Уравнение первого закона термодинамики для открытых и закрытых термодинамических систем

Закон сохранения и превращения энергии, аналитическим выражением которого для термодинамических систем является уравнение (3.11), соблюдается в равновесных и в неравновесных термодинамических процессах.

При равновесных процессах оказывается возможным выразить элементарные количества теплоты и работы через параметры состояния термодинамической системы в виде выражений (3.12) и (3.17).

Путем подстановки этих выражений в уравнение (3.11) и учета возможных работ (3.16) немеханического характера можно получить уравнение первого закона термодинамики для равновесных термодинамических процессов в закрытой термодинамической системе:

к-1•.

где ^X_kdx_k ~ сумма работ, совершаемая системой немеханического характера.

«•I.

Если работы немеханического характера отсутствуют, то.

Это уравнение называют основным термодинамическим тождеством.

Как теплота, так и работа, стоящие в правой части этого тождества, не являются функциями состояния системы. Обмен энергией в форме работы приводит к изменению объема, а в форме теплоты — к изменению энтропии.

Внутренняя энергия в отличие от теплоты и работы является свойством системы, параметром ее состояния и может рассматриваться в качестве функции других параметров состояния, принятых за независимые переменные. Бесконечно малое изменение этой функции du обладает свойствами полного дифференциала, поэтому её интегрирование от начального до конечного состояния системы в некотором процессе сводится к вычислению разности значений внутренней энергии в этих двух состояниях

независимо от характера термодинамического процесса.

Если система совершает круговой процесс (цикл), то соответствующий интеграл по замкнутому контуру равен нулю: т. е. внутренняя энергия системы в результате кругового процесса (цикла) не изменяется.

Для конечного термодинамического процесса 1−2 (рис. 3.6,а) уравнение первого закона термодинамики может быть получено интегрированием уравнения (3.19).

или с учетом выражений (3.13), (3.18) и (3.20).

Прибавив и отняв из правой части уравнение (3.19) произведение vdp получим:

где является функцией параметров состояния и поэтому сама определяется только состоянием системы.

Функция состояния Я (для массы т) или h была введена в термодинамику Каммерлинг-Оннесом и названа энтальпией или удельной энтальпией.

Энтальпию удобно применять в различных теплотехнических расчетах. Так, например, для процесса при /?=const в соответствии с выражениями (3.22) и (3.18) dh-Tds-dq или после интегрирования Ah = h₁-h_y = q.

Следовательно, изменение энтальпии в процессе при р = const определяет теплообмен системы с окружающей средой, что и характеризует ее физический смысл в изобарическом процессе.

В результате подстановки выражения (3.23) в уравнение (3.22) получим:

или с учетом выражения (3.17).

Полученное уравнение является вторым видом уравнения первого закона термодинамики.

Произведение уф, входящее в выражения (3.22), (3.24) и (3.25), на vp- диаграмме представляет собой площадку (рис. 3.7) и определяет некоторую элементарную работу, которая в отличие от работы процесса называется располагаемой работой и в дальнейшем обозначается Lo (для массы т) или удельной располагаемой работы /о. Таким образом.

С учетом выражения (3.26) уравнение (3.25) приводится к виду.

Рис 3.7. Определение удельной располагаемой работы /₀ и ее знака с помощью V/?-диаграммы Располагаемая работа в координатах v, р для процесса 1−2 (рис. 3.7) определяется заштрихованной площадью c2d. В самом деле,.

Алгебраический знак располагаемой работы определяется знаком минус, стоящим в самом выражении (3.26), и знаком dp. Если ф<0 (падение давления), располагаемая работа положительна (процесс 1−2); если.

dp>О (повышение давления), располагаемая работа отрицательна (процесс 2−1).

Можно показать что располагаемая работа является работой, совершаемой открытой термодинамической системой, т. е. потоком вещества (рабочего тела), периодически или непрерывно проходящим через машину при отсутствии изменения кинетической энергии потока. Так, линия с-1 (рис. 3.7) соответствует процессу наполнения цилиндра поршневой машины-двигателя рабочим телом. Применительно к паровым турбомашинам это соответствует процессу получения рабочего тела (испарение воды в котле).

Линия 2−4 соответствует процессу удаления рабочего тела из цилиндра, а для паровой турбомашины — возврату рабочего тела в исходное состояние (конденсация пара). Наконец, линия 1−2 является собственно процессом расширения рабочего тела в машине.

