удобнее изгибающий момент определять из уравнения равновесия правой части.

м_к = вь_к.

Опорная реакция В стремится повернуть сечение против хода часовой стрелки, тем не менее выражение момента М* берется с плюсом. Объясняется это принятым выше правилом знаков. Момент считается положительным, если растягивается нижнее волокно.

Итак, при грузе слева от точки к линия влияния момента будет повторять л. в. реакции В в масштабе bследовательно, на правой опоре вместо 1 надо отложить величину b]_t. Таким образом, линия влияния изгибающего момента в сечении к состоит из двух прямых: левой и правой.

Левой прямой соответствует движение единичного груза слева от сечения k и, наоборот, правой прямой — движение груза справа от к. Левая и правая прямые пересекаются под точкой к. Общий вид линии влияния момента изображен на рис. 2.8, 6.

Отметим, что линия влияния момента в сечении к в простой балке полностью совпадает с эпюрой моментов от груза Р = 1, приложенного к точке к. Это совпадение имеет место только для ряда частных случаев, поэтому нельзя пользоваться указанной аналогией. Между линией влияния момента и эпюрой моментов имеется принципиальное различие. Ординаты линии влияния определяют изгибающий момент в одном сечении k, но при разных положениях груза Р = 1. Ординаты же эпюры моментов равны моментам в разных сечениях балки, но при неподвижном грузе Р = 1, приложенном в точке k.

Для построения линии влияния поперечной силы в том же сечении опять необходимо рассмотреть два положения груза Р = 1. Когда груз движется на участке правее точки к, Qk = Л (уравнение правой прямой). При движении груза на участке левее точки к Q*= -В (уравнение левой прямой).

Для линии влияния поперечной силы в точке k левая и правая прямые уже не будут пересекаться под точкой k> так как они параллельны. Общий вид л. в. Q^ показан на рис. 2.8, в.

Рассмотрим теперь балку, заделанную одним концом. Построим линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении, отстоящем на расстояниях а^ и от концов балки (рис. 2.9, а). Проведем через точку к сечение и рассмотрим равновесие правой отсеченной части при двух положениях груза. Если груз расположен слева от сечения к, то момент в сечении к равен нулю, следовательно, левая прямая совпадает с базисной линией. При действии груза на правой отсеченной части на расстоянии хот сечения М= -Рх: при х = О М* = 0; при х = /?? М_К= —РЬ^ (при Р = 1 = -b^).

По этим данным на рис. 2.9, б изображена л. в. М*.

Поперечная сила при грузе слева от точки k равна нулю, а при грузе справа = Р = 1 (не зависит от х). Сила Р = 1 стремится повернуть малый элемент в сечении k по ходу часовой стрелки, поэтому Qf_t > 0. Общий вид л. в. показан на рис. 2.9, в.

Если балка имеет консоли, то для сечений, расположенных в пределах консолей, л. в. и л. в. Q^ строятся так же, как в рассмотренной балке, заделанной одним концом.

Рис. 2.9.

Пример. Построить линии влияния моментов и поперечных сил в сечениях k> k₂ и k₃ балки, показанной на рис. 2.10, а. Приведем окончательные результаты без вычислений. Заметим только, что в пределах подвесных пролетов л. в. М*₂ и л. в. Qk2 заканчиваются прямыми линиями, которые соединяют нулевые ординаты на опорах 1 и 4 с ординатами на концах соответствующих консолей. На рис. 2.10, б —ж показаны л. в. М и Q в сечениях k, k₂ и ky

Рис. 2.10.

Это правило легко объяснимо. Когда груз находится на опоре 1 или опоре 4, вся балка не работает, груз Р = 1 воспринимается соответствующей опорной связью. Во время движения груза, но подвесным пролетам давление от него на концы консолей изменяется по линейному закону, поэтому график изменения этого давления описывается прямой линией. По двум значениям соответствующей величины момента или поперечной силы мы и провели указанные прямые.

Линии влияния Mkз и <2*3 в точке к₃, принадлежащей правому подвесному пролету, естественно, распространяются только в пределах данного пролета. В этом легко убедиться, рассмотрев равновесие подвесного пролета.