Комплексная оптимизация БТМС

Как отмечалось в § 10.1, для целей биотелеметрии, исходя из ее специфических проблем (см. гл. 1), удобно использовать комбинированный подход к оптимизации БТМС, определяемый соотношениями (10.9)—(10.12). Для этого необходимо каким-либо способом определить вид результирующей функции//-) — Первая задача, которую при этом нужно решить, — выбор состава частных показателей качества (k_l9 к₂,…, к_п__х). Количество этих показателей для реальной системы может быть в принципе бесконечно большим. Однако чем больше учитываемых показателей, тем сложнее провести оптимизацию системы без введения грубых допущений, что может привести в конечном итоге к ухудшению результатов. Поэтому для каждого конкретного случая, вообще говоря, существует какое-то оптимальное число составляющих (?, к₂, …, к_п_,). Для БТМС такого рода укрупненными частными показателями на первом этапе могут служить такие информационные параметры, как скорость передачи информации I (J) и СКО 8. Включение этих показателей в результирующую целевую функцию Д-) обусловлено самой сутью БТМС как информационно-измерительной системы. Необходимость включения показателей, характеризующих помехоустойчивость и скорость передачи информации в качестве основных целевых параметров для систем передачи информации, указывается во многих работах [48, 49, 83, 84, 142, 167].

В качестве результирующей функции, учитывающей и эффективность и помехоустойчивость, может служить коэффициент использования пропускной способности, определяемый уравнением (10.50):

Применение показателя г в качестве результирующей функции целесообразно потому, что он относится к объективным итоговым критериям, устанавливающим количественную связь между основными параметрами БТМС (в частности, Д? е, а о и т. д.). Тот факт, что ддя/_э(-) использовано отношение I (J) к C (J), хотя и не является объективно обоснованным, тем не менее может быть допустимо в качестве условия нормировки I (J) относительно верхней оценки скорости передачи информации (см. § 1.4). Если использование величины C{J) в данной форме все-таки нежелательно, то в качестве результирующей функции эффективности можно воспользоваться показателем I{J)

Дополнительным аргументом в пользу обобщенного показателя вида (10.63) или (10.64) является и то, что, основываясь на представлении БТМС с помощью графов, можно ввести результирующую функцию/Д-)* учитывающую не только технические, но и экономические характеристики БТМС на базе введенных в § 1.4 критериев функциональной сложности.

Действительно, если рассматриваемая БТМС характеризуется графом G[A, X], где А — множество функциональных узлов ФЭ, осуществляющих преобразование информации; X — множество ветвей, отражающих связи между отдельными ФЭ, то, поставив в соответствие каждой ветви a_if Е А определенное число (C (a_if)), которое назовем пропускной способностью ветви, а каждому узлу x_i е X — число /(*,), которое назовем производительностью соответствующего узла (причем I (xi) может принимать любое действительное, a C (a_if) — только положительное значение), мы сведем весь процесс передачи сообщений в БТМС к потоку информации, проходящему через ориентированный граф. Если для передачи единицы количества информации из заданного множества источников Х_и с X в стоки X_c(zX необходимо осуществить v_G нормированных операций, то средняя величина потока /(*), приходящаяся на одну функциональную операцию, может служить результирующей характеристикой, учитывающей как технические, так и экономические показатели рассматриваемой системы [17, 18, 21, 35, 36]:

Функция (10.65), по существу, отражает необходимые технико-экономические затраты в БТМС при передаче единицы сообщения от источников к потребителям: чем меньше функциональных операций приходится на единицу переданных сообщений и чем меньше время, необходимое для этой передачи, тем более высокую производительность имеет система в целом.

Вместо (10.65) в качестве результирующей функции можно использовать и функцию вида.

Конечно, оба выражения (10.65) и (10.66) в известной мере являются качественными характеристиками. Однако здесь важен сам факт принципиальной возможности установления связи между техническими и экономическими (функциональными) показателями оптимизируемой системы.

В качестве примера установим связь между помехоустойчивостью и сложностью [35]. Анализ основных результатов теории информации и связи показывает, что информационная помехоустойчивость БТМС зависит от сложности системы. Характерным примером является известная теорема Шеннона [177], согласно которой путем неограниченного усложнения системы кодирования можно передать сообщение со сколь угодно малой вероятностью ошибок. Таким образом, уже из этой теоремы следуют предельные соотношения, связывающие сложность и помехоустойчивость:

где Рош — вероятность ошибки; р_тах — максимально допустимая вероятность ошибки; p_mjn — минимальная сложность БТМС, позволяющая передать информацию с заданной вероятностью р_тах. Условия (10.67) определяют верхнюю и нижнюю грани р_ош р (5) для идеальной системы кодирования, не вносящей дополнительных шумов. Для такой системы зависимость р_ош от сложности р (5) должна носить монотонно убывающий характер.

