Нарушение предпосылок. 
Статистика с элементами эконометрики

Во многих случаях мы сталкиваемся с нарушением сделанных предположений о постоянстве дисперсий и некоррелированности ошибок. Например, траты на отдых в семьях с большим доходом варьируются намного больше, чем в семьях с малым доходом, т. е. ошибки имеют разные дисперсии. В таком случае говорят о гетероскедастичности ошибок. При моделировании потребления тепла, потраченного на обогрев здания, ошибки в соседние месяцы будут скорее всего коррелированны друг с другом. Если Не, = а² и ?(е, е_у) = 0 при г ф], то ковариационная матрица ошибок имеет вид.

При гетероскедастичности элементы на главной диагонали не одинаковы. Причинами этого могут быть неправильные спецификации, ошибки измерения, выбросы и внутренняя логика модели. В задачах с пространственными данными наблюдения зачастую собираются на основе случайной выборки, так что нет априорных оснований считать, что ошибка, относящаяся к одному наблюдении, будет зависеть от ошибки для другого наблюдения. Обычно порядок наблюдений не важен (иначе мы говорим о пространственной корреляции). А при изучении временных рядов всегда важен естественный порядок. Из-за ошибок спецификации, запаздывающего влияния факторов, усреднения переменных и других причин ошибки в разные моменты времени могут коррелировать между собой, г. е. не все внедиагональные элементы Е (е) равны нулю.

Последствия. Если ковариационная матрица ошибок отличается от ст²/", то сами МНК-оценки (3, состоятельны и несмещенны, хотя перестают быть эффективными. Но стандартная оценка ковариационной матрицы а²(Х'Х)~¹ будет смещенной и несостоятельной. Напомним, что на главной диагонали этой матрицы находятся дисперсии коэффициентов (3, необходимых, например, для проведения теста Стыодента (см. п. 2.2.1). Следовательно, процедуры тестирования становятся некорректными.

Тестирование гетероскедастичности. Большинство эконометрических пакетов поддерживают проведение теста Уайта. В этом тесте нулевой гипотезой является гомоскедастичность, а альтернативой — гетероскедастичность общего вида. Сначала необходимо оценить интересующее нас уравнение и сохранить остатки затем — провести дополнительную регрессию квадратов остатков на все исходные переменные, их квадраты и попарные произведения. То есть, если изначально рассматривали уравнение Yj = P_t + (3₂Х, + P3Z, +е, то дополнительная регрессия будет иметь вид е} = Yi + y₂Xi + УзZ, + y₄Xf + у₅Z} + y₆X_fZ/ + v,. Если второе уравнение значимо, то дисперсии нс одинаковы. Формально, при нулевой гипотезе статистика nR²_on асимптотически будет иметь распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным числу факторов в дополнительной модели минус 1 (в нашем случае это 6 — 1 = 5). На a-процентном уровне значимости эта гипотеза отвергается, если пЩ_0П > где Ха — соответствующая а-процентная точка распределения хи-квадрат. Тест Уайта не требует нормальности остатков. К сожалению, в случае отвержения нулевой гипотезы он не дает никаких идей о том, как именно устроены дисперсии ошибок.

Ответ на этот вопрос может дать тест Голдфельда — Куандта. Нулевой гипотезой по-прежнему является гипотеза о гомоскедастичности. А при формулировании альтернативной гипотезы необходимо выдвинуть (из экономических соображений) предположение о пропорциональности дисперсий квадрату некоторого регрессора H_x:&f = о²Х?",. Затем все наблюдения сортируются, но возрастанию переменной X_im, и для повышения мощности d средних наблюдений (примерно одна пятая часть) исключается из рассмотрения. Оставшиеся наблюдения деляг на две группы по (п — d)/2 наблюдений в каждой. Далее оценивают два уравнения с исходной спецификацией для малых и больших начений регрессора X_im, обозначая суммы квадратов ESS_X и ESS₂ соответственно. Если нулевая гипотеза верна, то в первой группе дисперсия будет меньше, чем во второй, т. е. бо лыние значения ESS₂/ ESS_{ должны ее отвергать. Строго говоря, при нулевой гипотезе статистика F = ESS₂/ESS_x будет иметь распределение Фишера.

На a-процентном уровне значимости эта гипотеза отвергается, если F>F_a, где F_a — a-процентная точка распределения Фишера. Если оказалось, что ESS_X > ESS₂, то отвергнуть //₀ невозможно. Но можно использовать уже полученные значения для проверки гипотезы.

с заменой F = ESS₂/ESS_{ на F = ESS_X/ESS₂. Этот тест можно обобщить на несколько групп не обязательно одинакового размера.

