Показатели надежности ремонтируемых объектов, восстанавливаемых в процессе применения

Показатели надежности таких объектов вычисляются лишь в календарном времени.

Восстанавливаемые в процессе применения ремонтируемые объекты можно разделить на две группы.

К первой группе относятся объекты, для которых в течение заданного времени работы допускаются отказы и вызванные ими кратковременные перерывы в работе. Для объектов этой группы большое значение имеет свойство готовности — способности находиться в процессе эксплуатации максимальное время в работоспособном и готовом к применению состоянии.

Ко второй группе относятся объекты, отказы которых в течение заданного времени недопустимы. Если в этих объектах (системах) имеются избыточные элементы, то при отказах некоторых из них объект остается работоспособным и можно проводить ремонт отказавших элементов во время выполнения задачи.

Один и тот же объект может быть отнесен к разным группам в зависимости от режима его применения.

Рассмотрим процесс эксплуатации объектов первой группы (рис. 3.2). После отказа (отмечен крестиком) объект некоторое.

Рис. 3.2. Реализация случайного процесса эксплуатации ремонтируемого восстанавливаемого объекта первой группы:

/^(|>, …, t⁽ⁿ⁾ — значения времени работы между отказами;/*¹*, …" /*^и) — значения времени восстановления (ремонта);/^* — значение времени между (/ - 1)-м и |-м восстановлениями; /_ь …, t" — моменты времени появления отказов (ххх); /[, …, t'_n — моменты времени восстановления (ооо) время находится в неработоспособном состоянии, т. е. ремонтируется. В результате ремонта объект приводят в работоспособное состояние. Возможные периоды выключения объекта, когда он не отказывает и не восстанавливается, исключаются из рассмотрения.

Таким образом, для первой группы объектов в процессе эксплуатации чередуются случайные периоды времени безотказной работы Г*⁰ и времени восстановления (ремонта) Г_в^(/). Обычно полагают, что случайные величины 7⁴⁰ имеют одинаковые распределения (аналогично и Г_в^(,)). Случайное время между очередными восстановлениями (обозначены кружками) Г₀^(/) = 7^{т (/)} + Г_в^(/).

Если случайные величины Т и Т_в независимы, то плотность распределения их суммы Т₀ по известному из теории вероятностей правилу о композиции распределений.

где /(/) — плотность распределения времени безотказной работы; g (t) — плотность распределения времени восстановления (ремонта) объекта.

По аналогии с ремонтируемыми невосстанавливаемыми объектами можно рассматривать поток восстановлений с параметром.

где f_Q(t) — плотность распределения времени между очередными восстановлениями.

Параметр потока восстановлений щ (!) и плотность распределения времени до появления я-го восстановления (это время равно сумме T₀^(l)) связаны следующим соотношением:

Надежность объектов первой группы может быть оценена при помощи мгновенных и числовых показателей. Одним из мгновенных показателей является параметр потока восстановлений щ (1). Однако обычно применяют вероятность Г (/,) застать объект работоспособным (готовым к применению) в момент времени t, либо вероятность П (/,) = 1 — Г (/,) того, что объект в момент времени /, будет неработоспособным (будет находиться в состоянии вынужденного простоя). Зависимость Г (г,) называется функцией готовности.

Как вероятность Г (/,), так и вероятность П (/,) находятся в предположении, что при t = 0 объект работоспособен, т. е. Г (0) = 1, П (0) = 1.

Объект может находиться в момент времени t в работоспособном состоянии при осуществлении одного из двух несовместных событий:

• 1) объект в течение времени (0, /) не отказал;
• 2) объект отказывал и восстанавливался и после последнего восстановления больше не отказывал.

Вероятность Г (0 застать объект работоспособным в момент времени t равна сумме вероятностей появления указанных событий. Вероятность появления первого события равна вероятности безотказной работы p (t) объекта в течение времени (0, t).

Для определения вероятности появления второго события рассмотрим малый интервал (т, х + dt), предшествующий /. Вероятность того, что на этом интервате закончится последний п-й ремонт и объект больше не откажет за оставшееся время (/ - т), равна.

Суммируем по всем п = 1, 2, … и получаем.

где <�о₀(т) — параметр потока восстановлений.

Интегрируя по т от 0 до t, находим:

Таким образом, вероятность застать объект работоспособным в момент времени t

Применим к формуле (3.9) узловую теорему восстановления (теорему Смита), согласно которой.

где П (зс) — математическое ожидание числа отказов на интервале (О, х); т_л — математическое ожидание времени между очередными событиями потока; q (x) — невозрастающая интегрируемая на интервале (0, оо) функция.

Учтем, что математическое ожидание случайной величины Т₀ = Т + Г, равно т, + т,_ь и что.

тогда получим.

