Решение для однородного материала

С учетом того что а₀ = а_ф и в₀ = в, для а, и в, из формул (1.1) и (1.11) получаются выражения.

Предположение о несжимаемости материала, т.с. об отсутствии объемных деформаций (в,. + 2в₀ = 0), позволяет проинтегрировать условие совместности деформаций:

в результате чего находим.

где В — константа интегрирования.

Из уравнения равновесия.

с учетом соотношений (7.15) и (7.1) получим.

Здесь, чтобы сохранить симметрию диаграммы «а, — в,» при растяжении и сжатии, введены абсолютные значения и параметр х ⁼ sign в, где обозначение «sign» означает знак соответствующей величины.

Переходя к безразмерным величинам р = г/a, s_r = v_r/p_b и вводя обозначения К = Ар_ь~^х/Е^а_у С, = (Е -2В)/(р_ьа³), решение уравнения (7.16) можно записать в виде.

где константы С_{ и С₂ определяются из граничных условий.

Подставляя решение (7.17) в условия (7.18), получим систему из двух нелинейных уравнений степени, а относительно констант С_{ и С₂, которая в общем случае решается численно.

Ниже рассматривается частный случай — задача о концентрации напряжений вблизи сферической полости в бесконечном массиве, подверженном гидростатическому давлению р_ь = р. Полагая Р = оо, со = 0, х ⁼ + 1 находим С₂ = -1, а для С, получается уравнение.

Таким образом, константа С, зависит от а, т. е. от отношения Е_сп/Е и параметра К, который, в свою очередь, зависит от внешнего давления р и предела прочности материала а_п. При некоторых значениях, а уравнение (7.19) дает несколько решений, из которых следует выбрать то, которое сходится к решению для линейно-упругого материала.

Отметим, что переход к линейной задаче осуществляется, если положить К = 0, что соответствует А = 0 или E_ai = Е. При этом согласно определению (7.14) а —? оо. Однако переход К ^ 0 можно рассматривать иначе, считая EJE = const (а = const), а а_п —? °°, что при малых значениях г приближает нелинейную диаграмму к линейной. Как иллюстрация сказанного па рис. 7.4 приведены две ветви положительной зависимости С, от К при, а = 3, что соответствует Е_сп/Е = 2/3. Очевидно, что правильной является нижняя ветвь — Cj⁽¹⁾, поскольку при К —? 0 она дает решение, отвечающее линейной задаче. Это легко проверить, вычислив напряжения а₀ на контуре полости. Их безразмерные значения вычисляются по формуле.

из которой для рассматриваемого случая имеем.

При сжатии массива перемещения вдоль радиуса и < 0, откуда следует, что s_e = и/г 0.

Рис. 7.4. Зависимость константы С_х от параметра К.

Рис. 7.5. Зависимость константы С_х от параметров диаграммы «а, —г-«.

Легко проверить, что при К —? 0 и С_х = 1,5 величина 5₀ = -1,5, что соответствует известному результату для линейно-упругой задачи.

На рис. 7.5 приведены зависимости С_х от отношения Е_сп/Е для трех уровней нагрузки, определяемых отношением р/с_п. В табл. 7.2 приведены зависимости параметров, а и К, соответствующих различным значениям отношений Е_сп/Е и р/а_п. При этом К может быть вычислен по формуле.

Таблица 7.2.

Зависимости параметров, а и К от степени нелинейности диаграммы «а, — е,» и нагрузки.

На рис. 7.6 приведены эпюры безразмерных напряжений 5₀, вычисленные по формуле (7.20) при р/о_и = 0,5 для различных значений отношения Е_сп/Е. Пунктиром показано решение для линейно-упругого материала. Заметим, что с увеличением нелинейности (уменьшение отношения Е_сп/Е) снижение напряжений по сравнению с упругой задачей становится более существенным.

Рис. 7.6. Эпюры напряжений s_Q вблизи сферической полости.