Одновременное применение метода сил и метода перемещений

Рассмотрим вариант применения двух основных методов — метода сил и метода перемещений — для расчета некоторых рамных систем, обладающих симметрией. Такой метод называется комбинированным. Идея этого метода состоит в том, что для некоторых типов симметричных рам выгодно расчет на симметричное загружение производить по одному методу, а на действие кососимметричной нагрузки — по другому методу.

Рассмотрим симметричную относительно вертикальной оси раму, изображенную на рис. 10.5, а. Система шесть раз статически неопределима. При расчете ее по методу сил следует составить и решить шесть совместных уравнений. При расчете по методу перемещений число неизвестных также равно шести (четыре поворота заделок и два смещения). Отмеченные трудности заставляют искать другие возможности, связанные с использованием симметрии. Действующую на раму нагрузку разложим на два состояния: симметричное и кососимметричное (рис. 10.5, б и в).

Для расчета рамы при первом (симметричном) воздействии выгодно применить метод перемещений. Для этого необходимо сгруппировать лишние неизвестные. Основная система показана на рис. 10.6, а. За первое лишнее неизвестное принимается одновременный поворот двух заделок на угол Z = 1, что создает первое симметричное воздействие. За второе неизвестное также принимается групповой поворот двух заделок Z₂ = 1. Отметим, что смещений узлов рамы при симметричном воздействии нс произойдет, поэтому решение будет содержать только два неизвестных. Во втором, кососимметричном, состоянии выгоднее применить метод.

Рис. 10.5.

Рис. 10.6.

сил. Разрезав раму по оси симметрии, потребуется приложить к ней только кососимметричные воздействия, т. е. поперечные силы Х_{ и Х₂. Таким образом, надо составить и решить два канонических уравнения.

В целом при таком подходе нужно дважды решать по два уравнения с двумя неизвестными (вместо шести совместных уравнений), что значительно облегчит вычисления.

Рассмотрим вначале симметричное^оздействие нагрузки. На рис. 10.6, 6 и в показаны эпюры М_{ и М₂ от Z_{ = 1 и от Z₂= 1. По этим эпюрам находим.

По эпюре Мр (рис. 10.6,г) найдем Rp = 2−6 = 12;/?_2/>=-12. Канонические уравнения метода перемещений будут:

Решение дает Z, = -7,7143?/; Z₂ = 5,1429?/. Применяя формулу Мр = Мр+ M_{Z + М₂Х₂, вычислим значения окончательных моментов во всех узлах рамы и построим эпюру Мр (рис. 10.6, Э). Эпюра Q_P легко строится по эпюре М_Р (рис. 10.6, е).

Рассмотрим теперь кососимметричное воздействие нагрузки. Для этого применим метод сил. На рис. 10.7, а показана основная система с двумя лишними неизвестными. Эпюры М и М₂ от Х = 1 и Х₂ = 1 показаны на рис. 10.7, б и в. Путем «перемножения» эпюр находим.

В этих выражениях в круглых скобках показаны ординаты, взятые под центром тяжести эпюр.

По эпюрам Мр и М, и затем по Мр и М₂ находим.

Канонические уравнения будут.

Рис. 10.7.

Решение лает: Х_х = 3,273; Х₂ = 10,909.

Окончательная эпюра моментов для кососимметричной группы сил, построенная на основании формулы М_Р ⁼ М_Р + + M + М₂Х₂, показана на рис. 10.7, д. Эпюра поперечных сил изображена на рис. 10.7, е.

Путем сложения эпюр моментов и эпюр поперечных сил для двух состояний получены окончательные эпюры М_Р и Q_P (рис. 10.8, а и 6).

Рис. 10.8.

В п. 6.6 доказано, что в каждом замкнутом контуре площадь эпюры M_P/(EJ) от нагрузки должна равняться нулю. Для проверки правильности решения надо подсчитать площади эпюры моментов для каждого стержня в отдельности. Так как в нашем примере жесткости всех стержней одинаковы, ограничимся подсчетом площади эпюры Мр по абсолютному значению (без учета знаков):

Теперь необходимо учесть знаки. Рассмотрим различные замкнутые контуры. Одна и та же площадь, входящая в разные контуры, может иметь разные знаки. Выпишем полученные площади на схеме рис. 10.9, б, расположив соответствующую площадь с той стороны от оси стержня, с которой превалирует площадь эпюры. Так, например, для стержня 1.

площадь, расположенная слева от оси стержня, больше площади, расположенной справа, поэтому значение (щ выписано слева от оси стержня.

Для проверки по каждому контуру в отдельности можно выделить три замкнутых контура. По каждому из контуров площади будем считать положительными, если они па схеме рис. 10.9, б выписаны снаружи контура:

• контур I, ограниченный стержнями 1—6—5 и землей. Площадь равна.

• контур И, ограниченный стержнями 1—2—3—4—5 и землей. Площадь равна.

• контур III, ограниченный стержнями 2—3—4—6. Площадь равна.

Максимальное расхождение между положительными и отрицательными суммами в Ощ составляет всего 0,006, или 0,02%, что свидетельствует о высокой точности решения.