Приложение метода реальных опционов к задаче об инвестициях

Постановка задачи. Фирма должна решить, следует ли ей делать вложения в некоторый проект и когда именно. Затраты инвестирования известны и постоянны, но ценность проекта следует закону геометрического броуновского движения.

Простое правило NPV (net present value — чистой приведенной стоимости) требует инвестировать, если V > I, т. е. если ценность рассматриваемого проекта превосходит затраты на инвестиции.

Однако поскольку будущая ценность проекта неизвестна, имеются альтернативные издержки того, чтобы инвестировать сегодня. Следовательно, оптимальное инвестиционное правило состоит в том, чтобы инвестировать, если V по меньшей мере достигает некоторого критического значения V*, превосходящего I. Как увидим в дальнейшем, для разумных значений параметров эта критическая величина V может в два и три раза превосходить /.

Ценность проекта V развивается в соответствии со следующим геометрическим броуновским движением:

где dW — приращение винеровского процесса.

Возможность инвестировать для фирмы равносильна обладанию callопционом — правом, но отнюдь не обязанностью приобрести акцию с указанной ценой. Следовательно, решение инвестировать равносильно решению выполнить такой опцион.

Обозначим ценность инвестиционной возможности (т.е. ценность такого ш//-опциона) через F (V). Установим правило, которое максимизирует это значение. Так как чистый доход от инвестирования в течение времени t равен V_t — /, будем максимизировать ожидаемую сегодняшнюю стоимость.

где Е — математическое ожидание; Т — (неизвестный) будущий момент времени, когда делаются инвестиции; р — ставка дисконтирования, и максимизация подчинена условию (8.14) для V.

Нужно предположить, что, а < р, в противном случае F (V) может быть сделано сколь угодно большим за счет выбора Т. Тогда ожидание было бы всегда наилучшей стратегией и оптимальный момент для инвестирования не существовал бы.

Детерминированный случай. Рассмотрим сначала случай, когда неопределенность отсутствует, т. е. в уравнении (8.14) о = 0. Тогда.

где У₀= V (0).

Таким образом, если дано текущее У, ценность инвестиционной возможности в предположении, что мы инвестируем в некоторый будущий момент Г, равна Предположим, что, а < 0. Тогда V (t) будет оставаться постоянной или падать с течением времени, так что, очевидно, нужно инвестировать немедленно, если V> /, или не инвестировать никогда, если V< /. Следовательно, F (V) = max (T- /, 0) (т.е. совпадает с простым критерием NPV, который исходит из, а = 0, вернее, просто не рассматривает изменение V (t) во времени).

Что если 0 < а 0, даже если текущее значение V < I, потому что в конечном счете V будет превосходить I. Точно так же, если даже V сейчас превосходит /, может быть, все же лучше ждать, чем инвестировать немедленно. Чтобы это увидеть, максимизируем F (V) по отношению к Т:

Заметим, что если V немного больше /, то получаем Т* > 0. Причина для инвестиций в этом случае в терминах PV (present value — приведенной стоимости) состоит в том, что затраты на инвестиции убывают с множителем е~Р^т, а доходы — с меньшим множителем.

Для каких значений V оптимально инвестировать немедленно? Полагая Т* = 0, видим, что нужно инвестировать немедленно, если V > V где г =-?-/>/.

р-а Подставив выражение для Т* (8.16) вместо Т в формулу (8.15), получаем.

График F (V) от Vдля 1= 1; р = 0,10; а = 0; 0,03; 0,06 представлен на рис. 8.1.

Рис. 8.1.

В каждом случае точка касания F (V) прямой V- / есть критическое знат/* Р⁷

чение V =——.

р-а Заметим, что F (V) растет с ростом а, как и V*. Рост V увеличивает ценность ожидания и ценность инвестиционной возможности. Если V > V*, то следует инвестировать немедленно (рис. 8.2), а если V < V* — ждать (рис. 8.3).

Рис. 8.2 Рис. 8.3

Стохастический случай. Вернемся теперь к общему случаю, когда, а > 0. Так как V развивается стохастически, нельзя определить время Т, как это делалось в детерминистском случае. Вместо этого наше инвестиционное правило примет форму критической ценности V*, такой что оптимально инвестировать, когда V > V*.