Так как на линиях с-1 и 1−2 dv > 0, то работа, связанная с поступлением рабочего тела в машину и расширением 1−2, положительна. На линии 2-d, где dv< 0, работа отрицательна. Алгебраическая сумма названных трех работ графически равна заштрихованной площади с 124 которая и представляет собой работу рассмотренных машин с учетом процессов, соответствующих поступлению и удалению рабочего тела из них в окружающую среду, т. е. работу открытой термодинамической системы.

Из диаграммы (рис. 3.7), следует, что.

Отсюда определяется работа процесса 1−2 (/ = /₀ — p, v, + /?₂v₂)• Подстановка полученного выражения в уравнение (3.21) дает или

С учетом (3.23) уравнение первого закона термодинамики принимает вид.

и для элементарного процесса совпадает с ранее полученным уравнением (3.27) в результате формального введения понятия энтальпии.

Гельмгольц ввел в термодинамику функцию F, названную им свободной энергией. Для ее получения в выражении (3.19) следует прибавить и вычесть sdT. Это дает или.

Свободная энергия.

определяется значениями только параметров состояния и поэтому сама является функцией состояния. С учетом (3.29) уравнение первого закона термодинамики можно представить в виде.

Гиббс предложил использовать при тепловых расчетах изобарно-изотермический потенциал G, называемый свободной энтальпией. Его можно получить, если уравнение (3.24) представить в виде откуда

Изобарно-изотермический потенциал.

также определяется только параметрами состояния и поэтому является функцией состояния.

С учетом (3.30) уравнение первого закона термодинамики будет иметь вид:

Анализ выражений (3.19), (3.24), (3.29) и (3.31) показывает, что и = /($, v); h = f (s, p); F = /(7>); G = f{T, p). Знание этих функций позволяет находить зависимости между основными параметрами состояния, поэтому такие функции называются характеристическими. Эти выражения равноценны между собой, и выбор того или иного из них определяется конкретными условиями решаемой задачи.

Так, например, первый закон термодинамики (3.28) применим для анализа как закрытых, так и открытых термодинамических систем, способных обмениваться с окружающей средой теплотой, работой и веществом (массой).

Энергия Е открытой системы изменяется за счет взаимодействия с окружающей средой в виде теплоты SQ, технической работы SL и массообмена Sm. Поступающая в систему через контрольную поверхность масса обладает запасом удельных энергий: внутренней м, кинетической <�у²/2 и потенциальной (в поле тяготения) gh. Полный запас удельной энергии составит: и + со²/2 + gh. Кроме того, при вводе массы в систему совершается работа, равная произведению силыpf на перемещение х, или pfic = pV (для удельной величины pv).

С учетом перечисленных изменений энергии открытой термодинамической системы уравнение первого закона термодинамики можно представить в виде.

или с учетом (3.23).

В случае стационарного потока вещества (такие открытые системы называются проточными) энергия системы не изменяется (АЕ = 0) и.

или для бесконечно малого процесса.

Кинетическая и потенциальная энергии потока вещества, которыми обменивается система с окружающей средой, могут быть полностью превращены в работу, поэтому удельная располагаемая работа открытой системы представляет собой сумму этих видов энергии и работы.

и тогда уравнение (3.32) приводится к виду (3.28).

Уравнение (3.32) следует использовать также и в тех случаях, когда состояние рабочего тела во всех точках открытой системы периодически и одновременно становится идентичным предшествующим состояниям в тех же точках. В связи с этим уравнение (3.33) применимо для анализа работы не только турбин или реактивных двигателей, но и поршневых двигателей, работающих циклично, или отдельных агрегатов любой тепловой установки.

Обычно изменение высоты центра тяжести потока h невелико, в связи с чем с достаточной степенью точности можно принимать условие Ah = 0.

Если, кроме того, поток не совершает технической работы (/_т⁼0), то уравнения (3.32) можно представить в упрощенном виде:

Уравнение (3.34) обычно называют уравнением первого закона термодинамики для потока газа.

Располагаемая работа (3.33) в этом случае полностью определяется изменением кинетической энергии потока, поэтому.

Это же соотношение нетрудно получить, сопоставляя уравнение (3.34) с уравнениями (3.25) и (3.27).