Об исследовании нелинейных систем

В предыдущих параграфах вопрос потери устойчивости деформируемых систем изучался с использованием линеаризованных уравнений. И хотя подобные исследования не позволяют провести полный анализ явления, они предоставляют возможность сделать правильный вывод об устойчивости системы.

К числу вопросов, оставшихся невыясненными, относится задача определения значения перемещений. Для ответа на этот вопрос необходимо проводить анализ на основе нелинейных уравнений. В качестве примера рассмотрим нелинейную систему, известную под названием ферма Мизеса (рис. 15.20).

В результате действия силы F система из двух стержней, соединенных друг с другом и с основанием шарнирами, испытывает сжатие, в результате чего точка Л переместится в вертикальном направлении на величину А. Установим связь между значениями этого перемещения и силой, его обусловившей. Отметим, что при рассмотрении геометрически нелинейных систем принцип начальных размеров становится неприменимым.^[1]

Рис. 15.20. Ферма Мизеса.

Рассмотрим систему в деформированном состоянии, определяемом утлом а, который отличается от угла а₀ в начальном состоянии системы (рис. 15.20, а). Условие равновесия узла А (рис. 15.20, б) имеет вид 2iVcosa = F, или.

Определим линейную деформацию стержня:

С другой стороны, та же деформация равна.

Учтем эти результаты и установим зависимость между силой и углом:

Найдем зависимость между углом, а и вертикальным перемещением Д точки А:

Выражая через, А величины cos, а и sin а, с учетом обозначения г) = А/Я найдем зависимость силы от относительного перемещения гр

График, построенный в соответствии с этой формулой, представлен на рис. 15.21.

Рис. 15.21. График зависимости силы от относительного перемещения.

От точки А до точки В при постепенном росте силы врастет и перемещение. Но после достижения силой в точке В значения Е_кр картина меняется. Перемещения растут в условиях уменьшения силы от точки В до точки D.

Этот участок, отмеченный пунктирной линией, при силовом нагружении является неустойчивым. Он соответствует скачку, или «прощелкиванию», фермы из положения В в положение D. Экспериментально этот участок можно построить, если использовать кинематическое нагружение. Кинематическое нагружение подразумевает контролируемое перемещение Д (например, с помощью винта) с замером соответствующего усилия.

Представляет интерес особая точка С, которой соответствует значение г) = 1, что означает равенство Д = Н. В состоянии, соответствующем точке С, внешняя сила F равна нулю и система может перемещаться без изменения нагрузки, не оказывая сопротивление, как вверх, так и вниз. Такое поведение характерно для кинематически изменяемых систем (мгновенных механизмов), у которых нет способности сопротивления внешним силам вертикального направления.

После прохождения через нуль сила становится отрицательной. Ферма не только не сопротивляется внешнему усилию, по и развивает тяговое усилие на участке CD. Если в точке D произвести разгрузку системы, то она перейдет в положение G, соответствующее зеркальному отражению положения А относительно горизонтальной плоскости. Точке G соответствует значение г| = 2, что означает равенство Д = 2Я. Фактически ферма вывернулась наизнанку. Процесс нагружения можно повторить, только в обратном направлении.

Полученное описание процесса не учитывает динамические свойства системы. При достижении силой значения Е_кр (точка В) ферма может скачком начать движение. В случае наличия соответствующей массы и отсутствия демпфирования^[2], реализуется колебательное движение фермы с циклическим переходом потенциальной энергии деформации в кинетическую энергию движения и обратно.

Отметим, что использование линеаризованных уравнений, основанное на использовании принципа неизменности начальных размеров, позволит получить лишь линейную характеристику системы, соответствующую прямой линии АВ' (см. рис. 15.21).

Существует обширный класс задач, для изучения которого необходимо использовать нелинейные уравнения. К этому классу принадлежит, в частности, симметрично нагруженная оболочка вращения, нагруженная внешним давлением или сосредоточенной силой в центре.

Этот эффект широко используется в различных устройствах и приборах. В качестве простейшего примера рассмотрим устройство масленки, предназначенной для смазывания механизмов маслом (рис. 15.22). При нажатии на гибкую мембрану пальцем мембрана «прищелкивает», т. е. скачком переходит из положения В в положение В'. Масло вытесняется, производя тем самым смазывание механизма. При снятии усилия гибкая мембрана самопроизвольно возвращается в исходное положение, всасывая при этом очередную порцию масла.

Рис. 15.22. Устройство масленки.

Несмотря на простоту конструкции, для обеспечения ее работоспособности необходим специальный расчет. После снятия нагрузки мембрана должна самостоятельно возвращаться в исходное положение, а не залипать в нижнем положении. Зависимость между усилием и прогибом мембраны сходна с аналогичной зависимостью фермы Мизеса. Однако для выполнения вышеуказанного требования необходимо так подобрать размеры оболочки, чтобы точке D (см. рис. 15.21) соответствовало бы положительное значение силы и часть графика CDG была расположена выше горизонтальной оси.

• [1] Степан Прокофьевич Тимошенко (1878—1972) — выдающийся российский, украинскийи американский ученый-механик. Автор многочисленных трудов в области механики сплош ных сред и сопротивления материалов. Разработал теорию устойчивости упругих систем;развил вариационные принципы теории упругости; разработал теорию изгиба стержнейи пластин с учетом сдвиговых деформаций; выполнил цикл работ по кручению, удару и колебаниям стержней; решил задачу о концентрации напряжений вблизи отверстий.
• [2] Демпфирование колебаний — искусственное подавление колебаний механических, электрических и других систем.