Таким образом, вероятность Г (/) при t -" оо стремится к установившемуся значению к, не зависящему от законов распределения случайных величин Т и Т_в. Величина к, часто отождествляется с коэффициентом готовности, который определяется как вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование объекта по назначению не предусматривается.

Согласно формуле (3.10) коэффициент к_т готовности можно понимать как долю времени, в течение которого объект работоспособен, от общего времени эксплуатации объекта.

Учитывая общие свойства процесса восстановления, можно отметить особенность процесса приближения Г (?) к установившемуся значению к_г: при фиксированных значениях ш, и /и,_в стационарный режим наступает тем медленнее, чем меньше дисперсия случайной величины Т₀= Т + Т_в.

Часто используют среднее за срок службы значение коэффициента готовности:

при этом.

Проведя рассуждения, аналогичные приведенным ранее при выводе формулы (3.9), можно получить выражение для определения вероятности Г (Г, t + т) того, что объект не только окажется работоспособным в момент времени /, но и проработает безотказно на заданном интервале (t, t + т) (иногда эту вероятность называют готовностью на промежутке (г, / + т) или оперативной готовностью):

Функцию готовности Г (г) можно рассматривать как частный случай функции Г (/, t + т) при т = 0. При т -" °о функция Г (/, / + + х) превращается в условную вероятность безотказной работы объекта, найденную в предположении, что в момент времени t объект работоспособен.

Установившееся значение.

При произвольных законах распределения времени между отказами и времени восстановления решение уравнений (3.12) и (3.13) встречает большие трудности. Могут быть использованы численные методы; иногда оказывается удобным операционный метод.

Наибольшее практическое значение имеет случай, когда время между отказами и время восстановления имеют показательные распределения:

где ц — интенсивность восстановления.

В результате решения уравнений (3.9)—(3.13) получим

Формулы (3.15)—(3.18) в основном и используются при практических расчетах. Чтобы полнее и нагляднее раскрыть смысл коэффициента готовности, получим выражение (3.15), применяя приемы теории массового обслуживания.

При допущениях (3.14) процесс изменения состояний объекта будет марковским (т.е. без последействия) процессом с непрерывным временем и конечным множеством состояний: 0 — объект работоспособен; 1 — объект неработоспособен, находится в ремонте.

Найдем сначала вероятность того, что объект окажется работоспособным в момент времени 1 + At. Для обозначения вероятностей нахождения в определенных состояниях в момент t будем применять прописные буквы P (t) в отличие от вероятности безотказной работы в течение времени от 0 до t, обозначаемой p (t). Искомое событие может быть осуществлено двумя следующими несовместимыми способами:

• 1) работоспособный к моменту времени t объект останется работоспособным в течение интервала времени (/, t + At);
• 2) неработоспособный (находящийся в ремонте) к моменту времени t объект будет восстановлен в течение интервала времени (/, t + Л/).

Все остальные возможности имеют вероятность более высокого порядка малости, чем At.

Вероятность первого из указанных событий.

где P₀(t) — вероятность застать объект в момент времени t в состоянии 0; о (Д/) — бесконечно малая по сравнению с At величина.

Поскольку сумма вероятностей состояний 0 и 1 то вероятность второго события.

Следовательно, вероятность того, что к моменту времени t + + At объект окажется работоспособным,.

Отсюда заключаем, что.

При At -> О.

Решив уравнение (3.19) для P₀(t) = Г (/) при Г (0) = Р₀(0) = 1, получим формулу (3.15).

Если обозначить.

то формулу (3.16) можно записать в следующем виде:

Когда т, «/я,_в, что обычно и бывает на практике, ^*р.

На рис. 3.3 показана зависимость функции готовности Г (/) от коэффициента р = А/ц. При увеличении значения р надежность объекта снижается, но стационарный режим устанавливается более быстро. Если формулу (3.15) переписать в виде.

то очевидно, что продолжительность переходного процесса определяется также величиной ц: чем больше р, тем быстрее наступает Рис. 3.3. Функции готовности Г (/) при показательных распределениях времени безотказной работы и времени восстановления стационарное значение. Приводимые на рис. 3.3 графики соответствуют р = 0,2 ч'¹. Соответствующая зависимость для р = = 1,0 ч" ¹ при р = 0,2 проведена на рис. 3.3 пунктиром.

При р «1 и больших значениях р (системы с высоким уровнем безотказности и ремонтопригодности) продолжительность переходного процесса для Г (/) определяется в основном значением р.

Формулу (3.15) можно преобразовать с учетом того, что.

и значение к_г определяется формулой (3.16):

При X = const, р = const в начальный период эксплуатации объекта значения Г (/) приближенно равны значениям вероятности безотказной работы p (t) на интервале (0, /). В этом можно убедиться, если в формулах для Г (/) и p (t) разложить экспоненты в ряды, в которых оставить лишь линейные члены.

