Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях балки, зависят от изгибающих моментов М_н и поперечных сил Q. Для определения опасных сечений и наглядного представления о характере изменения М_и и Q по длине балки строят графики, которые называются эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил. Чтобы усвоить технику их построения, рассмотрим пример.

Построить эпюры Q и М_н для балки, представленной на рис. 2.56, а.

Решение

1. Определение опорных реакций:

Проверка: '^_dF_ky= 0; -qa+R_A+R_B-F = -Q + 2, 5 + 7,5−10 = 0.

2. Построение эпюры поперечных сил «0» (см. рис. 2.56, б). Характерными сечениями разбиваем балку на четыре участка. Сечения проводим по краям балки, а также через точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также в начале и конце участков с распределенной нагрузкой. Поперечную силу в пределах каждого участка будем записывать в виде уравнения, аргументом которого является переменная координатах. Поперечную силу находим в соответствии с правилом как алгебраическую сумму внешних сил, действующих слева от рассматриваемого сечения. Индексу поперечной силы обозначает номер участка.

Q, =-qx — это уравнение прямой линии, которую можно построить по двум точкам. Определяем значение Q в начале и конце участка.

В любом сечении участка АС поперечная сила имеет одно и то же значение, эпюра будет изображаться линией, параллельной базовой оси.

Qm = -ц, а = 2,5 Н. Характер эпюры тот же, что и на участке АС.

Для определения Q на участке BD удобнее отбросить левую часть и рассмотреть оставшуюся правую. Q,_v = F = 10 Н .

Проводим базовую ось параллельно оси балки и в масштабе строим эпюру поперечных сил на каждом участке в соответствии с уравнениями (см. рис. 2.56, б).

3. Построение эпюры изгибающих моментов М_и (см. рис. 2.56, в). Изгибающие моменты также определяются по участкам и записываются в виде уравнений, в которых независимой переменной является координата х:

Уравнение изгибающих моментов на участке О А является уравнением второго порядка. Для построения эпюры необходимо определить моменты трех или более точек. Определим М_и в начале, конце и в середине первого участка:

Рис. 2.56.

Изгибающий момент на втором участке АС определим как алгебраическую сумму моментов внешних сил слева от сечения с координатой х":

Получили уравнение прямой линии, которую можно построить по двум точкам, соответствующим двум значениям изгибающего момента. Находим эти значения в начале и конце участка АС:

Уравнение моментов для участка CD также запишем, суммируя моменты внешних сил, расположенных слева от сечения х,":

Определим значения изгибающих моментов на границах участка СВ:

Для определения изгибающих моментов на четвертом участке удобнее отбросить левую часть балки, так как к ней приложено большее число внешних сил:

Значения моментов на границах участка:

Строим в масштабе эпюру «М_н» на каждом участке в соответствии с полученными уравнениями (см. рис. 2.56).

Анализируя эпюры «Q» и «Л/_н», можно отметить следующие зависимости между характером эпюр и нагрузок:

• • на участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра поперечных сил очерчивается наклонной прямой линией, а эпюра изгибающих моментов имеет криволинейное очертание — квадратичную параболу;
• • между точками приложения сосредоточенных сил поперечная сила постоянна, а эпюра моментов очерчивается наклонной прямой линией;
• • эпюра поперечных сил скачкообразно изменяется в местах приложения внешних сил, при этом величина скачка равна приложенной сосредоточенной силе;
• • сосредоточенный момент не влияет на характер эпюры поперечных сил, а на эпюре изгибающих моментов в этом сечении имеется скачок, величина которого равна приложенному внешнему моменту;
• • поперечная сила Q положительна на участках балки, где эпюра М" восходящая, если смотреть слева направо, и отрицательна на тех участках, где эпюра Л7″ нисходящая;
• • поскольку Q = dM/dx, то изгибающий момент достигает экстремума (максимума или минимума) в тех сечениях, где поперечная сила равна нулю, т. е. эпюра Q пересекает базовую ось.

Перечисленные зависимости используются для контроля правильности построения эпюр внутренних силовых факторов при деформации изгиба.