Математические модели процесса измельчения сыпучих материалов на основе обобщенной системы гидромеханических уравнений и модельных представлений

Стратегия структурного упрощения обобщенного математического описания системы (несущая фаза — измельчаемые и смешиваемые частицы — рабочие органы) в виде (1.89) в локальной точке рабочего объема аппарата предполагает оценку, но порядку малости величин, входящих в обобщенное описание (с привлечением методов теории анализа размерностей), выявление минимального числа наиболее значимых параметров, определяющих поведение системы; соблюдение требований простоты и удобства в использовании математического описания при сохранении «разумной» (с практической точки зрения) степени его адекватности; модификацию описания для конкретного типа и конструкции измельчающего или смесительного устройства. Результатом такого структурного упрощения будет являться математическая модель измельчающего или смесительного аппарата, условия применимости которой строго определены.

Рассмотрим построение математических моделей процесса измельчения в ударно-центробежных устройствах неформальными методами (схему ударно-центробежного устройства непрерывного действия см. на рис. 2.8). Для локальной точки рабочего объема данного устройства запишем систему уравнений (1.89) учитывая, что измельчению подвергается только один сорт сыпучего материала (т = 1, г = 2, отсутствуют эффекты смешения) и несущая фаза представляет собой газ (воздух), и сохраняя обозначения и допущения, введенные в п. 1.1.2. Дополнительно к этим основным допущениям будем пренебрегать внутренним трением в газе, т. е. = 0, эффектами столкновений измельчаемых частиц, а также примем х_г = 1, = 0 (пред;

полагасА*, что часть диссипируемой кинетической энергии всей смеси несущая фаза—измельчаемые частицы из-за силового взаимодействия фаз полностью переходит непосредственно во внутреннюю энергию несущей фазы). Тогда получим: уравнение сохранения массы несущей фазы.

уравнение баланса числа частиц объемом г.

уравнение движения частиц объемом г

уравнение изменения внутренней энергии несущей фазы.

уравнение изменения внутренней энергии частиц объемом г.

уравнение изменения внутренней энергии рабочих органов.

В уравнениях (2.7) — (2.13) р, р}, a_lt v, F_lt и_у — соответственно средняя плотность, истинная плотность, объемное содержание, скорость, удельные (на единицу массы) массовая сила и внутренняя энергия несущей фазы; /₂ (г) — плотность распределения числа частиц по объемам в единице объема смеси; р₂, р5, а₂ — соответственна средняя плотность дисперсной фазы (измельчаемые частицы), истинная плотность дисперсной фазы и объемное содержание дис;

R R

перепой фазы; а₂ = § rf₂®dr; р₂= J р₂г/₂(г) dr; pi = pjai; p₂ = p5a₂;

о о.

«1 4- a₂ *= 1; v₂ (г) — скорость частицы объемом г; А_г (г) — вероятность разрушения частицы объемом г дисперсной фазы в единицу времени в результате воздействия лопасти измельчителя (для ударноцентробежных устройств рабочими органами являются К-образны© лопасти высокооборотного измельчителя); В₂ (г/у) — распределительная функция или плотность распределения вероятности образования частицы объемом г при разрушении частицы объемом Y (Y.

V.

> г); ^B₂(r/y)dr = 1; Р — давление; Год — сила взаимодействия о.

между несущей и дисперсной фазами, обусловленная скоростной неравномерностью между фазами; v₂ (г/у) — скорость частицы объемом г дисперсной фазы, образовавшейся при разрушении частицы объемом Y; F₂ — массовая сила, действующая на дисперсную фазу; и₂ (г), и2 (y) — удельные (на единицу массы) внутренние энергии частицы объемом г и объемом у, q_x — внешний поток тепла; q_2l (г) — поток тепла от частицы объемом г к несущей фазе за единицу времени; R — объем наибольшей частицы; и_ро — внутренняя энергия рабочих органов (F-образных лопастей измельчителя) в расчете на единицу рабочего объема аппарата; и₂ (г/у) — работа рабочих органов, затрачиваемая на образование частицы объемом г дисперсной фазы при разрушении частицы объемом у в расчете на единицу массы частицы объемом г.