При этом получается, что при малых / функция готовности Г (/) будет определяться следующим выражением:

Чтобы избежать трудоемких вычислений значений Г (/) в нестационарный период, предложено приближенно считать, что до некоторого момента времени /_ь при котором вероятность безотказной работы р (/|) = к_п значения Г (/) совпадают с p (t), а при / > /, — равны к, (рис. 3.4). При этом максимальная погрешность будет в точке /, которую найдем из условия.

откуда.

Подставим это значение г, в формулу (3.20), после преобразований получим:

При этом максимальная относительная погрешность вычислений.

Поскольку обычно kj. > 0,9 и близко к единице, то.

Для к_г > 0,9 погрешность не велика (менее 4%) и быстро уменьшается с ростом к_г.

Приведенные на рис. 3.3 и 3.4 зависимости имеют место при X = const, ц = const. При распределениях времени безотказной работы, отличающихся от показательного, часто существует провал функции готовности на начальном участке, когда Г (/) имеет вид, показанный на рис. 3.5. На рис. 3.5 можно выделить три характерные точки кривой Г (/): /_ь /₂, /3.

На участке (0, /1) функция готовности незначительно отличается от вероятности безотказной работы объекта за время (0, /,). В тех случаях, когда удается найти границу допустимого приближения, можно считать Г (/) «p (t).

В точке /₂ функция Г (г) достигает минимального значения. Величина провала АГ = к_г — Г (/₂) функции готовности зависит от законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления. Задача определения Г (/₂) решена аналитически лишь для случая, когда закон распределения времени безотказной работы может быть описан суперпозицией показательных рас;

Рис. 3.4. Зависимость Г (/) и p (t).

Рис. 3.5. Нестационарный участок функции готовности системы, у которой распределение времени безотказной работы описывается суперпозицией двух показательных распределений пределений (при этом учитывается наличие периода приработки) и время восстановления распределено по показательному закону. При этом установлено, что более крутому спаду начального участка (t) соответствует более глубокий провал функции Г (0- Кроме того, значение провала и его длительность возрастают при увеличении безотказности системы. Поэтому отрицательно влияние процесса приработки на функцию готовности наиболее сильно проявляется в высоко надежных системах.

Наряду с коэффициентом готовности часто применяют коэффициент технического использования к^ _к — отношение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, времени простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и времени ремонта за тот же период эксплуатации. Очевидно, что всегда к, «< к,.

Предположим, что простои могут быть лишь двух видов: аварийные при восстановлении работоспособности объекта после отказа и плановые (профилактические).

Если среднее число отказов за период эксплуатации (/, t₂) равно Q, то общее время эксплуатации состоит из трех слагаемых:

• 1) времени нахождения в работоспособном состоянии — продолжительность С1т,;
• 2) времени нахождения в аварийном ремонте — продолжительность Йт,_в;
• 3) времени нахождения в плановом ремонте — продолжительность 1/_пл.

Следовательно,.

Коэффициент технического использования.

Подставив в формулу (3.21) вместо т, его выражение, согласно формуле (3.16) получим:

Надежность восстанавливаемых объектов, в которых отказы недопустимы, а возможен ремонт некоторых элементов во время выполнения задачи, чаще всего оценивают с помощью условной вероятности безотказной работы p (t_htj) в течение заданного интервала времени (t_h tj) при условии, что в начальный момент времени все элементы работоспособны. Слово «условная» обычно опускают.

Отличие p (ti, tj) от соответствующего показателя для неремонтируемого объекта состоит в том, что при вычислении /?(/,/_у) учитывается ремонт отказавших элементов при работоспособном объекте (системе). Обычно оценка /К A,/_у) для проектируемых объектов производится при допущении о показательных распределениях времени безотказной работы и времени восстановления элементов. Расчет таких систем описан в гл. 4.

Для объектов второй группы в качестве показателей надежности могут использоваться также параметр потока отказов, наработка на отказ и другие характеристики.

Все рассмотренные в этой главе показатели надежности объектов можно разделить на три группы:

• 1) интервальные, относящиеся к заданному интервалу наработки или времени (/, t₂);
• 2) мгновенные, соответствующие заданному значению времени или наработки /;
• 3) числовые, не связанные с расположением заданного интервала или момента времени (наработки).

Таблица 3.2.

Основные показатели надежности сведены в табл. 3.2. Сюда не включены показатели, связанные с условными распределениями наработки между отказами ремонтируемых невосстанавливаемых в процессе применения объектов. Эти показатели аналогичны показателям надежности неремонтируемых изделий и должны быть дополнены моментами связи или коэффициентами корреляции наработки между отказами.