Тестирование автокорреляции. Рассмотрим автокорреляцию первого порядка, т. е. ситуацию, когда в, =ре*_₁ + у_г, |р|<1. Оценим интересующее нас уравнение и сохраним остатки как ряд е_г. Для проверки отсутствия автокорреляция ошибок (Я₀:р = 0) вычисляют статистику Дарбина — Уотсона.

Нетрудно показать, что ОХУ ~ 2(1 — р), т. е. при отсутствии автокорреляции статистика ОМ будет примерно равна 2. Для проведения теста при известном объеме выборки п, числе регрессов к и уровне значимости, а из таблиц критических точек берут два числа ?4 и ?_и. С помощью этих числе отрезок [0,4] разбивается на 5 частей: [О, (1/], [(1_Ь ?_и1 [с1_ьг, 4 — (1_гг], [4 — (1_и, 4 — (??I [4 — <1_Ь 4]. Если статистика !)№ попала в самый левый промежуток (т.е. Г)ХУ < ?/?), то 7/₀ отвергается и принимается Я₁:р>0. Если статистика 1НУ попала в самый правый промежуток (т.е. ОXV > 4 — ?/_Л), то Я₀отвергается и принимается Я₁:р<0. Если статистика ИХМ примерно равна 2 (т.е. попала в средний промежуток [с1_и, 4 — с!_и])_} то Я₀ не отвергается. Два оставшихся промежутка называются зоной неопределенности, при попадании в них статистики результат теста не определен. Для корректности процедуры в исходном уравнении должна быть константа и не должно быть лагов зависимой переменной, в данных не должно быть пропусков. Недостатком теста Дарбина — Уотсона является то, что он обнаруживает автокорреляцию только первого порядка. Зато он работает и при малых выборках.

Если выборка достаточно большая, то можно применять асимптотические тесты. Оценим дополнительную регрессию е_г на е_г__х и сохраним коэффициент детерминации. Интуитивно понятно, что если коэффициент р отличен от нуля, то регрессия будет значима и коэффициент детерминации будет достаточно большим. Формально, если статистика ЬМ = пЯ^ будет больше, чем а-нроцентная точка распределения %²(1), то гипотеза Я_о:р = 0 отвергается. Этот тест естественным образом расширяется для проверки более сложной ситуации, когда коррелируют не только соседние ошибки, но и ошибки, находящиеся друг от друга на большем расстоянии. В общем случае зависимость имеет вид ^?г = Р1^е?-1 + Р2^?/-2 + ••• + Р, п^?(-т + Для квартальных данных часто рассматривают т = 4, для ежемесячных т = 12 и т. д. Для проверки отсутствия автокорреляции Я₀ :р1 =р₂ = … = р," =0 оценивают дополнительную регрессию е_г на и получают коэффициент детерминации. Если статистика ЬМ = будет больше, чем а-процентная точка распределения х²(т), то гипотеза Я₀ отвергается.

Коррекция. Выделяют три типа коррекции. Во-первых, иногда полезно изменить спецификацию (использовать логарифмы, нормированные переменные, добавить лаги переменных, сезонные фиктивные переменные и т. д.). Во-вторых, можно коэффициенты (3_; оценивать, но МНК, а стандартные ошибки вычислять по формулам Уайга и Ныо-Веста, которые дают состоятельные оценки (так называемые робастные оценки). В-третьих, можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов. Это довольно сложный метод, одна из идей которого состоит в том, чтобы оценивать вместо «плохого» уравнения другое — «хорошее», но с теми же коэффициентами. Если Е (е) = I, то можно найти такую матрицу Р, что РР' = 2т¹. Тогда в уравнении Р’У = Р’Х$ + Р’е новые ошибки Р’е будут гомоскедастичны и не коррелированы. Проиллюстрируем это на простом примере. Пусть Y? = (3] +(3₂Х, +г, о} = а²Х}. Разделив обе части на Х_ь мы получим новое уравнение.

в котором ошибки будут гомоскедастичны.

Разумеется, на практике будет использоваться оценка матрицы ?. Пример 14.4.

Вернемся к примеру 14.3. Для первоначального уравнения Модель 6: МНК, использованы наблюдения 1—373 Зависимая переменная: PRICE

Тест Уайта выдает статистику пК¹ = 96,6 с нулевым /^-значением. Следовательно, гетероскедастичность присутствует. Попробуем поменять спецификацию, используя логарифмы Модель 7: МНК, использованы наблюдения 1—373 Зависимая переменная: _PRICE

Тест Уайта выдаст пК¹ = 12,8 и /^-значение = 0,11, следовательно, гстероскедастичность отсутствует.