Предположим, что стохастические изменения в V должны реплицироваться (т.е. копироваться, воспроизводиться, англоязычный аналог — spanned) существующими активами в экономике. Это значит, что на рынке капитала должны найтись такие финансовые активы, из которых можно было бы составить динамический портфель (т.е. портфель, содержимое которого непрерывно меняется в соответствии с изменением цены актива), цена которого полностью коррелировала бы (т.е. имела бы коэффициент корреляции, равный единице) со случайным процессом V. Другими словами, рынок капитала должен быть достаточно «полным», для того чтобы по крайней мере в принципе можно было найти актив или построить динамический портфель активов, цена которого полностью коррелировала бы с V.

Данное предположение должно выполняться для большей части товаров, которые торгуются на споти фьючерсных рынках. Таким образом, предполагается, что неопределенность будущих значений V может быть в принципе реплицирована существующими активами.

С этим предположением можно определить инвестиционное правило, которое максимизирует рыночную ценность фирмы без каких-либо предположений относительно предпочтений, связанных с риском, или ставки дисконтирования.

Пусть х — цена некоторого актива или динамического портфеля активов, полностью коррелированная с V, и обозначим через р_ш коэффициент корреляции х с рыночным портфелем. Так как х полностью коррелировав с V, то р_Д7П = р_хУ. Будем предполагать, что данный актив или портфель не приносит дивидендов, таким образом, его полная доходность состоит из увеличения (прироста) капитала (capital gains). Тогда х развивается в соответствии с дифференциальным уравнением.

где р — темп роста (снос) — это ожидаемая норма доходности от владения этим активом или портфелем активов.

В соответствии с моделью оценки цены финансовых активов САРМ (icapital asset pricing model) p должна отражать систематический (недиверсифицируемый) риск данного актива. Из условия равновесия в модели САРМ следует:

где г — безрисковая норма доходности; ф — рыночная плата за риск; р_Л771 — коэффициент корреляции между доходностью частного актива х и всего рыночного портфеля т.

Таким образом, р есть скорректированная на риск ожидаемая норма доходности, которую инвесторы потребовали бы, если бы они обладали.

г —г

т.е. ф = —-, где г_т — ожидаемая доходность рынка; с_т —

®т

стандартное отклонение этой доходности; если взять индекс Ныо-Йоркской фондовой биржи в качестве рыночного индекса, то г_т -г~ 0,08, а_т «0,2; так что ф «0,4).

Будем предполагать, что, а — ожидаемый процентный темп изменения V — меньше, чем скорректированная на риск доходность р (как мы увидим, фирма никогда не стала бы инвестировать, если бы это не было так. Независимо от текущего уровня V фирме тогда было бы всегда лучше ждать и просто держать опцион, т. е. право, на то, чтобы инвестировать).

Обозначим разность между р и, а через 5: 8 = р — а.

Проведем аналогию с финансовым ^//-опционом. Если бы V была ценой акции, 5 была бы ставкой дивидендов этой акции, общая ожидаемая доходность этой акции равнялась бы р = 8 + а, т. е. ставка дивидендов плюс ожидаемая норма увеличения капитала. Если бы 8 была равна нулю, call- опцион всегда бы держали до срока исполнения и никогда бы не исполняли раньше. Причина состоит в том, что в этом случае полная доходность акции содержится в движении ее цены, так что отсутствуют издержки сохранения опциона. Однако если ставка дивидендов положительна, существуют альтернативные издержки держания опциона по сравнению с тем, чтобы его исполнить. Эти альтернативные издержки состоят в потоке дивидендов, от которого держатель опциона отказывается, владея опционом вместо акции. Так как 8 — пропорциональная ставка дивидендов, то чем выше цена акции, тем больше поток дивидендов. При некоторой достаточно высокой цене альтернативные издержки, состоящие в отказе от дивидендов, становятся настолько высокими, что целесообразно исполнить опцион.

