Изучение вращательного движения на приборе Обербека. 
Упругие и неупругие удары шаров

Министерство образования РФ Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ОиЭФ Лабораторная работа № 1−6

«ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА ПРИБОРЕ ОБЕРБЕКА. УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ УДАРЫ ШАРОВ»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил Малютин А. Е.

Рязань 2002

Цель работы

1. проверка основного закона динамики вращательного движения и определение момента инерции динамическим методом.

2. изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента восстановления скорости и энергии деформации шаров.

Приборы и принадлежности: миллисекундомер, кронциркуль, измерительная линейка, установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров ФПМ-08.

Элементы теории

Основной закон динамики вращательного движения аналогично 2-му закону Ньютона связывает силовую характеристику и инерционные свойства тела с кинематическими характеристиками и утверждает, что угловое ускорение тела при вращательном движении прямо пропорционально результирующему моменту M всех сил, действующих на данное тело, и обратно пропорционально моменту инерции I данного тела:

.

Проверка данного закона осуществляется с помощью прибора Обербека. В данном приборе маховик приводится во вращение силой натяжения нити, которая момент относительно оси вращения:

где d — диаметр шкива прочно соединённого с маховиком.

По 3-ему закону Ньютона на, подвешенный на нити, груз m₀ будет действовать равная по величине сила. Движение данного груза будет определяться результирующей сил тяжести и натяжения нити. Тогда 2-ой закон Ньютона для данной системы тел можно записать так:

m₀a = m₀g — T.

Выражая из (3) силу натяжения нити имеем выражение:

T = m₀(g — a).

Подставляя данное выражение в (2) получаем:

.

Из (5) видно, что для нахождения момента инерции M необходимо знать ускорение поступательного движения a груза m₀, которое можно найти, выразив из

:

где h — высота падения груза; t — время падения груза.

Учитывая (6), выражение (5) можно переписать следующим образом:

.

Ускорение движения груза a пропорционально угловому ускорению маховика :

.

Выразив из (8) угловое ускорение и учитывая выражение (6) получим:

.

Таким образом, зная значения t, h, d и m₀, можно найти отношение момента силы натяжения нити M к угловому ускорению :

.

Моховик Обербека позволяет, во-первых, убедиться, что для данного распределения масс (постоянного момента инерции) с изменением момента силы трения меняется угловое ускорение, но их отношение остаётся постоянным:

и, во-вторых, определяя величину момента инерции маховика с грузами:

I = I₀ + 4mR²

по известным значениям момента инерции маховика без грузов I₀, массы дополнительных грузов m и их расстояний от оси вращения, проверить справедливость закона:

для расчётных расположений дополнительных грузов, т. е. проверить линейную зависимость между, независимо определённым, моментом инерции системы I и отношением M/.

Удар (соударение) — это столкновение двух или нескольких тел, при котором взаимодействие длиться очень короткое время. При этом часть энергии данных тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации или во внутреннюю энергию тел.

В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы служит её импульс за время удара.

где <> - средняя сила удара; t — время ударного взаимодействия.

Если импульс изменяется на конечную величину (m) за время t, то из второго закона динамики следует, что

.

Тогда <F> можно выразить так где m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел; V₁ и V₂ изменение скоростей данных тел при ударе.

Абсолютно упругий удар — это удар при котором механическая энергия тел не переходит в другие механические виды энергии, и кинетическая энергия переходит полностью в потенциальную энергию упругой деформации (затем обратно).

Абсолютно неупругий удар — это удар при котором потенциальной энергии не возникает, кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. Суммарный импульс данной системы сохраняется, а большая часть кинетической энергии переходит в тепло.

Линяя удара — это линия перпендикулярная поверхностям соударения обоих тел и проходящая через точку касания данных тел при ударе.

Прямой удар — есть удар, при котором вектора скоростей движения центров масс данных тел параллельны линии удара (перед непосредственным взаимодействием).

Центральный удар — это прямой удар, при котором центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара.

Косой удар — это удар не являющийся прямым.

В данном случае будем считать, что система шаров на экспериментальной установке является изолированной. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии будет справедлива следующая формула

где m₁ и m₂ — массы шаров;, и , — их скорости до и после взаимодействия.

Из (4) и (5) выражаем скорости шаров после столкновения и .

7)

В данном случае рассматривался — абсолютно упругий удар. Но в действительности кинетическая энергия тел после соударения становиться меньше их первоначальной энергии на величину, которую можно найти так:

8) ,

где K_с — коэффициент восстановления скорости. Эта часть кинетической энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.

Коэффициент восстановления скорости можно найти по следующей формуле:

9) .

Если при соударении потеря кинетической энергии отсутствует (K_с = 1), то удар называется абсолютно упругим, а при K_с = 0 абсолютно неупругим. Если же 0 < K_с < 1, то удар является не вполне упругим.

Применительно к соударяющимся шарам, один из которых покоится, формулу (4) можно записать так:

10) ,

а для абсолютно неупругого удара .

Скорости шаров до и после удара можно определить по формулам:

11); 12); 13)

где l — расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров (l = 470 10 мм.), ₀ — угол бросания правого шара, ₁ и ₂ — углы отскока соответствующих шаров.

Расчет вращательного движения на приборе Обербека

После снятия показаний с установки имеем значения следующих величин:

m_пл = 58,810^-3 кг. (масса платформы);

m₁ = 55,710^-3 кг. m₂ = 56,510^-3 кг. m₃ = 55,810^-3 кг. (массы 3-х дополнительных грузов закреплённых на платформе);

4m = 74 510^-3 кг. (масса 4-х одинаковых грузов закреплённых на крестовине установки);

I₀ = 2,3710^-2 кгм². (момент инерции ненагруженной крестовины);

l = 2710^-2 м. (длина стержней крестовины);

h = 0,4 м. (путь пройденный грузом);

При дальнейших расчётах следует учесть, что масса груза (m₀) складывается из массы платформы (m_пл) и массы всех дополнительных грузов установленных на платформе:

m₀ = m_пл + m₁ + m₂ + m₃; m₀ = 226,810^-3 кг.