Уравнения (2.7) — (2.13) описывают процесс измельчения сыпучего материала в ударно-центробежном устройстве (в локальной точке), характеризующийся совокупностью физико-механических явлений, протекающих в двухфазной (газ — твердые частицы) полидисперсной среде с механическим измельчением и перемешиванием.

Т5днако в виде (2.7) — (2.13) математическое описание не является математической моделью ударно-центробежного измельчающего устройства. Для построения такой модели необходимо определение в явном виде Л₂ (г), В₂ (г/у) и ₂ (г/у), интегрирование (2.7) — (2.12) по рабочему объему аппарата и задание начальных и граничных условий. Рассмотрим последовательно эти операции.

Определим в явном виде Л₂ (г), В₂ (г/у), В п. 1.1.4 на этапе качественного анализа структуры процесса измельчения из структуры движущих сил были получены в общем виде аналитическое выражение (1.107) для вероятности разрушения частицы объемом г г-й дисперсной фазы A _t (г), аналитическое выражение (1.108) для распределительной функции В (г/у) (плотности распределения вероятности образования частицы объемом г i-й дисперсной фазы при разрушении частицы объемом у) и выражение (1.120) для критерия измельчения. В данном случае мы рассматриваем процесс измельчения сыпучего материала одного сорта, т. е. двухфазную смесь (газ — твердые частицы, подвергающиеся измельчению); для этого случая т= 1, a i = 2. Поэтому выражения для А₂ (г), В₂ (г/у) и W будут иметь вид.

Модифицируем выражения (2.14) — (2.16) применительно к процессу измельчения в ударно-центробежном устройстве. Для этого перейдем в этих выражениях от объема измельчаемой частицы г к ее характерному линейному размеру I. Тогда получим.

где W_t — критерий измельчения частицы размером /,.

L_B, g, / — коэффициенты; <�Тц, o_Yi — свободная энергия единицы поверхности раздела фаз несущей фазы и соответственно частиц размером I и у; Оц_у Оуу — свободная энергия единицы поверхности раздела двух твердых тел соответственно для частиц размером I и у. Величины Од, от_ь Оц и о_Уу для данного сыпучего материала и несущей фазы можно считать константами.

.В ударно-центробежных измельчающих устройствах процесс измельчения проходит при сильной турбулизации потока как несущей фазы, так и измельчаемых частиц. Как известно 140), для турбулентного потока справедливо выражение.

где е — удельная мощность на перемешивание и измельчение единицы массы измельчаемого сыпучего материала. Величину е можно.

_где д/ _ масса измельчаемого сыпучего материала.

Рис. 2.13. Схема Р-образной лопасти измельчителя ударно-центробежного устройства с изменяющимся углом атаки <�р Подставляя выражения (2.21) и (2.22) с учетом (2.23) в выражения (2.18) и (2.20), для критериев измельчения соответственно частиц размером I и у получим.

Мощность N на перемешивание и измельчение представляет собой энергию, расходуемую на всю совокупность физико-механических, тепловых и гидромеханических эффектов и явлений, происходящих в единицу времени в рабочем объеме измельчающего устройства. Полная схема распределения этой энергии рассмотрена на этапе качественного анализа структуры процесса измельчения.

Согласно 141—43] мощность на перемешивание можно выразить через критерий мощности K_N, используя метод анализа размерностей:

где п — число оборотов измельчителя, об/с; d — диаметр измельчи-_/ теля, м (см. рис. 2.8); Не ~ ие/²р?/рi — модифицированный критерий Рейнольдса для процессов перемешивания и измельчения; pi — динамический коэффициент вязкости несущей фазы, Па-с; h — ширина лопасти измельчителя, м; <�р — угол атаки лопасти измельчителя, рад (рис. 2.13); К и с[_щ с2, сз — коэффициенты. Формула (2.26) справедлива для геометрически подобных ударно-центробежных измельчающих устройств с различной конструкцией F-образной лопасти измельчителя.

