Упругие силы. 
Основы механики

Они возникают при деформации тела и направлены в сторону обратную смещению (рис. 3). Для малых деформаций справедливо (закон Гука):

(7).

где k — коэффициент пропорциональности.

Для пружины он называется коэффициентом жесткости, измеряется в Н/м.

Силы трения

Они появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга.

Трение, возникающее, при относительном перемещении тел называется внешним трением; если при этом нет смазки, то трение называют сухим.

.

т.е. сила трения пропорциональна величине силы нормального давления , — коэффициент трения, безразмерная величина. Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, а в случае скольжения — еще и от скорости тела.

Трение между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) называется внутренним трением. Для него при небольших скоростях.

(9).

где r — коэффициент сопротивления, имеющий размерность (кг/с).

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой.

Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние.

Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой.

Для замкнутой системы остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: импульс, энергия и момент импульса.

Соответственно формулируются три закона сохранения.

1. Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Обозначим через силу, с которой материальная точка k действует на iю материальную точку (т.е. — это внутренняя сила). Обозначим через, результирующую всех внешних сил, действующих на i-тую материальную точку. Тогда, согласно второму закону Ньютона.

Сложим все эти уравнения

(2).

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равна нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы всегда равна нулю, т. е.

. (3).

С учетом этого из (2) получим. (4).

Введем понятие импульса системы. (5).

С учетом этого из (4) находим, (6).

где ,.

т.е. производная по времени импульса системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если, то соответственно и, следовательно,.

. (7).

Итак, если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, т. е. не изменяется со временем. В частности, это имеет место, когда система замкнута: .

Импульс замкнутой системы сохраняется.

Это утверждение представляет закон сохранения импульса — фундаментальный закон природы, не знающий никаких исключений. В таком широком понимании закон сохранения импульса не может рассматриваться как следствие законов Ньютона.

Оказывается, в основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства: т. е. одинаковость свойств пространства во всех его точках.

Однородность пространства означает, что если замкнутую систему перенести из одного места в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

2. Центр масс и закон его движения

В динамике широко используется понятие центра масс системы материальных то чек, который обычно обозначают буквой С. Положение центра масс определяется радиус-вектором.

.(8).

Здесь mi — масса i-той материальной точки, — радиус-вектор, задающий положение этой точки,.

— суммарная масса системы.

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра масс.

(9).

где — импульс системы. Согласно (9) импульс системы.

. (10).

Подставив (10) в (6), получим уравнение движения центра масс.

. (11).

Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы и, следовательно, [см. (11)].

(12).

это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Эта система инерциальная.

3. Реактивное движение. Движение тел с переменной массой

Имеется много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса. Например, полет ракет (и работа реактивных двигателей) основаны на том, что в результате выбрасывания из сопла газов, ракете сообщается такой же импульс, который уносят с собой газы. Впервые мысль о возможности такого применения реактивных двигателей была высказана Кибальчичем в 1881 г. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты.

Пусть m (t) — масса ракеты в произвольный момент времени t, — ее скорость в тот же момент времени, а — скорость убыли ее массы [ = (dm/dt)] за счет истечения газов. Импульс ракеты в этот момент будет. В следующий момент времени (t+dt) ракета будет иметь массу, а ее скорость получит приращение и будет равна. Отделившиеся от ракеты газы будут иметь относительно Земли скорость. Тогда импульс ракеты в момент времени (t+dt) равен:, импульс газов. Изменение импульса всей системы (ракета + ее газы) за время dt будет равно:

(13).

В уравнении (13), как членом второго порядка малости можно пренебречь. Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса за время dt равна внешней силе, действующей на это тело за это время, т. е.:. С учетом (13) находим.

(14).

или, (15).

где — скорость истечения газов относительно ракеты. Уравнение (15) называют уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой. Если, то уравнение (15) переходит в уравнение вида:

(16).

решая которое можно получить:

(17).

где т0 — начальная стартовая масса ракеты (когда).

Максимальная скорость.

(18).

где ттопл — масса топлива и окислителя. В действительности, скорость будет меньше. Формула (17) называется Формулой Ц и о л к о в с к о г о.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.

1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке A приложения силы (рис. 1).

Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на силу :

,, (1)

— угол между векторами и; направление выбирается так, чтобы последовательность векторов, , образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от к по наикратчайшему пути.

Моментом нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки.

. (2).

Отметим частный случай двух равных параллельных сил и, направленных в противоположные стороны.

Такие силы образуют так называемую пару сил. В этом случае.

.

т. е. момент пары сил равен моменту одной из этих сил относительно точки приложения другой. Очевидно, что момент пары сил не зависит от выбора точки О.

В частности, если равные и противоположно направленные силы и действуют вдоль одной и той же прямой, то они коллинеарны с вектором, и поэтому момент пары таких сил равен нулю.

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на импульс :

. (3).

Для системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

(4).

2. Уравнение моментов

Предположим, что точка О неподвижна. В случае одной материальной точки, дифференцируя (3), получаем.

.

При неподвижной точке О вектор, равный, параллелен и поэтому. Кроме того.

.

Таким образом. (5).

Это уравнение моментов для одной материальной точки. Распространим его на систему материальных точек, для чего запишем уравнение (5) для каждой материальной точки механической системы, понимая под М момент всех действующих на нее сил, как внутренних, так и внешних. Затем сложим все эти уравнения. Внутренние силы входят в систему попарно так, что.

где — сила воздействия k-й материальной точки на i-ю. Кроме того, эти силы и, действуют вдоль одной и той же прямой. Момент таких двух сил, а значит и моменты всех внутренних сил равны нулю. В результате опять получается уравнение моментов типа (5) только для системы материальных точек, в котором определяется выражением (4), а — выражением (2) для внешних сил, т. е.

. (6).

Моментом силы механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси (рис. 2). Соответственно, моментом импульса относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса относительно любой точки на данной оси.

Можно доказать, что выбор точки на оси влияет на значения моментов импульса и относительно точки, но не влияет на значения соответствующих проекций моментов на эту ось.

Если мы выбираем прямоугольную систему координат с началом, совпадающим с полюсом, то имеем:

(7).

3. Закон сохранения момента импульса

Если система замкнута (т. е. внешних сил нет), то и, следовательно, согласно уравнению (6) вектор не изменяется со временем, т. е.. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям.

Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.

Наряду с законом сохранения импульса и энергии закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов физики. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является теоремой механики, а должен рассматриваться как самостоятельный общефизический принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

4. Движение в поле центральных сил

Если на материальную точку действует сила вида.

(8).

то говорят, что материальная точка находится в поле центральных сил, если начало координат совпадает с центром сил.

Примерами материальных точек в таком поле являются искусственные спутники Земли.

Очевидно, что момент центральных сил относительно центра сил 0 равен нулю. Следовательно, при движении в центральном поле момент импульса материальной точки остается постоянным.

Вектор всегда ортогонален плоскости векторов и. Поэтому постоянство направления свидетельствует о том, что движение материальной точки в поле центральных сил происходит в одной плоскости.

Материальная точка, движущаяся в поле центральных сил, представляет собой консервативную систему. Поэтому при движении материальной точки сохраняется и полная механическая энергия точки, т. е.

. (9).

Для гравитационного центрального поля большой массы М имеем.

. (10).

В этом случае траекторией материальной точки является эллипс, один из фокусов которого совпадает с центром силы, т. е. с положением центра массы М. При E = 0 траекторией частицы является парабола, а при Е > О — гипербола.