Обнаружение и выделение тренда

Прежде всего следует отметить, что введенное понятие тренда (направленности) довольно относительно, так как-то, что с одной точки зрения, т. е. в рамках одного масштаба является длительным, с другой таковым не является. Например, если характер изменения биоэлектрической активности мозга животных или человека исследуется для интервалов времени, равных нескольким десяткам секунд, то медленные изменения, вызванные минутными ритмами, могут рассматриваться как тренд. Но если мы рассполагаем данными регистрации этой же активности в течение суток, то окажется, что-то, что воспринималось как тренд, на самом деле оказывается лишь частью некоторого медленного колебательного процесса. Поэтому если интервал регистрации в несколько десятков секунд относился, например, к процессу решения какой-то задачи, делать вывод о том, что амплитуда электроэнцефалограммы нарастает или падает в зависимости от того будет ли тренд иметь положительный или отрицательный наклон, неправомерен. Об этой относительности понятия тренда следует помнить всегда, когда дается содержательная интерпретация получаемым результатам.

Существуют различные виды направленности, такие, например, как тренд среднего, тренд дисперсии и т. д. Здесь будет рассмотрен, как наиболее часто встречающийся, тренд среднего.

Как правило, имея графическое представление динамического ряда, визуально можно определить, имеет ли место тренд среднего. Однако в некоторых случаях сделать это, не имея соответствующих навыков, довольно сложно. С другой стороны, непрерывно увеличивается число исследований и наблюдений, когда экспериментальные данные непосредственно вводятся в вычислительную машину, поэтому первым этапом анализа динамических рядов является проверка гипотезы о случайности получаемых значений. В главе 45 были рассмотрены некоторые критерии случайности, которые могут быть использованы для проверки интересующей нас гипотезы. Здесь же мы покажем, как можно использовать для этой цели ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Ранги для широты представляют собой натуральный ряд чисел, отражающий естественную последовательность пунктов наблюдения. Ранжирование данных о длине крыла проведено по обычным правилам.

Используя формулу коэффициента корреляции Спирмена имеем.

Известно, что для n>10 проверка нулевой гипотезы о коэффициенте ранговой корреляции Спирмена может быть осуществлена с помощью статистики имеющей, при справедливости нулевой гипотезы, распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы. В нашем случае.

Для уровня значимости =0,01 и 35 степеней свободы табличное (теоретическое) значение равно 2,73, что по модулю меньше, чем полученное эмпирически (расчетное). Поэтому нулевая гипотеза отвергается, и мы должны сделать вывод о том, что приведенный ряд не представляет собой набор случайных значений, и, вероятно, имеет тренд среднего.

Установив визуально или с помощью расчетов факт наличия тренда среднего, необходимо попытаться выделить (элиминировать) его. Для этого существуют различные методы, такие как подбор соответствующей функциональной зависимости, использование скользящих средних и т. д.

Наиболее эффективным методом описания тренда является подбор некоторого аналитического выражения, как правило полинома невысокой степени.

По методу наименьших квадратов имеем.

и.

Решив эти системы уравнений, получим.

В таблице 47.2 приведены отклонения значений, вычисленных по уравнениям и от опытных данных.

Из этих значений видно, что, в принципе, для описания тренда подходят оба уравнения. Однако нужно иметь точный количественный метод для строгой проверки того, какое из пары уравнений лучше подходит для описания тренда. Естественно, что лучшим является то уравнение, которое дает меньшую сумму квадратов отклонений от экспериментальных данных. Однако выбор в качестве уравнения тренда, например, полинома более высокого порядка будет оправдан только в том случае, если получаемое при его использовании уменьшение суммы квадратов отклонение от опытных данных будет статистически значимо. Таким образом, мы приходим к задаче сравнения двух уравнений регрессии. Ее можно решать, используя методы дисперсионного анализа, обсуждавшиеся в предыдущей главе. Здесь же мы приведем сравнительно простой критерий, предложенный Е. Уильямсом и Н.Клутом.

Если есть два уравнения регрессии (линейных или нелинейных), то нулевая гипотеза состоит в том, что они одинаково хорошо способны предсказывать значения зависимой переменной y. Проверка осуществляется путем оценивания углового коэффициента в уравнении.

(1).

Было показано, что если более подходящей моделью является модель, то имеет значимое отрицательное значение. И аналогично, если более корректна модель, то должны получаться значимые положительные значения для. Если же незначимо отличается от нуля, никакого выбора между и сделать нельзя, и здесь вступают в силу нестатистические соображения о том, какую модель выбрать для описания тренда.

Угловой коэффициент — это ничто иное, как коэффициент уравнения, описывающего зависимость от, проходящую через начало координат.

Используя в качестве зависимой, а в качестве независимой переменной, найдем, что =-0,44. Дисперсия этого коэффициента равна 0,111.

Для уровня значимости =0,05 и 34 степеней свободы t=2,03, так что доверительный интервал для равен Таким образом, доверительный интервал для накрывает нуль, и, следовательно, можно сделать вывод, что ни одна модель не лучше другой.

Рассмотрев пример, обсудим некоторые общие вопросы выбора уравнений для тренда. Иногда считают, что аналитическое описание тренда связано с некоторым «законом» развития изучаемого процесса в пространстве или во времени. Такой взгляд оправдан только в том случае, когда «закон» расценивается не более, чем проявление некоторой тенденции, а его аналитическое описание — просто как способ наглядного изображения изучаемого отрезка динамического ряда. Поэтому, как правило, представления о том, что уравнения тренда это нечто большее, чем просто описание эмпирических данных, не является очевидными. Кроме тог, следует иметь в виду, что для одного и того же динамического ряда могут быть подобраны самые разные уравнения тренда, одинаково хорошо соответствующие имеющимся данным. Поэтому выбор подходящей кривой должен осуществляться с использованием нестатистической информации о сущности исследуемого ряда, которая в некоторых случаях позволяет выбрать из множества возможных кривых для описания тренда какую-то одну. В противном случае, когда эта информация отсутствует, подбор уравнения тренда осуществляется по тем же правилам, которые мы рассматривали ранее, обсуждая вопросы построения функциональных зависимостей.

Может оказаться, что, подбирая аналитическое выражение для описания тренда, мы столкнемся с ситуацией, когда для приемлемого согласия с эмпирическими данными придется остановиться на такой зависимости, которая имеет очень сложный вид, например, полином высокой степени. Как правило, такая ситуация свидетельствует о том, что весь наблюдаемый ряд состоит из нескольких частей. Поэтому используя априорную информацию и проведя визуальный анализ, необходимо определить эти части и уравнения тренда находить для каждой из них. Описание тренда должно быть по возможности простым, т. е. включать в себя минимальное число параметров. В частности, при использовании полиномов оно не должно быть выше второго порядка. В этом случае есть надежда дать содержательную трактовку получаемым уравнениям. Естественно, что простота описания не должна идти в ущерб статистически значимому соответствию эмпирическим данным.