Рассматривая все случаи снятия измерений, по формуле (10) подсчитаем отношение M/ (момент инерции маховика) для каждого из них.

Измерения при R₁ и d₁: Измерения при R₁ и d₂:

кгм².

кгм².

Измерения при R₂ и d₁: Измерения при R₂ и d₂:

кгм².

кгм².

Измерения при R₃ и d₁: Измерения при R₃ и d₂:

кгм².

кгм².

По формуле (12) определим величину момента инерции маховика Обербека.

Теперь определим величину момента инерции данного маховика по формуле (12). По данной формуле искомая величина вычисляется только через I₀, 4m и R, а следовательно не зависит от d_i (диаметра шкива, жестко связанного с маховиком). Определяя величину момента инерции данной системы тел рассматриваем только 3 случая измерений, каждый случай для своего R_i

Измерения при R₁:

I = 2,3710^-2 + 74 510^-30,1² = 0,031 кгм².

Измерения при R₂:

I = 2,3710^-2 + 74 510^-30,15² = 0,04 кгм².

Измерения при R₃ и d₁:

I = 2,3710^-2 + 74 510^-30,2² = 0,054 кгм².

Далее найдём погрешность вычисления величины момента инерции маховика Обербека, как M/. Найдём погрешности величины отношения M/ для каждого значения R_i. Погрешность данной косвенной величины вычислим по формуле расчёта погрешности косвенной величины через дифференциал.

; при, .

Для применения данной формулы необходимо найти среднеквадратичные погрешности величин найденных прямыми измерениями (t и h), _t и _h соответственно.

Воспользуемся следующими формулами нахождения среднеквадратичной погрешности:

Для измерения проведённого c R₁ и d₁, вычислим величину _t11, при k = 1,1 (P = 0,95), c = 10^-3, n = 5. И _t12 для измерений с R₁ и d₂.

c.

c.

Значение _t1 (для R₁) найдём, как среднее арифметическое от _t11 и _t12:

; с.

Аналогично вычисляются значения _t21, _t22 (для R₂ с d₁ и d₂):

c.

c.

Значение _t2 (для R₂) найдём, как среднее арифметическое от _t21 и _t22:

; с.

Найдём _t31, _t32 (для R₃ с d₁ и d₂):

c.

c.

Значение _t3 (для R₃) найдём, как среднее арифметическое от _t31 и _t32:

; с.

Подсчитаем значение величины

_h: ,

т.к. величина h измерена однократно, то имеет смысл случайную составляющую среднеквадратичной погрешности _сл приравнять к нулю.

; ,

при c = 10^-3 м; k = 1,1. c.

Возвращаясь к формуле вычисления и учитывая, что (при t_с = 2,78) найдём соответствующие значения для каждого значения R_i. В данном случае d = (d₁ + d₂)/2 и t = (t_i1 + t_i2)/2.

Для

R₁: кгм².

Для R₂: кгм².

Для R₃: кгм².

Расчет упругого и неупругого ударов шаров

После работы с установкой имеем значение следующих величин: (угол бросания правого шара) ₀ = 15; (массы правого и левого шаров соответственно) m₁ = 112,2 10^-3 кг, m₂ = 112,1 10^-3 кг; (длина бифилярных подвесов обоих шаров) l = 470 10^-3 м; (погрешность значения длин бифилярных подвесов) l = 0,01 м; (цена деления микросекундометра) c_t = 10^-6; (цена деления градусных шкал) c = 0,25.

При известном среднем арифметическом значении времени найдём погрешность измерения данной величины:

с.

с.

При известных значениях и найдём погрешность их измерения (в радианах, при = 3,14):

рад.

рад.

рад.

рад.

при _сл

0;рад.

при _сл 0; ₀ = _с; ;

рад.

Теперь найдём скорости данных шаров до соударения (V₁, V₂) и их скорости после взаимодействия (U₁, U₂). При этом (скорость левого шара) V₂ = 0 т. к. он покоиться до удара. Значения остальных скоростей находят из следующих формул (через l, и g):

м/с²; м/с²;

м/с²;

Найдём погрешности вычисления данных скоростей.

м/с.

м/с.

м/с.

По формуле (3) найдём (силу кратковременного взаимодействия шаров) < F >. Учитывая, что V₁ = |U₁ — V₁| и V₂ = |U₂ — V₂|.

Н.

Н.

Значение силы удара шаров найдём, как действительное значение от < F₁ > и < F₂ >:

Н.

Найдём погрешность величины < F > по формуле

(погрешность вычисления массы пренебрежимо мала).

Н.

Н.

Н.

Далее по формуле (9) найдём коэффициент восстановления скорости K_с:

; при V₂ = 0,

Пользуясь формулой для вычисления погрешности косвенных величин

найдём K_с. Для получения более точного значения погрешности, используя формулы (11, 12, 13), сведём исходную формулу для вычисления K_с (9) к формуле с аргументом состоящим только из значений прямых измерений (t,₁,₂).

= 4,6 10^-2

Теперь по формуле (8) вычислим значение энергии деформации шаров E_k:

Дж.

Осталось найти погрешность (E_K). При использовании следующей формулы предполагается, что V₁ и Kс являются прямыми измерениями.

E_K = 0,17 Дж.