Метод решения связанных задач термоупругопластичности

Согласно теореме о разгрузке остаточные напряжения будут равны алгебраической сумме напряжений пластической деформации (42), (43) и напряжений упругой нагрузки (53). Таким образом, на внутренней поверхности труб имеют место значительные растягивающие остаточные напряжения a_w, которые способствуют развитию трещин. Анализ в рамках данной методики показывает, что безоправочное волочение, как одно из завершающих операций производства толстостенных труб для топливопроводов, обладает существенными недостатками, предопределяющими получение дефектов на внутренней поверхности. Это обстоятельство послужило основанием применения справочного волочения труб вместо безоправочного.

В работе [58] рассматривается проблема теоретического определения распределения в объеме тела остаточных напряжений с позиций механики деформируемого твердого тела. Данная работа посвящена разработке подхода к определению оптимальных режимов обработки металлов с целью снижения уровня термических и деформационных остаточных напряжений.

Соответствующая задача может быть сформулирована следующим образом. В начальный момент времени (т₀) металл исследуемой области находится в ненапряженном и недеформируемом состоянии в некотором неоднородном температурном поле Т₀ = (х). При остывании тела до температуры Г, на рассматриваемую область действуют различные силовые и тепловые нагрузки. Некоторые из них можно рассматривать как управляющие воздействия. Поиск оптимального управления минимизирует уровни остаточных напряжений в конце процесса.

В такой постановке можно рассматривать остаточные напряжения самой различной природы: термические, деформационные за счет неоднородности пластических деформаций, напряжения, вызванные фазовыми превращениями.

Авторы работы [58] считают, что наиболее удобным методом для определения остаточных напряжений является решение связанной задачи термоупругопластичности в течение всего периода охлаждения тела от начальной температуры 7], до температуры среды Г,. Напряжения, получающиеся при полном остывании и силовой нагрузке, и будут остаточными напряжениями. Связанная задача термоупругопластичности позволяет определить напряжения, деформации, перемещения, температуру тела в процессе остывания и остаточные напряжения перемещения, деформации в конце процесса.

В систему уравнений включаются:

• — уравнение нестационарной теплопроводности;
• — уравнение равновесия (для квазистатических процессов);
• — определяющие уравнения в приращениях, конкретный вид которых зависит от принятой теории термоупругопластичности;
• — геометрические уравнения;
• — начальные и граничные условия весьма разнообразные и зависящие от характера решаемой задачи.

В некоторых случаях в граничные условия вместо температуры окружающей среды входит температура поверхности другого тела, контактирующего с рассматриваемым. В этом случае приходится решать температурную задачу для системы двух тел. При необходимости учета термоупругих деформаций инструмента, деформирующего рассматриваемое тело, в систему уравнений входят также уравнения термоупругости для инструмента.

Решение поставленной краевой задачи ведется методом последовательных нагружений в пределах малых промежутков времени. Для прикладных задач, когда во многих случаях форма области является достаточно сложной, эффективно используется метод конечных элементов.

Температурный режим играет определяющую роль практически во всех процессах ОМД. Известно, что для исследования интегральных характеристик процессов достаточно, как правило, знать средние значения температуры во всей исследуемой области или в ее частях. Для определения и управления уровнем остаточных напряжений необходимо знать не только среднюю температуру, но и ее распределение во всем объеме или сечении изучаемого тела.

С математической точки зрения соответствующая краевая задача является весьма сложной, поскольку приходится иметь дело с нестационарным процессом в области сложной геометрии, изменяющей при деформации свою конфигурацию [58]. При расчете температурных полей необходимо учитывать лучеиспускание и взаимоизлучение элементов, естественную и вынужденную конвекцию, выделение теп4. Теоретическое описание распределения остаточных напряжений в объеме металлоизделий ла от деформации и внешнего трения, принудительное охлаждение, теплообмен с деформирующим инструментом, наличие фазовых превращений, зависимость теплофизических параметров от температуры.

Исходная краевая задача теплопроводности с непрерывно изменяющейся при деформации областью сводится к решению последовательности задач со ступенчатым изменением конфигурации, причем задачи последовательно во времени связаны друг с другом через начальные условия.

В работе [58] выполнена постановка и решение задачи термоупругопластичности, с целью определения распределения оптимизации уровня остаточных напряжений, в процессах горячей прокатки сплошных фасонных профилей и волочения стальной высокоуглеродистой проволоки.

