Пикаровы приближения. 
Дифференциальные и разностные уравнения

Векторная запись нормальной системы. Пусть y_t(t), у₂(t), …, y"(t) — неизвестные скалярные функции вещественной переменной t. Обо- ' У (t)

значим y (t)= … . Производную от y (t) определим покомпонентно:

y'(t) = … . Непрерывность и интегрируемость также будем ПОНИКЛ (О, мать покомпонентно. Обозначим /(?, у) = fj (t, у_{, …, у"), j = 1, 2, …, п,

' Ш, уУ

f (t, y)= …. Тогда нормальная система (2.2) примет вид векторного.

J_n(t>y),

дис|)с|>ере н ц иал ь н ого ура в н е н и я в котором/— векторная функция,/: G —> У" ay (t) е У" — неизвестная векторная функция. В дальнейшем будем называть уравнение (2.3) «-мерным векторным дифференциальным уравнением, или для краткости просто дифференциальным уравнением. Решением дифференциального уравнения (2.3) будем называть всякую функцию у = ф (/), t е I, ф: I —> У», такую что ф'(/) = f (t, ф (/)) для любого tel. Множество у = {(/, ф (/)): tel} будем, как и ранее, называть интегральной кривой.

Задача Коши в векторной записи выглядит следующим образом. Пусть (t, г/₀) е G. Требуется найти решение уравнения (2.3), такое что.

Определение 2.9. Говорят, что решение ф: /—> У" (векторного) дифференциального уравнения (2.3) с начальным условием (2.4) определено па максимальном промежутке существования, если задача Коши (2.3) — (2.4) не имеет решений, являющихся продолжением ф на больший интервал.

Очевидно, что решения, определенные на максимальном промежутке существования, являются максимально продолженными, или полными, решениями.

Отображение Пикара. Рассмотрим дифференциальное уравнение.

заданное в некоторой области расширенного фазового пространства М" ⁺⁾. Пусть правая часть дифференциального уравнения (2.5) определена и дифференцируема (класса С¹, r> 1) в области U расширенного фазового пространства: f/ci'xR" .

Определение 2.10. Назовем отображением Пикара отображение А, переводящее функцию (p: I е К —> х е М" в функцию Лер: te /? —> х е R", где.

Геометрически переход от ер к Лер означает построение по кривой (ер) новой кривой (Лер), касательная к которой при каждом t параллельна данному полю направлений, но не на самой кривой (Лер) — тогда Лер было бы решением, — а в соответствующей точке кривой (ер). Имеем:

ер — решение с начальными условиями ф (?₀) = х₀ ер = Лер.

Приближения Пикара. Последовательным приближением Пикара называются функции, определенные следующим рекуррентным способом:

Рассмотрим последовательность приближений Пикара, начав с ер = х₀. Возьмем любую точку (t₀, х₀) е U. Цилиндр СИ — {?, х 11 -1₀ < а, х — х₀ < Ь) при достаточно малых а и b лежит в области U. Обозначим через С и L верхние грани величин |ф и |о'| на этом цилиндре, где v' обозначает производную v по х (т.е. матрицу Якоби). Верхние грани достигаются, так как цилиндр компактен: v

Рассмотрим конус К₀ с вершиной (f₀, х₀), высотой а' и раствором С:

Если число а' достаточно мало, то этот конус целиком лежит в цилиндре СИ. Внутри цилиндра лежит также всякий конус К_х, полученный из К₀ параллельным перенесением вершины в точку (?₀, х), где |х — х₍₎| < // при достаточно малом Ь'.

Будем считать, что а' и Ь' выбраны столь малыми, что К_х е СИ. Решение ср уравнения (2.5) с начальным условием <�р (?о) = х будем искать в виде ср (?) = х + h{t, х).

Соответствующая интегральная кривая будет лежать внутри конуса К_х.

Метрическое пространство М. Рассмотрим всевозможные непрерывные отображения h цилиндра |х — х₀| < Ъ t — ?₀| < а' в евклидовом про (в частности, h (t₀, х) = 0).

странстве R". Через М обозначим множество отображений, удовлетворяющих еще условию.

Введем в М метрику, полагая

Теорема 2.3. Множество М, снабженное метрикой р, является полным метрическим пространством.

Доказательство. Равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций сходится к непрерывной функции. Если допредельные значения функции удовлетворяли неравенству (2.6), то и предельная функция удовлетворяет неравенству (2.6) с той же константой С.

Заметим, что пространство М зависит от трех положительных чисел а', //, С.