Линейные планы. 
Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных

Насыщенные планы первого порядка

Одной из важнейших характеристик плана, влияющей, с одной стороны, на стоимость и длительность исследования, а с другой — на точность результатов, является число экспериментов. По соотношению между количеством оцениваемых неизвестных параметров модели и количеством точек плана эксперимента все планы подразделяются на три класса: ненасыщенные — количество параметров меньше числа точек плана, насыщенные — обе величины одинаковы, сверхнасыщенные — количество параметров больше числа точек плана. МНК применяют только при ненасыщенном и насыщенном планировании, так как он неприменим для сверхнасыщенного планирования.

Заметим, что план с минимально возможным числом экспериментов N = к + 1 (насыщенный план) не позволяет проверить адекватность модели, поэтому обычно выбирают N > к + 1, где к + 1 — число оцениваемых параметров модели. Также важное значение для оценки качества плана эксперимента имеет информационная матрица. Матрица X должна быть невырожденной, т. е. |Х| ^ 0, поскольку только в этом случае система линейных уравнений, к которой приводит МНК, имеет единственное решение.

Кроме рассмотренных критериев в ТПЭ вполне естественно применяется критерий минимума числа экспериментов, т. е. среди всех планов желательно выбирать такой, который требует минимального числа опытов при соблюдении требований к качеству оценки функции или ее параметров. Все перечисленные критерии связаны с предположением, что вид модели известен. Однако на практике часто возникает такая ситуация, когда исследователь не знает истинного вида модели. В таком случае эксперимент обычно сначала планируется исходя из простейшего предположения о линейности модели относительно варьируемых переменных. После проведения опытов проверяется адекватность линейной модели. Если она неадекватна, делается попытка построить квадратичную модель. При этом нужно планировать и эксперимент для квадратичной модели. Оптимальный план для квадратичной модели целесообразно строить таким образом, чтобы он включал точки оптимального плана для линейной модели, а также сохранял при этом некоторые заданные свойства плана, например его ортогональность. Такое построение плана приводит к сокращению числа опытов. При этом используются ранее полученные результаты. Планы для квадратичных моделей, построенные путем добавления точек к плану для линейной модели, называются композиционными планами второго порядка. Так, например, насыщенным планом первого порядка называется план, содержащий п+1 точку (опыт). Например, при п = 4, N = п + 1 = 5. То есть полином формируется в виде.

Таким образом, насыщенный план — это предельно минимальный план ДФЭ. Такие планы называются симплекс-планами.