Из доказательства теоремы о разгрузке, приведенного в работе [58], следует, что она применима лишь для геометрически линейных задач. Применение теоремы усложняется, если упругая разгрузка происходит не во всем объеме тела, а в некоторых его зонах, тогда как в других зонах происходит пластическое активное нагружение. В этом случае необходимые для решения силовые граничные условия на границах зон и расположение самих зон можно найти из непрерывности полей перемещений, деформаций и напряжений.

В работе [74] выполнен расчет остаточных напряжений после упругопластической деформации вариационным методом. Остаточные напряжения заданы в виде отрезка степенного ряда с варьируемыми параметрами (метод Ритца). Конкретизация решения достигнута при описании напряженного состояния листа при изгибе и кручении круглого прутка. Отмечено, что вариационное решение применимо при известном поле пластических деформаций, при этом теорема о разгрузке не применяется. Предложен вариационный принцип расчета остаточных напряжений, эквив&тентный теореме о разгрузке и справедливый для случаев, когда разгрузка сопровождается только упругими деформациями. Согласно этому принципу абсолютный минимум функционала.

определенного для заданных пластических деформаций е™ и для всех статически возможных распределений остаточных напряжений сг"^т, отвечает действительному распределению остаточных напряжений. Здесь V — объем деформируемого тела; A_jjhk — матрица коэффициентов, характеризующих упругие свойства материала.

Функционал (54) вариационного принципа для случая упругопластического изгиба имеет вид.

где v — тангенциальная координата при изгибе.

Для минимизации последнего выражения используем метод Ритца, в соответствии с которым искомое напряжение представляется в виде отрезка степенного ряда.

где w — радиальная координата при изгибе; й, — варьируемые параметры.

На ряд (56) накладывается ограничение.

отражающее взаимоуравновешенность остаточных напряжений. Дифференцирование выражения (55) по варьируемым параметрам а, с учетом (56), (57) позволяет свести вариационную задачу к решению системы д-1 алгебраических линейных уравнений вида.

где ajj, Р, — некоторые коэффициенты. Система уравнений имеет единственное решение, сообщающее минимум функционалу. Результаты расчета по вариационному принципу и по теореме о разгрузке близки друг другу и имеют характер, совпадающий с приведенным в работе [77].

По мере увеличения порядка п ряда Ритца результаты расчета по вариационному принципу приближаются к экспериментально найденному распределению остаточных напряжений. Расчет по вариационному принципу дает в данном случае лучшие результаты, чем теорема о разгрузке.

Приведенные результаты подтверждают возможность применения вариационного принципа для определения остаточных напряжений в тех случаях, когда из каких-либо соображений известно поле пластических деформаций, а использование теоремы о разгрузке затруднительно.

Вариационный метод для расчета конечного формоизменения и остаточных напряжений использован при анализе процесса навивки трубы на барабан [78].

В условиях бухтового волочения при навивке трубы на барабан происходит дополнительная деформация, при которой возникает искажение формы поперечного сечения изделия. Величина овализации должна ограничиваться как с технологической точки зрения, так и по условиям нормативных документов на готовую продукцию. Если труба поставляется в нагартованном состоянии, то условия ее эксплуатации также зависят и от уровня остаточных напряжений. В работе [78] рассматривается контур деформированной при навивке трубы в виде овала с параметрами а и Ь, удовлетворяющими условию недеформируемости серединной линии поперечного сечения трубы: 2г_ср= а + Ь, где г_ср — радиус серединной линии трубы, av — полуоси овала.

При постановке задачи по анализу овализации использовали свойства материала, описываемые нелинейно-упругой средой: Т = А Г" ', где Т — интенсивность касательных напряжений, Г — интенсивность деформации сдвига, А и т — коэффициенты аппроксимации механических характеристик.

Для реализации решения использовали постулат Кирхгофа—Лява, условие недеформируемости серединного контура поперечного сечения трубы от изгиба, растяжения и овализации, а также начало Лагранжа для формулирования основного функционала полной энергии, подлежащего минимизации:

где S — плошадь поперечного сечения трубы.

Компоненты общего тензора деформаций получены суперпозицией решений, выполненных раздельно для растяжения трубы после выхода ее из очага деформации, изгиба при навивке на барабан диаметром D₆ и процесса овализации трубы.

Компоненты напряжений определяются по формулам:

— от растяжения трубы с учетом недеформируемости серединной линии поперечного сечения:

— от изгиба трубы при навивке на барабан:

— от овализации трубы:

где R_C=D_CJ2 — радиус барабана, у — расстояние по нормали от рассматриваемой точки до серединной линии, г — текущее значение радиуса в рассматриваемой точке, ст — напряжение волочения.

