Пондеромоторные сиды взаимодействия токов

В предыдущем параграфе по существу дао решение поставленной задачи: внешнее магнитное поле, в котором находился контур с током, создавалось другим контуром тока, размеры которого настолько велики, что влияние рассматриваемого контура тока на него попросту прснебрегалось. Вместе с тем очевидно, что пондеромоторные силы, действующие на контуры токов в соответствии с третьим законом Ньютона должны быть равны. Исходя из этого положения, мы вправе записать, что салы действия первого контура на второй F₂, а второго на первый F₂ связаны условием.

Эти силы определяются выражением (1.6).

где запасенная энергия для каждого контура согласно (1.5).

определяется потоками взаамоиндукции, т. е. Ф12 — это магнитный поток, созданный током /₂, пронизывает первый контур; соответственно, Ф₂1 — магнитный поток от тока /ь пронизывает второй контур тока.

Дтя дальнейшего анализа удобно представить выражение для запасенной энергии через потокосцепления.

а токи контуров /" - через число витков контура w_n и ток витка /".

Потокосцепления 1|/₎₂ и у₂1 (пшагая систему линейной) представим через коэффициенты взаимоиндукции L₂ и Liu которые являются функциями пространственных координат <�г/:

С учетом введенных обозначений уравнение для сил запишется.

откуда следует, что коэффициенты взаимоиндукции должны быть равны.

и это условие справедливо дтя любой пары контуров.

Заметим, условие равенства коэффициентов взаимоиндукции должно выполняться независимо от состояния магнитной системы — линейна она ши нелинейна. Это является следствием третьего закона Ньютона и может служить одним из критериев правильности расчета магнитной системы.

Таким образом, из условия равенства сил вытекает, что энергии от токов W_] 2 и 02i будут равными и, в свою очередь, равны запасенной энергии W_m:

т. е. вклад тока каждого контура в создание энергии W_m является одинаковым. С учетом отмеченного обстоятельства, для дальнейшею анализа удобно представить энергии контуров W_n и W₂, связанные условием.

и определяемые выражениями.

Тогда полная энергия IV, электромагнитно связанных контуров выразится следующим уравнением:

Подобная симметричная форма запасенной энергии используется при записи энергии от сил взаимодействия заряженных частиц [ 1 ]. Помимо удобной формы, которая легко обобщается на произвольное число пар контуров, она, как будет показано ниже, может быть обобщена и на случай, когда наряду с потокосцеплением взаимоиндукции контур пронизывается и собственным потокосцеплением.

На рис. 1.4 приведена геометрическая интерпретация составгопощих запасенной энергии IV_I2 и W₂, определяемых по формуле (1.17). Они всегда равны, и это условие должно выполняться как для линейных, так и для нелинейных связей между токами и потокосцеплениями.

Действие пондеромоторных сил можно наблюдать на простейшей электромеханической системе, приведенной на рис. 1.5.

Здесь контуры токов на статоре АА' и роторе acf расположены в пазах сердечников / и 2, выполненных из электротехнической стали, обладающей высокой магнитной проницаемостью, мною больше проницаемости воздуха: per" ЦоДля поворота ротора в магнитном поле статора на угол ±у необходимо преодолеть сопротивление пондеромоторных сил (рис. 1.5), направление которых определяется известными способами, например правилом левой руки. Это мнемоническое правило выражает результат векторною умножения векторов. Если внешние силы удалить, то ротор натает поворачиваться в исходное положение за счет накопленной энергии, равной площади прямоугольника ODA В либо OD2A2B2 (рис. 1.4):

Рис. 1.4. К представлению запасенной энергии от полей взаимоиндукции при фиксированном положении контуров (q = const).

Помимо потоков взаимоиндукции каждый контур пронизывается и собственным потокосцепяением. Их среднее значение определяется как.

где L_nn — собствсш1ые индуктивности контуров, которые в общем случае являются функциями координат q, и магнитного СОСТОЯНИЯ системы.

Энергию, сосредоточенную в собственном магнитном поле, можно найти на основе уравнения (1.16), если вместо потока взаимоиндукции подставить собственные потокосцепления j/n (|/_WJ), тогда с учетом (1.18) получим.

Такие же выражения для энергии получатся и на основе следующих рассуждений. Представим ток контура в виде совокупности нитей тока dL, которые пронизываются магнитным потоком Ф, созданным током контура /. Энергия, создаваемая от взаимодействия нити тока с потоком, найдется согласно (1.7):

а энергия от всех нитеи тока.

где множитель ^ введен потому, что при интегрировании взаимодействие нитей тока учитывается дважды — как собственно тока dl с магнитным потоком, создаваемого этим же током, и наоборот. Если принять в качестве среднего магнитного потока, пронизывающего контуры нитей тока.

то получим следующее выражение для собственной энергии:

которое полностью совпадает с ранее полученными выражениями (1.16).

Рис. 1.5. Электромеханическая система с контурами токов на статоре АЛ и роторе аа:

/ - статор; 2 — ротор Аналогичньш образом найдется и собственная энергия, созданная током второго контура:

Другое доказательство снравсдтивости полученных выражений будет сделано ниже, здесь же приведем полное выражение ятя запасенной энергии, создаваемое парой контуров тока:

которое с учетом (1.17) и (1.20) приводится к виду где потокосцсплсния vp | и |/₂

представляют полные потокосцепления контуров — свое и стороннее.

Выражение для энергии (1.22) легко обобщается на произвольное число контуров и приводится к следующим формам, используя (1.23):

где потокосцепление контура

а взаимные индуктивности подчиняются условию.