В данной инвестиционной задаче р — ожидаемая норма доходности от владения проектом в целом. Это равновесная норма, которая устанавливается с помощью рынка капитала и включает в себя премию за риск. Если 8 > 0, то ожидаемый темп прироста капитала (rate of capital gain) проекта меньше, чем р. Следовательно, 8 — альтернативные издержки отсрочки принятия проекта и сохранения опциона инвестировать. Если бы 8 была равна нулю, то отсутствовали бы альтернативные издержки сохранения опциона и никто бы никогда не делал инвестиций, как бы высока ни была NPV проекта. Вот почему предполагается 8 > 0. С другой стороны, если б очень велика, ценность опциона была бы очень мала, так как велики альтернативные издержки ожидания. При б, стремящейся к °°, ценность опциона стремится к нулю, и единственный выбор тогда состоит в следующем: «инвестировать сейчас или никогда», т. е. применимо стандартное правило NPV.

Параметр 5 может интерпретироваться различными способами. Например, он может отражать процесс входа в отрасль и экспансию со стороны конкурентов. Наиболее естественно считать его потоком платежей от проекта. Если проект бесконечно живет, то уравнение (8.14) представляет развитие V во время выполнения проекта, а 5Е — ноток платежей, который порождает данный проект.

Вывод дифференциального уравнения. Итак, F (V) — ценность инвестиционной возможности. Рассмотрим следующий портфель: один опцион на то, чтобы инвестировать F{V) короткая позиция по п = F'(V) единицам данного проекта (или, что равносильно, актива или портфеля х, который полностью коррелирован с V). Ценность такого портфеля: Ф = F- F'(V)V.

Заметим, что портфель динамический. Когда V меняется, FV) также может меняться от одного короткого интервала времени к другому, так что структура портфеля будет меняться. Однако на протяжении каждого короткого интервала длины dt п считается постоянным.

Короткая позиция в этом портфеле требует платежа в размере бVF'(V) в единицу времени за короткий временной период; в противном случае ни один рациональный инвестор не стал бы входить в длинную позицию данной транзакции.

Инвестор, который держит длинную позицию в данном проекте, будет требовать скорректированный на риск доход xV, который равен приросту капитала dV плюс поток дивидендов б К. Так как короткая позиция включает F'(V) единиц проекта, она будет требовать выплаты 8VF'(V). Принимая этот платеж во внимание, видим, что полный доход от держания портфеля за короткий временной интервал dt. равен.

(гак как п = F'{ V) остается постоянным в течение этого короткого интервала dt, член VdF'(V) = 0).

Чтобы получить выражение для dF, используем формулу Ито:

Подставляя полученное выражение в выражение для полного дохода портфеля, видим, что он равен.

Из формулы (8.14) следует, что (dV)² = a² V²dt, поэтому доход портфеля равен.

Заметим, что этот доход безрисковый (выбрано п = FV), чтобы сделать портфель безрисковым). Следовательно, чтобы исключить арбитражные возможности, полный доход за время dt должен равняться Фrdt = r (F — — FV) V)dt_y т. е. /2o^2/2F’V)dt — bVFf) dt = iFF^)V)dt.

Деля обе части равенства на dt и переупорядочивая слагаемые, получаем следующую формулу для F (V):

Дальнейшие рассуждения этого параграфа проведем в несколько большей общности, используя вместо безрисковой ставки г любой коэффициент дисконтирования р (совпадающий в нашей задаче с г).

Получение общего и частного решений. F (V) должна удовлетворять следующим граничным условиям:

Условие (8.19) возникает из наблюдения, что если V = 0, то она будет оставаться нулем (см. формулу (8.14)). Следовательно, если V = 0, то опцион на то, чтобы инвестировать, не будет иметь никакой ценности.

Условия (8.20), (8.21) возникают из рассмотрения оптимальных инвестиций. V* — цена, при которой оптимально инвестировать. Условие (8.20) — это условие непрерывности ценности. При инвестировании фирма получает чистый доход V* — /. Условие (8.21) есть условие гладкости. Если бы F (V) не была непрерывная и гладкая в критической точке V*, то лучше было бы осуществить инвестиции в другой точке.

Уравнение (8.20) имеет другую интерпретацию: V* - F (V*) = I. Когда фирма инвестирует, она получает доход V но теряет инвестиционную возможность, ценность которой F (V*). Другими словами, ее выигрыш, чистый от альтернативных издержек, равен V — F (V). Критическое значение V* — это величина, при которой чистый выигрыш равен прямым затратам инвестирования /.

Наконец, можно записать V* = F (V*) + /, полагая, что ценность проекта равна полным издержкам (прямым затратам плюс альтернативным издержкам) наших инвестиций.