Алгебраическое сложение результатов решений для трех видов деформации на основании принципа малости деформаций позволяет получить компоненты тензора малой деформации Т_Е и величину интенсивности сдвиговых деформаций

При минимизации функционала полной энергии, в связи с меняющейся формой области, интегрирование проводится численно при варьировании значений коэффициента овализации со = Аг/г_ср и коэффициента напряжения волочения k = g/o_s (ст_г — сопротивление деформации материала после выхода из очага деформации с учетом истории деформирования трубы в предыдущих проходах).

В качестве исходных данных приняты диаметр барабана D_c" наружный диаметр трубы d и толщина стенки /, величина вытяжки за проход, значения напряжения волочения и коэффициентов аппроксимации механических характеристик металла.

Для определения величины остаточных деформаций и напряжений использована теория малых упругопластических деформаций с описанием компонентов тензора деформации в логарифмической форме. Рассматриваются два состояния: момент навивки трубы на барабан и сброс бухты после волочения на рабочий стол. Средний диаметр бухты увеличивается с величины D_e+d до D*.

Так как состояние материала трубы после очага деформации при навивке на барабан является упругопластическим, то справедлива гипотеза Кирхгофа-Лява, а закон распределения деформаций по сечению трубы является линейным.

Для описания распределения напряжений в поперечном сечении используется уравнение состояния вида о = Ег для участка линейной упругости и о = а_{0 2} + ВТ." ' — для нелинейного участка. При этом расчет возникающих напряжений в каждой точке проводится с учетом симметрии и представляется в виде функции ст (р, ср) в поперечном сечении грубы.

Новое значение диаметра бухты можно определить как.

где с = е/е₀ > 1 — коэффициент отношения полной деформации к остаточной.

Напряжения, распределенные по кольцевому поперечному сечению, после снятия с барабана в зонах сжатия и растяжения изогнутой с радиусом R* = D*/2 трубы должны удовлетворять условиям равновесия:

Если в зонах растяжения и сжатия поведение металла описывается различными кривыми упрочнения, то условие равновесия должно удовлетворяться для всего сечения площадью 5:

Это достигается только при разгибке трубы в момент сброса бухты на рабочий стол. Эпюры распределения напряжений в поперечном сечении изменяются в следующей последовательности. В момент выхода заднего конца трубы из матрицы исчезает напряжение волочения. Напряжения от изгиба, первоначально распределенные в сечении по некоторому закону, образуют внутренний результирующий момент, который производит разгибку трубы. Деформации от изгиба уменьшаются и при большем значении диаметра бухты D*.

Интерес для практики представляют теоретические исследования, проведенные в работах [75,76]. Опираясь на многочисленные исследования внутренних напряжений в стальных холоднотянутых пружинах, в полых цилиндрах, подвергнутых раздаче, и в калиброванных или в цилиндрических заготовках, подвергнутых дробеструйной обработке, показана возможность с помощью методов теории размерностей делать простые расчеты внутреннего напряженного состояния, возникающего при этих процессах холодной пластической деформации. Эти расчетные методы теории размерностей включают в себя в основном приемы теории моделирования и размерного анализа, основой которого является так называемая тг-теорема. Под анализом размерностей понимают вывод уравнений из величин, характерных для данной проблемы.

При исследовании процесса волочения прутков выбираются наиболее характерные величины, задающие свойства материала и некоторые параметры процесса: а_т — предел текучести; a_s — сопротивление деформации; G — модуль сдвига; р — коэффициент Пуассона; г — текущий радиус или q — поперечное сечение; q₀ — исходное сечение или г₀ — радиус сечения прутка; Дг₀ — уменьшение радиуса прутка или Д<7₀; a — распределение внутренних осевых, тангенциальных и радиальных напряжений.

Из безразмерных соотношений указанных величин необходимо составить подходящие функции типа.

Подходящая функция, построенная по законам моделей, будет характеризовать конкретный случай волочения. Безразмерные остаточные напряжения, рассчитанные согласно подходящим функциям для конкретного процесса, представляются в виде отвлеченных чисел, и им в соответствие ставятся истинные значения остаточных напряжений, возникающих в данном случае волочения, найденные экспериментально.

После этого модель можно считать построенной и готовой к использованию для самого объекта. Закономерности, обобщенные моделью, могут быть распространены на другие процессы волочения, соответствующие критериям подобия, заложенным в модель.