Теперь, после того как получены выражения для полной энергии, можно найти электромагнитную силу, действующую на некоторый контур тока. Ее значение вдоль некоторой пространственной координаты ц, найдем на основе уравнения для силы (1.7), если в последнем выражении в качестве энергии использовать полную энергию системы (1.18):

При этом заметим, что электромагнитная сила, определяемая последним выражением, является равнодействующей всех сил, действующих на элементы дтины контура тока в рассматриваемом направлении. И если перемещение контура тока не связано с изменением потокосцеплсний |/,;(.

Покажем справедливость выражения для определения запасенной энергии от взаимодействия тока с собственным нотокосцеилением (1.20) на примере, приведенном на рис. 1.5. Здесь представлена электромеханическая система, где контуры токов АА и аа лежат на ферромагнитных поверхностях статора и ротора. Так как обычно значение воздушного зазора 5 много меньше расстояния между сторонами контура т = nD/2, т. е. т «8, картину поля, создаваемого контуром токов, удобней рассматривать в декартовой системе координат. Полагая, что мы имеем дело с линейными токами, при некоторых допущениях на основании закона полного тока нетрудно установить закон изменения магнитного поля, создаваемого контуром тока АА' вдоль окружности воздушного зазора — он носит прямоугольный характер (рис. 1.6) с амплитудой.

а создаваемое потокосцепление.

здесь / - длина стороны контура АЛ' вдоль координаты у.

Рис. 1.6. К образованию пондеромоторных сил от взаимодействия токов с потоками взаимоиндукции: стрелками указаны направления сил.

Энергия, запасенная в объеме воздушного зазора,.

где dV — элемент объема, dV = dxdydz.

Подстаатяя значение напряженности Н и интегрируя по каждой переменной в пределах.

получим.

Выражение в скобках, как нетрудно видеть, представляет собственную индуктивность контура Ln и, следовательно, последдее выражение может быть предстаатено в виде.

Полученный результат идентичен (1.16), хотя и найден совершенно другим образом.

Аналогичным образом получится энергия и для второго контура, созданная полным током iiw₂

Заметим, что такое же выражение для энергии получится и на основе следующего уравнения, подученного на основании закона сохранения энергии, например для W:

Выражая дифференциал tApi,.

и вюдя ею в интеграл энергии, найдем.

Таким же образом найдется W22,… ит. д.

Рис. 1.7. Запасенная энергия IV_U, сшдаЕшая собственным магнитным полем На рис. 1.7 представлена энергия от собственного потокосцепления в соответствии с (1.19), которое определяется аналогично энергии от потокосцепления взаимоиндукции (рис. 1.4). Забегая вперед, заметим, что энергию, определяемую площадью ОАВ, называют коэнергией, а ОСВ — энергией магнитного поля. Они будут различными при нелинейной зависимости потокосцепления от тока.

Возникновение пондеромоторных сил от взаимодействия тока с собственным потокосцсплением покажем на примере электромеханической системы (рис. 1.8). Здесь контур тока представляет группу катушек, расположенных в пазах сердечника статора. Последний, как и сердечник ротора, выполнен из электротехнической стали — материала, имеющего высокую магнитную проницаемость: Per" Ц<).

Рис. 1.8. Электромеханическая система с магнитной несимметрией по осям d, ц.

Благодаря магнитной асимметрии ротора по осям d и q происходит деформация магнитного потока, создаваемого контуром тока, и возникают условия для создания результирующей пондеромоторной силы, действующей на ротор. Чтобы наблюдать влияние зубчатости ротора, на рис. 1.9 в декартовой системе координат приведена картина поля В(а), которая создавалась бы при «гладком» роторе. Хотя в этом случае существуют силы, действующие на каждый проводник с током, они уравновешивают друг друга, и результирующая сила будет равна нулю. При наличии зубчатости ротора такая же картина распределения сил будет только в двух случаях, когда с магнитной осью совпадает либо продольная d, либо поперечная q оси (рис. 1.9, а и в). В промежуточных положениях.

Рис. 1.9. К механизму образования пондеромоторных сил от взаимодействия тока с собственным потокосцеплением.

симметрия магнитного поля нарушается (рис. 1.9, б), силы, действующие на проводники, нс уравновешиваются, не компенсируются. Возникающая результирующая сила и создаваемые моменты на статор и ротор действуют в противоположных направлениях. Нетрудно установить, что под их действием ротор стремится занять положение, когда с магнитной осью контура совпадает продольная ось ротора независимо от ее направтсния. То есть положение устойчивого равновесия достигается при у = 0, п, 2л…

Значение пондеромоторной силы в рассматриваемом случае наиболее просто найти через запасенную энергию (1.19):

Собственная индуктивность контура Сц (у) явтяется функцией угловою положения ротора и может быть представлена в следующем виде:

Создаваемый момент найдется на основе (1.6), и, так как dx = Rdy,

явтяется результатом взаимодействия токов контура с собственным потокосцеплением. Возникающий момент стремится уменьшить угол рассогласования у, т. с. у = 0 есть точка устойчивого равновесия. И заметим, что хотя на роторе нет источников магнитного поля, возникающий момент действует на ротор, поворот которого определяет изменение потокосцсплсния, создаваемого токами контуров, расположенных на статоре.

Электромеханические преобразователи, работающие на силе взаимодействия с собственным потокосцеплением, широко используются на практике. Характерный вид устройства приведен на рис. 1.10. Оно состоит из ферромагнитного сердечника 1, на котором размещается контур тока 2, и подвижного сердечника 3. При протекании тока в катушке 2 ферромагнитный якорь 3 притянется к неподвижному сердечнику, преодолевая силу упругости пружины 4 и совершая полезную работу. Простота устройств обусловила их массовое применение в различных электрических аппаратах.

Рис. 1.10. Преобразователь энергии с одним контуром тока.

Значение пондеромоторной силы, действующей на якорь, найдется в соответствии с общим выражением (1.7):