Однофакторный дисперсионный анализ

Математическая идея метода Дисперсионный анализ базируется на расчете дисперсий трех типов: общей, внутригрупповой и межгрупповой дисперсии (по формуле (4.4)).

Общая дисперсия, или она еще называется полной или общегрупповой дисперсией, рассчитывается так:

где.

где SS₀6_m — общая (полная) сумма квадратов отклонений; N — общее число элементов во всей выборке.

В расчетной формуле (7.1) общее среднее по всей выборке х вычитается из каждого элемента выборки. Полученные величины возводятся в квадрат и суммируются. Общую дисперсию Д₀5_щ можно обозначить иначе: 5^_щ.

Внутригрупповая дисперсия рассчитывается так:

где ^_и«у_Тр_И — сумма квадратов отклонений от групповых средних (сумма квадратов остаточных отклонений).

Здесь N — общее число элементов в выборке; р — число групп, в каждой из которых может быть различное число элементов.

Для подсчета 55_внутри по формуле 7.2 в каждой группе вычисляется свое среднее Xj и вычитается из каждого элемента группы. Полученные величины возводятся в квадрат и суммируются по всем группам:

Внутригрупповая дисперсия имеет и другое обозначение: 5².

Межгрупповая дисперсия рассчитывается так:

где 55_мсжду — сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или иначе — взвешенная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней.

Для подсчета 55_между по формуле 7.3 из каждого группового среднего ~х_} вычитается общее среднее, х, полученное для всей выборки. Полученные величины возводятся в квадрат и суммируются:

Здесь rij — число элементов в каждой группе. В каждой группе может быть как одинаковое, так и разное число элементов.

Межгрупповая дисперсия имеет и другое обозначение: 5₂².

В терминах квадратов отклонений основное уравнение однофакторного дисперсионного анализа выглядит так:

Для выяснения влияния одного или нескольких контролируемых факторов на призак (отклик) используется так называемое F-отношение, т. е. отношение межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:

При этом чем больше величина F, тем вероятнее, что средние между группами значимо различаются между собой, и это различие объясняется не случайными влияниями или простой ошибкой, а влиянием какого-либо фактора или группы факторов.

Таким образом, общей задачей дисперсионного анализа является проверка статистической значимости различия между средними и дисперсиями (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (т.е. внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Эти компоненты общей или полной дисперсии используются для анализа статистической значимости различия между средними значениями выборок (переменных). Если это различие значимо, нулевая гипотеза Я₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза Я₍ о существовании различий.

В дисперсионном анализе нулевую гипотезу Я₀ можно сформулировать так: средние величины анализируемого результативного фактора одинаковы для всех его градаций. Соответственно альтернативная гипотеза Н будет утверждать, что средние величины результативного фактора различны для всех его градаций. Последнее означает, что на величины средних одной из выборок действует какой-то фактор.

Пример. Рассмотрим пример расчета «вручную» всех трех видов дисперсии. Чтобы сделать пример максимально простым, возьмем не три группы переменных, а только две. При этом исходная матрица будет иметь размер 2×3. Рассчитаем все нужные величины в одной таблице (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Как видно из таблицы, общая сумма квадратов отклонений (55"б_щ = 28) разбита на компоненты: сумму квадратов, обусловленную внутригрупповой изменчивостью (2 + 2 = 4), и сумму квадратов, обусловленную межгрупповой изменчивостью, равную 24.

По формуле (7.4).

или в цифрах.

28 = 4 + 24.

Переведем полученные суммы квадратов в дисперсии:

В этом случае согласно формуле (7.5):

Полученная величина^{значима} на 0,001% уровне.

Общие формулы расчета по методу однофакторного дисперсионного анализа Расчет дисперсий удобно проводить по специальным табл. 7.2 и 7.3.

Таблица 7.2

В итоговой, последней строке таблицы даны общий объем всей выборки N_y сумма всех полученных значений = G и общая средняя всей выборки х. Эта общая средняя получена как сумма всех элементов анализируемой совокупности экспериментальных данных, обозначенная выше как G, деленная на число всех элементов N.

В крайнем правом столбце таблицы представлены величины средних по всем выборкам. Например, в j выборке (строчка табл. 7.2, обозначенная символом j) величина средней (по всей j выборке) такова:

При ЭТОМ ВеЛИЧИНЫ 55₀б_щ,^внутри и ^5_между можно вычислить по следующим упрощенным формулам (обозначения даны в табл. 7.2 и 7.3):

Таблица 73

Поскольку 55_1шутри = 55_общ — 55_между (из формулы (7.4)),.

В качестве примеров использования однофакторного дисперсионного анализа ANOVA решим несколько задач.