Подставляя выражения (2.24) и (2.25) для критерия измельчения с учетом (2.26) в (2.17) и (2.19) и проводя очевидные преобразования, получим в явном виде выражения: для вероятности разрушения частицы размером I

где К₂ — постоянный коэффициент для данного измельчаемого сыпучего материала, несущей среды и диаметра измельчителя;

для распределительной функции (плотности распределения вероятности образования частицы размером I при разрушении частицы размером у).

где К_А = L_B (/C3^,(pJ)*/"p2d^,#/*/(Af*/i (2a_Vl — а-уу))1* — постоянный коэффициент для данного измельчаемого сыпучего материала, несущей среды и диаметра измельчителя.

Коэффициенты К₂, К_х, с_и с₂, с₃, g_u g₂, g₃, с, g и / определяются на третьем этапе системного анализа процесса измельчения — этапе идентификации параметров и проверки адекватности математических моделей (см. гл. 3).

Определим в явном виде выражение для скорости ₂ (г!у) частицы объемом г, образовавшейся при разрушении частицы объемом у в результате взаимодействия с F-образной лопастью измельчителя. Рассмотрим упругий удар двух тел, одно из которых — частица объемом у, обладающая скоростью v₂ (у), второе — лопасть измельчителя массой т_л^> т_у = р? у и скоростью v. t Удар протекает в две стадии (44). На первой тела деформируются и начинают двигаться с одной скоростью v. Запишем закон сохранения импульса для каждого тела

v

где Sf = ^F' dt— ударный импульс на первой стадии удара; F' — о сила удара на первой стадии; t' — время первой стадии удара. Из (2.29) и (2.30) определим.

Достигнув максимальной деформации, тела или возвращаются в исходное состояние (вторая стадия удара), или имеют вероятность Л2 (у) разрушения частицы объемом у в единицу времени на осколки объемов (0, у) и вероятность В₂ (г/у) dr образования частицы объемом 1 г, г + dr).

где m_Yl, m_Yt,.. m_r,.. m_Yjv; v?(yi/y), v₂ (y₂/y), • • •? v₂ (r/y),. .. ... Vo (Yiv/y) — соответственно массы и скорости образовавшихся осколков объемов уь у₂,.. ." г,.. yjv; л — вектор скорости ло;

г пасти после столкновения с частицей объемом у; Sjr = jj F" dt —.

v

ударный импульс на второй стадии удара; F* — сила удара на второй стадии: С — время удара; К_Ух, К_у.,.. К_г,.. K_yN — коэффиппенты распределения импульса между осколками.

При упругом ударе.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

При #я_л т_у выражение (2.31) для скорости v принимает вид Подставляя (2.39) в (2.38) и учитывая, что т_у р? у, т_Т р$г, получим.

Для построения математической модели процесса измельчения в ударно-центробежном устройстве запишем систему уравнений (2.7)—(2.13) относительно характерного линейного размера измельчаемых частиц для удобства сравнения расчетных и экспериментальных данных. Для этого будем использовать очевидные соотношения.

где /₂ (г) dr — число частиц объемов от г до г + dr в единице рабочего объема аппарата; /₂ (/) dl — то же самое число частиц линейных размеров от I до I + dl в единице рабочего объема аппарата. Объем частицы г можно выразить через характерный линейный размер в вйде.

где Сф — фактор формы измельчаемых частиц данного сыпучего материала; I — линейный размер частицы. Дифференцируя выражение (2.42), получим.

С учетом (2.43) из равенства (2.41) определим Аналогично из выражения.

получим.

Подставляя выражения (2.41)—(2.46) в (2.7)—(2.13) и учитывая свойства определенного интеграла [45], получим систему уравнений, описывающую процесс измельчения в локальной точке рабочего объема ударно-центробежного устройства:

/_тах — линейный размер наибольшей частицы.