В системе с собственными шумами кодирования соотношение (10.67), очевидно, будет иметь вид.

где /?_min — минимально достижимая вероятность ошибки для данной шумящей системы кодирования; р_ор| — оптимальное значение сложности, соответствующее вероятности p_min.

Следовательно, в системе с шумами зависимость р_ош от сложности будет носить экстремальный характер с минимумом окрестности точки р (5) = -p_opt.

Определим вид этой зависимости для некоторых цифровых систем при использовании в качестве аргумента меры сложности р (5).

Рассмотрим передачу двоичных сигналов в гауссовском канале. Вероятность ошибки в этих условиях выразится формулой [84].

где |д, р₂, р₃, р₄, р₅ — сложность триггера, логики, генератора, линии задержки, формирователя соответственно. С учетом (10.79) формулу (10.78) можно перспи;

ГЯТК R ЛпПМР.

Следует отметить, что в формуле (10.80) р₂ = /(М), где ДА/) определяется типом корректирующего устройства. Определив вид функции р₂ =j{M) для конкретной логики и разрешив (10.80) относительно М, получим искомую зависимость от сложности. Если принять Р2 = const, то зависимость помехоустойчивости от сложности можно найти в аналитической форме. Верхняя оценка вероятности ошибки определится при когерентном приеме:

откуда с учетом того, что база сигнала В — т₀/ Дт₀ = М и приняв во внимание уравнение (10.77), окончательно получим.

где Р_п — мощность шума.

Аналогичным образом можно найти зависимость р_от от сложности при формировании сигналов с большой базой другими методами [35 ] (например, для частотновременного кодирования и др.).

Корректирующие коды. Для гауссовского канала при поэлементном приеме с малой вероятностью ошибки величина р_от определится формулой [121, 167].

где а — кратность ошибки; р_1к — вероятность ошибки одного символа в кодовой комбинации:

Сложность кодирующего устройства, формирующего систематический код, равна [35].

где р, = /ср (к) + ф (г) — сложность регистра сдвига; р₂ = / р — сложность ячейки сумматора; р₃ — сложность генератора; р₄ — сложность коммутатора. Для кода Хэмминга (10.84) примет вид

Решая (10.86) относительно г, получим зависимость.

Учитывая, что для кода Хэмминга.

найдем Подставив значение п из (10.88) в уравнение (10.83), получим искомую зависимость р_ош, от сложности р (5). В частности, если р₂ ^и Ц| соизмеримы по сложности, то при достаточно большом г можно принять.

т.е. сложность является линейной функцией значности кода. Подставив (10.90) в (10.83), окончательно имеем.

Зависимость эквивалентной вероятности ошибочного приема одного символа от сложности определится формулой.

где р_ош находится из (10.91).

Анализируя уравнение р_ош от р (5), можно определить целесообразность использования того или иного кода с точки зрения сложности его реализации.

Если принять в качестве результирующей функции эффективности показатель р типа (10.65), то в соответствии с методикой, изложенной в § 10.1, оптимизация БТМС пои обобщенном подходе сводится либо к максимизации.

При этом в качестве достаточного признака оптимальности могут использоваться дополнительные условия вида (10.6). В частности, в качестве проверяемых из (10.11) частных показателей могут применяться в, Д/% P_s> и т. д. Для результирующей функции вида (10.63) или (10.64) оптимальная система ищется непосредственно из условия.

при дополнительных условиях (10.6).

При нахождении максимума (10.65) следует иметь в виду, что зависимость результирующей функции /Д) от v_G является более сложной, чем это следует непосредственно из (10.65) и (10.66), так как в общем случае величины I (J) и C (J) также будут зависеть от функциональной сложности системы. Установление точного количественного вида этой зависимости для широкого круга задач представляет весьма сложную проблему, зависящую от многих, часто трудно учитываемых факторов.

Методы максимизации коэффициента использования пропускной способности г) и минимизации показателей, характеризующих функциональную экономичность БТМС, были подробно изложены в предыдущих параграфах. Поэтому рассмотрим только особенности двухкритериальной и обобщенной оптимизации, базирующейся на результирующих функциях вида (10.65), (10.66).

В соответствии с обобщенной методикой, изложенной в § 10.1, оптимизация БТМС, но показателям г| и v_G относится к задаче дискретного выбора оптимальной системы из заданного класса допустимых систем (систем, удовлетворяющих заданным исходным ограничениям). Если множество систем этого класса обозначить через M_D> то на плоскости показателей качества р и v_G каждой БТМС будет соответствовать определенная точка с координатами (r|, v₀). Для удобства анализа приведем показатель г| к стандартному виду, при котором лучшей системе будет соответствовать меньшее значение результирующего показателя эффективности. Для этого введем параметр

удовлетворяющий согласно (10.51) условию.