Рассмотренное в качестве примера выражение (58) выступает как модель процесса волочения, в которой подобие распространено лишь на свойства протягиваемого материала и обжатия при волочении. Легко догадаться, что в случае необходимости модель может быть построена по признаку подобия других, вероятно любых, параметров.

В работе [75] приведены эмпирические формулы, полученные на основе размерного анализа, для расчета распределения продольных и тангенциальных остаточных напряжений в холоднотянутых прутках:

В статье [791 предложен новый подход к приближенному решению задачи о НДС методом упругих решений при операции дорнования. Вместо последовательных приближений решения с использованием фиктивного модуля упругости, учитывающих влияние пластического деформирования, выполняется степенная аппроксимация кривой деформирования, а затем решается упругая неоднородная задача для цилиндра с модулем упругости, зависящим от радиуса. Решение позволяет учитывать при моделировании НТС начальные остаточные напряжения, имевшиеся влетали от предшествующих воздействий на нее.

Результаты решения обеспечивают прогнозирование остаточных напряжений и деформаций как при малых, так и при средних натягах дорнования.

Для анализа распределения остаточных напряжений в холоднотянутых изделиях (проволоке, прутках и трубах) вполне применимы методы расчленения тел [80].

Процесс возникновения остаточных напряжений в проволоке можно разбить на три этапа.

• 1. При выходе металла из очага деформации поперечные слои проволоки переходят из пластического в упругое состояние, т. е. происходит своеобразная разгрузка деформированного металла.
• 2. Проволока, выходящая из очага деформации, имеет неравномерное поле температур. По всему сечению пропорционально интенсивностям деформации распределено тепло пластической деформации. На поверхности проволоки имеются значительные пики температур, возникающие в результате контактного трения в очаге деформации. Теплота внешнего трения при выходе из волоки заключена в очень тонком приконтактном слое проволоки. Начинаются тепловые процессы выравнивания температуры по сечению проволоки.
• 3. При сползании витков готовой проволоки с приемного барабана на его коническую часть происходит полная разгрузка проволоки. После этого наблюдается лишь дальнейшее охлаждение металла, т. е. продолжается тепловая разгрузка проволоки.

Если интенсивность деформации Г после выхода металла из очага деформации определяется не теоретически, а экспериментально, то можно рекомендовать для описания искажения линий координат;

Л³

ной сетки в осевой плоскости образца функцию z = —;—тт (А и В за;

А- + Вг~

висят от основных параметров волочения), или z= ^ «,, где.

Б' + Вг

z г А

Z= —; /^г = —; Б = —; /?, — радиус калибрующей части волоки.

Я, л, а.

Принимая закон упрочнения в виде a_s = a_s0 + ЛТ ^и (где N и М —эмпирические коэффициенты), из условия постоянства секундных объемов и условия несжимаемости можно записать распределение интенсивности деформации по сечению проволоки:

D.

Здесь е = 2 In —, R₀ — радиус исходного сечения проволоки.

Л.

Известно, что почти вся внешняя работа, затрачиваемая на волочение, превращается в тепло.

Количество тепла, отводимого проволокой в единицу времени без учета контактного трения, ккал/с,.

где x_s0 = a_s0/V3; V_b — скорость волочения, м/с; a — полуугол волоки; к — коэффициент упрочнения.

Количество тепла, выделяемого на контактной поверхности за счет работы сил трения, ккал/с,.

где ]i = x_k/x_s — отношение средних контактных касательных напряжений к среднему в очаге деформации значению предела текучести на сдвиг.

Количество уносимого проволокой тепла от внешнего трения, ккал/с, может быть определено из выражения [81]:

Температура проволоки от работы внутренних сил в среднем по сечению повысится на.

где / — средняя температура проволоки по сечению в момент выхода из очага деформации; /" — температура окружающей среды; р — плотность материала проволоки, г/см³; с — удельная теплоемкость материала проволоки, ккал/(кг град).

Полагая, что температура по сечению проволоки распределяется пропорционально интенсивности деформации, находим это распределение [82]:

Таким образом, исходя из уравнения (60), можно найти температуру по сечению проволоки, учитывая при этом дополнительный разогрев поверхности проволоки от контактного трения, который может быть рассчитан по формуле (59) с учетом времени контакта и теплопроводности материала проволоки.

Теперь, например, с помощью метода расчленения тел [81 ] можно определить эпюру продольных остаточных напряжений в проволоке после волочения. Сущность этого метода заключается в рассмотрении исследуемого тела как статически неопределимой стержневой системы.

