Кольца и полукольца частных

• Введение
• Глава 1. Построение классического полукольца частных
• Глава 2. Построение полного полукольца частных
• Глава 3. Связь между полным и классическим полукольцами частных
• Библиографический список

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1. — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом, т. е.

1) ;

2)

3)

А2. — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т. е.

1) ;

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

.

А4. .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары и эквивалентными, если, получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение_{1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .}

Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение_{1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.}

Пусть — делитель нуля, т. е. для некоторого. Тогда, но не является мультипликативно сокращаемым. ^

Пусть — коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из. Рассмотрим множество упорядоченных пар. Введём отношение на: для всех и .

Предложение_{1. Отношение является отношением эквивалентности на .}

Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение является отношением эквивалентности на .

Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении. Обозначим класс эквивалентности пары. Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:

т.к. для, , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть, , тогда

^

Теорема_{1. — коммутативное полукольцо с 1. .}

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для .

Так как

Класс является нейтральным по +:

Из равенства тогда .

Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.

умножение: для и

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для .

Пусть

Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к., поскольку из равенства тогда .

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .^

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения — идеал, и он переводит в, где. Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в. Эти две дроби эквивалентны, т. е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу, поскольку та и другая дробь переводят в. Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .

Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа — плотные идеалы.

Определение_{2. Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .}

Свойства плотных идеалов полукольца :

1⁰ — плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для выполнено. Положим, тогда. Таким образом — плотный идеал по определению. ^

2⁰ Если — плотный идеал и, то идеал плотный.

Доказательство:

Если — плотный идеал, то для из равенства следует. Пусть для выполнено. Так как по условию возьмём. Тогда т.к. — плотный идеал получаем отсюда. Таким образом — плотный идеал по определению. ^

3⁰ Если и — плотные идеалы, то и — так же плотные идеалы.

Доказательство:

Положим для выполняется. Пусть, где,. Элемент т.к., тогда верно равенство отсюда, т.к. — плотный идеал имеем, , и — плотный,. Таким образом — плотный идеал.

Пусть, тогда по определению идеала:. С другой стороны значит. Тогда по 2⁰ — плотный идеал. ^

4⁰ Если, то 0 не является плотным идеалом.

Доказательство.

Пусть. Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ^

Определение_{3. Дробью назовём элемент, где — некоторый плотный идеал. (- сокращение от — гомоморфизм, в данном случае: — гомоморфизм)}

Таким образом, — гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .

Введём так же дроби, положив и для .

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть и тогда

.

Покажем, что является идеалом, где т. е. сохраняются операции:

1. Если, то .

Пусть, , тогда .

2. Если и, то. По условию .

Так как — коммутативное полукольцо, то .

. Таким образом, — идеал.

Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал —, т. е. .

По определению сложения и умножения, т. е. содержит плотный идеал значит, по свойству 2⁰ идеал является плотным.

Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо.

Доказательство:

1. По определению сложения и умножения:

.

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Нейтральный элемент.

5. Дистрибутивность:

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.

Таким образом, дроби образуют полукольцо.

Определение_{4. Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей определений, т. е. для .}

Лемма 1. тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.

Доказательство.

Если то и согласованы на. По свойству 3⁰ идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.

Обратно, пусть и согласованы на плотном идеале. Тогда если и, то отсюда в силу плотности идеала, для, но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .^

Лемма 2. Отношение является конгруэнцией на системе .

Доказательство.

Для того чтобы доказать, что — конгруэнция, нужно показать:

1. отношение — рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Рефлективность: и согласованы на плотном идеале .

Симметричность: пусть, т. е. и согласованы на .

Транзитивность: пусть и, т. е. и согласованы на плотном идеале

и согласованы на плотном идеале. Значит и согласованы на идеале, являющемся плотным, и согласована с на, тогда согласована с на плотном идеале по Лемме 1

Таким образом, — отношение эквивалентности.

2. отношение сохраняет полукольцевые операции.

Ш Пусть и, т. е. для и для .

Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .

Ш Пусть и, т. е. для и для .

Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .^

Теорема_{2.Если — коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом.. (Будем называть полным полукольцом частных полукольца)}

Доказательство.

— разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.

По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в справедливы и в .

Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.

1. Дистрибутивность.

Отображения: и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале:

пусть, где .

Тогда .

Областью определения является. По определению идеала: то для, а идеал (свойство 3⁰) то:. Тогда по определению сложения отсюда следует. Покажем. По определению

Аналогично .

Тогда:

Таким образом, где. По свойству 3⁰ — плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .

2. Коммутативность.

Отображения и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале: .

Доказано ранее, что пусть элементы тогда

Отсюда следует, что и согласованы на плотном идеале .

Таким образом, по Лемме 1.

Наконец сопоставим дробь: с областью определения при которой переходит в .

Предложение_{2. Отображение является гомоморфизмом т. е. сохраняет операции:}

Доказательство:

1. Пусть, и где и .

Нужно показать, что. Покажем равенство образов и .

Рассмотрим дробь, такую что

для. (1)

С другой стороны рассмотрим дроби и, такие что для. (2)

Из (1) и (2) следует, что .

По свойству сложения смежных классов:

для

2. Пусть, и где и .

Нужно показать, что. Покажем равенство образов и .

Рассмотрим дробь, такую что

для. (3)

С другой стороны рассмотрим дроби и, такие что для. (4)

Из (3) и (4) следует, что .

По свойству умножения смежных классов:

для .

Таким образом гомоморфизм.

Пусть, тогда

т.е. и согласованы на некотором плотном идеале значит для, так как — плотный идеал, то отсюда — инъективно.

Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.

Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом в .^

Глава 3.

Определение_{5.Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал. Если, то элемент назовём классической дробью, полагая для .}

Теорема_{3. Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца .}

Доказательство:

Рассмотрим отображение, т. е. .

1. Докажем, что — отображение: если и, , где, , то .

Имеем

Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов, т. е. и

Тогда, домножим на получим. Так как и на выполняется коммутативность по умножению, то, отсюда для .

2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т. е. сохраняются полукольцевые операции.

2.1

. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале .

Пусть, .

для .

Следовательно .

2.2

.

Идеал содержит, покажем, что и согласованы на плотном идеале .

Пусть,. Тогда

для .

Значит .

Таким образом — полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .

3. Докажем, что — инъективный гомоморфизм.

Пусть для. Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале, т. е. для выполнено. Но,. Тогда. Домножим обе части равенства на получим:

т.к. — плотный идеал, что противоречит условию.

Значит, является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в .

Так как, то, где — элемент подполукольца полного полукольца частных, т. е. и. Поскольку — инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует .

Мономорфизм называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .^

Библиографический список

1. Вечтомов, Е. М.

Введение

в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. — Киров.: ВГПУ, 2000.

2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. — Москва.: Мир, 1971. — 288 с.

3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. — Киров.: ВГПУ, 1997. — 131 с.