Если в качестве результирующей функции эффективности используется функция (10.64), то условия (10.96) и (10.97) перепишутся в виде.

где /_тах(./) — максимально достижимая величина скорости в классе M_D.

Тогда все множество M_D изобразится на плоскости (До, в виде системы точек. Для нахождения из множества точек M_D подмножества M_D0, соответствующего оптимальным системам, необходимо построить нижнюю границу допустимой области. В литературе [69] описан ряд методов, позволяющих найти эту границу: метод прямоугольников, метод рабочих характеристик и др. По своему содержанию эти методы достаточно просты и сводятся к исключению из множества M_D худших систем по показателю До и v_D (критерий безусловного предпочтения). Сущность этих методов проанализируем на примере нахождения левой нижней границы для класса БТМС с частотным и временным разделением каналов, рассмотренных в предыдущих главах [36].

Для нахождения величин/_ю, v_D и построения множества M_D нормируем величину СКО во всех системах относительно максимально^{допустимой} ошибки в БТМС типа AM-AM, приняв, например, тахе_АМ__АМ = 0,1. Положив, что в широкополосных системах допустимо расширение спектра сигнала до значения AF = 6АА_ЛМ__ДМ, при котором еще соблюдается условие малости аддитивной флуктуационной помехи (допорошвые сигналы), можно найти по формулам табл. 10.1 с учетом (10.64), (10.98), (10.99) следующие нормированные значения СКО при оптимальных параметрах передачи:

На рис. 10.6 изображено множество M_D, соответствующее рассчитанным значениям показателей v_c и/'₎₀, определяемых уравнением (10.98) (в качестве /_тах(У) использовано значение потока /_шах(./) = 5).

Для установления нижней левой границы по методу прямоугольников проведем через крайнюю левую (АМ-АМ) и нижнюю (ЧМ-ЧМ) точки прямые, параллельные оси ординат и абсцисс соответственно. Так как ниже и левее этих точек больше ни одной точки нет, то они принадлежат искомой левой нижней границе. Проведем теперь через точки, соответствующие БТМС АМ-АМ и ЧМ-ЧМ, прямые, параллельные оси абсцисс и ординат до пересечения в (•) D. Тогда все остальные точки оптимальной границы могут лежать только внутри заштрихованного прямоугольника (в данном случае имеется только одна точка АМ-ЧМ). Действительно, из рис. 10.6 нетрудно видеть, что точки, соответствующие системам АИМ-АМ, ШИМ-АМ, хуже АМ-АМ по показателю экономичности г°₀ при равенстве показателя /_э0, а системы ВИМ-АМ и ФМ-ФМ уступают АМ-ЧМ по обоим показателям [безусловный критерий предпочтения (БКП)]; система ВИМ-ЧМ также хуже ЧМ-ЧМ по БКП. Таким образом, левая нижняя граница, соответствующая оптимальным системам, включает три точки: АМ-АМ, АМ-ЧМ, ЧМ-ЧМ. Для того чтобы из этих систем выбрать единственную, необходимо принять какойлибо дополнительный условный критерий предпочтения (УКП). В качестве такового может быть использована, например, результирующая функция вида (10.65), которую с учетом стандартизации функцииХо (') можно привести к эквивалентной форме.

Рис. 10.6.

При этом с учетом стандартизации оптимальной будет БТМС ЧМ-ЧМ с min f = 0,36.

Если внутрь заштрихованного прямоугольника попадает более одной точки, то вышеизложенная процедура повторяется до тех пор, пока внутри прямоугольника останется не более одной точки.

Рассмотрим теперь метод, основанный на применении рабочих характеристик.

При использовании (10.101) и (10.102) находится минимум v_G либо /₎₀ при фиксированных значениях f₎₀ и v_G соответственно. Нетрудно видеть, что рабочая характеристика (10.101) включает все точки M_D (рис. 10.6), в то время как характеристика (10.102) — только часть их (рис. 10.7). В этом смысле характеристика (10.102) является более предпочтительной. В [264] доказывается, что для стандартизованных частных показателей качества левая нижняя граница имеет вид монотонно убывающей функции, поэтому для определения этой границы достаточно найти на рабочих характеристиках ее крайние точки. Нетрудно видеть, что на обеих характеристиках этими точками являются точки, соответствующие БТМС АМ-АМ, АМ-ЧМ и ЧМ-ЧМ. Следует отметить, что при построении множества M_D не проверялось условие (10.6), так как оно считалось заранее выполненным. Для рассмотренного примера это означает, что параметры всех БТМС, изображенных на рис. 10.6, укладываются в заданные пределы. Практически может, однако, оказаться, что системы АМ-АМ и ВИМ-ЧМ должны быть заранее исключены из рассмотрения как системы, имеющие слишком малую эффективность (АМ-АМ) или большую функциональную сложность (ВИМ-ЧМ).

Рис. 10.7.