Представим проволоку, выходящую из волоки, в виде длинного цилиндра, составленного из п свободно, но без зазора вставленных друг в друга трубок. Трубки сварены между собой только по торцам. Толщина всех трубок одинакова и равна RJn. Площадь поперечного сечения любой трубки (слоя).

Для построения эпюры по сечению проволоки можно считать достаточным число слоев п = 5 (первый слой лежит в центре сечения проволоки).

Модуль упругости Е, предел текучести g_s и коэффициент температурного расширения р являются функциями температуры, которые достаточно точно можно аппроксимировать выражениями.

Прежде всего следует определить относительную деформацию проволоки в' с температурной и деформационной неоднородностью по сечению и с учетом (61), считая, что осуществлено осевое нагружение проволоки до усилия, равного силе волочения Р_ь:

где tj — разность между температурой соответствующего слоя и окружающей средой.

Упругие продольные напряжения, возникающие в слоях, ст" ¹ = (—+е')Е. Если все напряжения ст" ' ниже пределов текучести, рассчитанных по формуле (61), то можно ограничиться упругим расчетом. Когда же напряжение в каком-либо слое превзойдет предел текучести материала, то в выражении (62) слагаемое р, E_jF_jt_i, соответствующее данному слою, следует заменить на a_sli F_t с обратным знаком. Тогда выражение для относительной деформации проволоки может быть представлено в виде.

где п' — количество слоев, в которых а" < ст₅"; п"  — количество слоев, в которых ст" > o_sli.

Напряжения в слоях при упругопластическом расчете.

Этот этап расчета остаточных напряжений особенно важен, так как, если не учесть сразу дополнительные пластические деформации, возникающие в момент выхода из волоки, т. е. при разгрузке от значе;

2к I.

ния осевой силы, равного J Jo_sl rdydr , до значения P_h, то при расче;

0 о те остаточных напряжений после полной разгрузки проволоки могут возникнуть значительные искажения в картине распределения остаточных напряжений.

Чтобы учесть упрочнение, связанное с дополнительными пластическими деформациями в слоях, следует при вычислении интенсивности деформаций сдвига для этих слоев е заменить на (е + е — .

После выхода из волоки начинается процесс перераспределения и выравнивания температур по сечению и общее охлаждение проволоки. В момент полной силовой разгрузки проволоки распределение температуры по сечению будет подчиняться новой зависимости (/-/") = /(г), которая может быть установлена при решении тепловой задачи.

Для определения остаточных напряжений необходимо провести разгрузку проволоки как по механическим, так и по тепловым воздействиям.

В процессе охлаждения проволоки при постоянной силовой нагрузке Р_ь возможно возникновение дополнительных пластических деформаций. Правда, нельзя ожидать, что эти деформации будут велики. Вместе с тем, расчет остаточных напряжений разумно проводить лишь в последнем проходе маршрута волочения проволоки, где вследствие высокой суммарной деформации дополнительное упрочнение будет пренебрежимо мало. В этом случае расчет можно вести, пренебрегая дополнительным упрочнением слоев проволоки.

Остаточные напряжения после силовой разгрузки определяются путем алгебраического сложения напряжений при нагружении и разгрузке. Очевидно, полученное путем сложения результирующее напряжение не может быть больше предела текучести материала ст₍", т. е. всегда должно соблюдаться неравенство ст" +af s" [87]. Когда это неравенство не выполняется, материал будет испытывать пластическую деформацию. Если известно напряжение при нагрузке а" и предел текучести c_sl/, то наибольшее возможное по абсолютной величине изменение напряжений при разгрузке составит.

Относительная деформация проволоки в процессе охлаждения ее слоев от температуры 1, до t' в предположении, что все слои проволоки испытывают только упругие деформации,.

где Р't — Р₍ — приращение температурного расширения в /-м слое. Напряжения в слоях при разгрузке в упругом расчете.

Здесь Р' и — коэффициент температурного расширения и температура /-го слоя в момент силовой разгрузки.

Если в каком-либо слое of >ст, (см. формулу (63)), то необходимо в упругопластическом расчете при разгрузке найти относительную деформацию проволоки.

и напряжения в слоях.

Остаточные напряжения в проволоке после силовой и температурной разгрузки

Поскольку при снятии проволоки с барабана волочильной машины температура проволоки остается выше то следует в формуле (64) учесть изменения остаточных напряжений при тепловой разгрузке от температуры конца силовой разгрузки до t₀

Таким образом, метод расчленения тел позволяет проводить расчет не только остаточных напряжений в проволоке после волочения, но и временных напряжений на любом этапе силовой или тепловой разгрузки.