Для построения математической модели ударно-центробежного измельчающего устройства необходимо проинтегрировать систему уравнений (2.47)—(2.53) по рабочему объему аппарата и задаться начальными и граничными условиями. Однако такая задача может привести к значительным математическим трудностям и к неоправданному стремлению получения точной математической модели. Поэтому для упрощения операции интегрирования применяют модельные представления о гидродинамической структуре потоков несущей фазы и измельчаемых частиц или о случайном распределении элементов фаз по времени пребывания в измельчающем аппарате с тем, чтобы явления, вероятностные по своей природе, можно было описать детерминированными методами 12]. Для этого предполагают определен, но пую гидродинамическую модель структуры потоков, а затем на третьем этапе системного анализа проверяют ее экспериментально.

Рассмотрим идеализированные структуры гидродинамических потоков несущей фазы и измельчаемых частиц в ударн о-ц е н т р обежном устройстве: модели идеального перемешивания, идеального вытеснения, ячеечную, идеального вытеснения с переменной линейной скоростью потоков и диффузионную модель.

Модель идеального перемешивания предполагает следующую структуру потока измельчаемых частиц и несущей фазы: частицы сыпучего материала, поступающего на вход ударно-центробежного устройства, мгновенно распределяются равномерно по всему рабочему объему аппарата, так что средняя плотность несущей фазы pi и плотность распределения числа частиц по размерам /₂ (/) во всех точках аппарата и на выходе из него одинаковы.

Интегрируя систему уравнений (2.47)—(2.53) по объему ударноцентробежного устройства V с учетом структуры идеального перемешивания и задаваясь начальными и граничными условиями, получим математическую модель процесса измельчения для ударноцентробежного аппарата идеального перемешивания в виде.

где F₂ (I) /₂ (/) V — плотность распределения числа частиц по раз" .

мерам в рабочем объеме ударно-центробежного устройства (на выходе); F20 0) — плотность распределения числа частиц по размерам на входе ударно-центробежного устройства; Q — объемный расход сыпучего материала через ударно-центробежное устройство; V — рабочий объем аппарата.

Модель идеального вытеснения соответствует структуре поршневого движения потоков измельчаемых частпц и несущей фазы, при котором перемешивание субстанций в направлении движения потока отсутствует, а в точках сечения, ортогонального направлению движения, средняя плотность несущей фазы pi и. плотность распределения числа частиц по размерам /₂ (I) одинаковы. Поток измельчаемых частиц и несущей фазы движется с постоянной линейной скоростью v~

Интегрируя систему уравнений (2.47)—(2.53) по сечению ударно-центробежного устройства S с учетом структуры идеального вытеснения измельчаемых частиц и задаваясь начальными и граничными где F2 (I) — /₂ (I) S — плотность распределения числа частиц по размерам в сечении ударно-центробежного устройства; S — площадь сечения ударно-центробежного устройства; v — линейная скорость по-‘ тока; L — высота ударно-центробежного устройства; F_:0 (/, t) — плотность распределения числа частиц по размерам на входе ударноцентробежного устройства.

В ячеечной модели структуры потока измельчаемых частиц поток условно разбивается на ряд последовательно соединенных ячеек идеального перемешивания. Проинтегрируем систему уравнений (2.47)—(2.53) по объему V_t i-й ячейки. Тогда математическая модель процесса измельчения для ударно-центробежного устройства с учетом ячеечной структуры представляет замкнутую систему обыкновенных интегродиффереициальных уравнений с начальными и граничными условиями:

условиями, получим математическую модель процесса измельчения для ударно-центробежного аппарата идеального вытеснения в виде.

где F2i (I) *= /₂ (I) Vi — плотность распределения числа частиц по размерам в i-й ячейке; т — число ячеек, на которые условно разбито ударно-центробежное устройство; Qi — объемный расход материала через г-ю ячейку.

Для ударно-центробежного аппарата идеального вытеснения с переменной линейной скоростью потоков измельчаемых частиц и несущей фазы математическая модель процесса измельчения после интегрирования по сечению S будет иметь вид.

Диффузионная модель структуры потока учитывает перемешивание измельчаемых частиц в направлении движения потока. Математическая модель процесса измельчения с учетом (1.17) имеет вид.