В гл. 5 (см. 5.6.3) была изучена простейшая модельная автоколебательная система «брюсселятор», описывающая химическое взаимодействие двух веществ по схеме, включающей реализацию кубической нелинейности:
Рассмотрим, каким может быть пространственно-временное поведение системы, если в каждой точке локальное взаимодействие описывается уравнениями типа «брюсселятор». Пусть реакции протекают в узкой длинной трубке (одномерном реакторе), вдоль которой вещества могут диффундировать. Коэффициенты диффузии Dx, Dy будем считать постоянными параметрами системы. Концы трубки, так же как и ее стенки, непроницаемы для веществ, участвующих в реакции. Уравнения, описывающие распределенный брюсселятор, имеют вид.
где 1— пространственная координата.
Напомним, что для точечной системы имеется одно стационарное состояние, которое характеризуется значениями концентраций:
Такими будут концентрации во всех точках реактора, если гомогенное стационарное состояние системы устойчиво.
Для исследования условий потери устойчивости однородного по пространству решения введем переменные, характеризующие малые отклонения системы от однородного решения:
Линеаризуем систему (6.45), и решение полученной системы будем искать в виде
Величины р и к связаны дисперсионным уравнением, которое позволяет определить характер устойчивости исследуемого гомогенного решения. Дисперсионное уравнение для брюсселятора имеет вид.
Если уравнение (6.46) имеет два действительных корня, причем один из них pi 0, то система в области гомогенного стационарного решения имеет неустойчивость седлового типа (неустойчивость Тьюринга). Условия существования такой неустойчивости выполняются при.
Границы области волновых чисел к, в которой реализуется неустойчивость Тьюринга, задаются выражением.
Именно в этой области система (6.45) образует диссипативные структуры.
Аналитическое исследование устойчивости неоднородных стационарных решений представляет значительные трудности, и в основном для этой цели используют асимптотические методы. Так, устойчивость диссипативных структур в брюсселяторе исследовали методом малых возмущений. Предполагая, что в системе существует диссипативная структура, которая носит квазигармонический характер [В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, 1976), стационарные решения представляли в виде.
а малые возмущения описывали формулами.
В результате этих и ряда других исследований было показано, что при fcmjn < к < fcmax наблюдаются устойчивые структуры, для брюсселятора.
Компьютерные эксперименты показали, что в отсутствие потоков на границах в системе может возникать несколько диссипативных структур в зависимости от локализации возмущений однородного состояния. Стационарные профили переменной X для различных возмущений представлены на рис. 6.5.
Отрезок {0,1} разбивали на 101 одинаковых интервала, после чего возмущение одног о знака и одинаковой амплитуды налагались в точках: 9, 21, 48, 72 (рис. 6.5, а); 9, 17, 34, 43 (рис. 6.5, б) и 9, 55, 70 (рис. 6.5, в).
