Теорема о сжатом отображении

Норма оператора. Зафиксируем в R" скалярное произведение и будем обозначать через ||дг|| = у](х, х), х е Rⁿ, корень из скалярного квадрата х.

Пусть A: Rⁿ —> Rⁿ — линейный оператор.

Определение 2.5. Нормой оператора А называется число.

Геометрически ||Л || означает наибольший коэффициент растяжения преобразования А.

Метрическое пространство операторов. Множество L всех линейных операторов A: R" —> R^п само является линейным пространством над полем R (по определению (А + ХВ)х = Ах + ХВх).

Определим расстояние между двумя операторами как норму их разности:

Метрическим пространством называется пара, состоящая из множества М и функции р: МхМ-)Е, называемой метрикой, если:

• 1) р (х, у) > 0, причем р (х, у) = 0 х = у
• 2) р (х₇ у) = р(у, х) для любых х, у е М
• 3) р (х, у) < р (х, z) + p (z, у) для любых Ху у у z е М.

Определение 2.6. Последовательность точек метрического пространства М называется последовательностью Коши, если для любого в > О существует такое N, что для любых i_yj, больших N, верно, что р (х_;, xj) < в. Пространство называется полным, если всякая последовательность Коши сходится.

Теорема 2.1. Пространство линейных операторов L с метрикой р является полным метрическим пространством.

Доказательство. Непосредственно из определения расстояния между операторами следует, что р > 0, если, А ф В, и р = 0, если А = В, причем р (А, В) = р(В, А). Неравенство треугольника р(А, В) < р (А, С) + р (С, В) вытекает из неравенства ||Х + У|| < ||Х|| + ||У||, если положить X = А — С, У = С — В. Итак, (L, р) — метрическое пространство.

Докажем его полноту.

Пусть {Л,} — последовательность Коши, т. е. для любого е > О существует ;V (e), такое что р (Л_т, А_к) < е для любых т, к> N.

Пусть х е К". Составим последовательность точек х, е R": х, = Л, х. Покажем, что {х,} — последовательность Коши в пространстве М", снабженном евклидовой метрикой р (х, у) = ||х — у||. Действительно, по определению нормы оператора при т, k > N верно, что.

Поскольку ||х|| — фиксированное (не зависящее от т, к) число, из последнего неравенства следует, что {х,} — последовательность Коши. Пространство К." — полное, поэтому существует предел.

Заметим, что ||х* - у|| < е||х|| при k > N{€), причем Л^г(е) — не зависящее от х число (то же, что и ранее, в начале доказательства).

Точка у зависит от х линейно (предел суммы равен сумме пределов). Мы получаем линейный оператор A: R" —> М", Аху, А& L. Мы видим, что при k > N (e) верно, что.

Значит, lim А_к=А и пространство L полно.

к—"+оо

Сжатые отображения. Пусть А: М —> М — отображение метрического пространства М в себя.

Определение 2.7. Отображение А называется сжатым, если существует постоянная X, такая что 0 < X < 1 и для любых х, у е М верно, что р (/1х, Ау) < < А. р (х, у).

Определение 2.8. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если Ах = х.

Теорема 2.2 (о сжатых отображениях). Пусть А: М —" М — сжатое отображение полного метрического пространства М в себя. Тогда, А имеет неподвижную точку, и только одну. Для любой точки х из М последовательность образов точки х при применении А: х, Ах, А²х, А³х, … сходится к неподвижной точке.

Доказательство. Пусть р (х, Ах) = d. Тогда р (А" х, А" ^+,х) < X" d. Ряд.

+оо

Y, А," сходится, поэтому последовательность А" х, п = 0, 1,2, … является.

п=О последовательностью Коши. Пространство М полно. Поэтому существует предел X = lim А" х.

Я—"+оо

Покажем, что X — неподвижная точка. Заметим, что всякое сжатое отображение непрерывно (можно взять б = е). Поэтому.

Покажем, что всякая неподвижная точка У совпадает с X. Действительно,

где Л. < 1. Следовательно, р (Х, У) = 0.