Можно заметить, что уравнение (8.18) второго порядка является однородным и линейным относительно зависимой переменной F и ее производных, поэтому его общее решение может быть выражено как линейная комбинация любых двух независимых решений. Если взять функцию ЛЕР, то увидим, что она удовлетворяет уравнению (8.18) при условии, что (3 есть корень уравнения.

При этом (3_t > 1, (3₂ < 0, поэтому общее решение уравнения (8.18) может быть записано как F (V) = A_XV^ -ь4₂УР2, где А_х, А₂ — константы, которые нужно определить. Из условия (8.19) Л₉= 0, поэтому

Подставляя выражение (8.23) в формулы (8.20) и (8.21), находим:

Уравнения (8.23) — (8.25) дают ценность инвестиционной возможности и оптимальное инвестиционное правило. Фирма должна инвестировать в рассматриваемый проект, если и только если ценность этого проекта V

Р, превосходит величину затрат не менее чем в ^ ^ раз:

Так как $_х > 1, то ^ > 1 и V* > I, таким образом, простое правило NPV

Pi «1.

является некорректным. Неопределенность и необратимость приводят к наличию клина между критическими значениями V* и I. Размер этого рГ клина — множитель, поэтому важно изучить его величину для реаль;

Pi «1.

ных значений параметров и изменение величины этого множителя в ответ на изменения этих параметров.

Проверим строго, что $_х > 1, исходя из условия 0 < а < р. Мы хотим доказать, что.

Выпишем цепочку равносильных преобразований:

Все преобразования обратимы, поэтому неравенство доказано.

Исследование решения. Обозначим левую часть уравнения (8.22) через Q. Таким образом, Q — функция р.

Коэффициент при Р² положителен, поэтому парабола имеет такой вид, как на рис. 8.4. Q (l) = -8 < О, Q (0) = -p<0, т. е. график пересекает горизонтальную ось справа от единицы и слева от нуля. Один корень, назовем его Р_1? больше единицы, а другой, назовем его Р₂, отрицательный.

Рис. 8.4.

Рассмотрим поведение (3_t при изменении а²

г) О.

С другой стороны, непосредственно —-— = стр ((3 — 1) > 0 при р = P_t > 1.

Эа Из графика рис. 8.4 ясно, что ^ > 0 при Р = p_t.

эр Следовательно, < 0. Другими словами, с ростом ст значение Р! уменьЭо шается и, следовательно, ^ увеличивается. Чем больше неопределен;

Pi -1.

ность относительно будущего значения Р, тем больше клин между V* и /, т. е. тем большую избыточную доходность фирма будет требовать, прежде чем она захочет сделать необратимые инвестиции.

Проверим это строго. Проверим, что <0.

^3aP=Pi.

Имеем:

Поэтому из (1), (2) и (3) получаем, что < 0.

^ЭаР=Р, Таким образом, при увеличении неопределенности величина клина возрастает.

Если, а —> +°°, имеем —> 1 и V* —>, т. е. фирма никогда не будет инвестировать, если неопределенность, а бесконечна.

Действительно, так как.

то очевидно, что lim = 1.

а—>+оо Рассмотрим поведение при стремлении, а к 0. Поскольку 5 = р — а, имеем следующее:

• Если, а > 0, то Pj ->—2— и V* -> ^1.

p-о о Действительно, если, а > 0, то 5 < р, тогда вычислим lim по правилу а-«0.

Лопиталя:

• 133
• • Если, а < 0, то (3, —" °° и V* —"I.

Действительно, если, а р и lim Р, = +°°.

о-«0.

Таким образом, результаты совпадают с детерминистским случаем. Проверим, что:

• р, возрастает, когда S возрастает, т. е. более высокие альтернативные.

*. Р, издержки отсрочки принятия проекта о означают меньшии клин ^.

Действительно, проверим, что — >0:

Следовательно, при увеличении альтернативных издержек отсрочки принятия проекта величина Р, возрастает и поэтому величина клина уменьшается.

• Р| уменьшается, когда р возрастает, т. е. более высокий коэффициент дисконтирования р ведет к увеличению клина.

Проверим, что < 0:

^ЭР B=Pi

Следовательно, при увеличении коэффициента дисконтирования величина р) уменьшается и поэтому величина клина увеличивается.