Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда

1. Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда.

1.1 Задание.

1.2 Оценка Каплана-Мейера и формула Гринвуда.

1.3 Доверительный интервал выживаемости.

2. Программа-функция Заключение Список используемой литературы.

Целью данной работы является создание программы-функции на MATLAB для исследования точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда. Данный метод — непараметрический. Он является полезным не только как гибкий альтернативный метод по отношению к параметрическим, но и при применении графических методов проверки согласия для сложных моделей. Термин «таблица времени жизни (наработок)» часто используется для непараметрического оценивания функции надежности по цензурированным данным.

1. Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда.

1.1 Задание.

Исходные данные..

Параметр экспоненциального распределения, n — объём независимой случайной выборки длительностей, имеющих экспоненциальное распределение, m — число цензурированных данных.

Задание..

· Описать теоретические основы построения непараметрической оценки функции дожития (оценка Каплана-Мейера) и вычисления 95% доверительного интервала с использованием формулы Гринвуда.

· Написать требуемую программу-функцию на MATLAB, предусмотрев ввод параметров, n и m через формальные параметры функции, генерирование независимой случайной выборки объёма n длительностей, имеющих экспоненциальное распределение с параметром, независимое цензурирование (случайное «удаление» из выборки m элементов), построение и вывод на экран точной функции дожития и оценки Каплана-Мейера с 95% доверительными интервалами в фиксированных точках, рассчитанных с помощью формулы Гринвуда.

· Провести вычисления для значений параметров.

1.2 Оценка Каплана-Мейера и формула Гринвуда.

Этот метод был придуман статистиками Е. Л. Капланом и П. Мейером. Метод используется для вычисления различных величин, связанных с временем наблюдения за пациентом. Примеры таких величин:

· вероятность выздоровления в течении одного года при применении лекарственного препарата.

· шанс возникновения рецидива после операции в течении трёх лет после операции.

· кумулятивная вероятность выживания в течение пяти лет среди пациентов с раком простаты при ампутации органа Поясним преимущества использования метода Каплана — Мейера.

Значение величин при «обычном» анализе (не использующем метод Каплана-Мейера) рассчитываются на основе разбиения рассматриваемого временного интервала на промежутки.

Например, если мы исследуем вероятность смерти пациента в течение 5 лет, то временной интервал может быть разделён как на 5 частей (менее 1 года, 1−2 года, 2−3 года, 3−4 года, 4−5 лет), так и на 10 (по полгода каждый), или на другое количество интервалов. Результаты же при разных разбиениях получатся разные.

Процедура Каплана-Мейера или процедура выживания (англ. Kaplan-Meier estimator) оценивает функцию выживаемости.

График оценки функции выживаемости представляет из себя убывающую ступенчатую линию, приближающую реальные значения функции выживаемости для этой задачи. Значения функции выживаемости между точками наблюдений считаются константными.

Важным преимуществом процедуры Каплана-Мейера, является то, что этот метод справляется с цензурированными данными, т. е. учитывается, что пациенты могут выбывать в ходе эксперимента.

Примеры:

Пример 1(медицина) Пациенты принимают некое лекарство. Нужно оценить долю пациентов, проживших после этого какой-то период времени.

Пример 2(экономика) Оценить время, сколько человек будет безработным, после ухода с прежнего места работы.

Пример 3(машиностроение) Оценить время, пока какая-то часть автомобиля откажет.

Описание..

Оценка Каплана-Мейера Для цензурированных, но не группированных наблюдений времен жизни, функцию дожития можно оценить непосредственно.

Цензурирование выборки — случайное удаление элементов из выборки.

Пусть выбраны — моменты времени.

Экспоненциальный закон:

— оценка функции надежности.

где — число объектов, наблюдаемых в момент ,.

— число объектов, отказавших в момент .

В входят все объекты, цензурированные в момент. Тогда формула для логарифма правдоподобия следующая:

Из этой формулы следует вывести формулу для .

А для вероятности неудачного исхода:

Оценка максимального правдоподобия:

Оценка формально не зависит от выборки точек (если при этом сохраняется их порядок и значения не превышают t), в которых наблюдаемое число отказов равно нулю. Обычно называют множительной оценкой Каплана-Мейера.

Для каждого момента времени оценим вероятность пережить этот момент. Такой оценкой будет отношение числа переживших этот момент к числу наблюдавшихся к этому моменту. Тогда, согласно правилу умножения вероятностей, перемножая вероятности выживания в каждом интервале, в результате преобразований:

Следовательно, оценка функции дожития вычисляется по формуле:

Где — число объектов, доживающих до момента времени, исключая выбывших,.

— число объектов, для которых произошёл исход в момент времени ,.

— вероятность исхода.

Заметим, что можно перемножать значения только для тех моментов времени, когда произошёл хотя бы один исход, потому что, если =0, то = 1, а умножение на единицу никак результат не меняет.

Данная оценка функции дожия, называемая множительной оценкой, впервые была предложена Капланом и Мейером (1958).

1.3 Доверительный интервал выживаемости.

дожитие каплан доверительный интервал Оценку точности приближения кривой выживаемости дает стандартная ошибка выживаемости, ее можно рассчитать по формуле Гринвуда.

Формула Гринвуда:

Симметричный доверительный интервал:

Доверительный интервал выживаемости в момент времени с доверительной вероятностью определяется так:

.

где = 1.96 — квантиль нормального распределения. Обычно берётся 95% доверительный интервал, т. е.

Преимущество метода Каплана-Мейера (по сравнению с методом таблиц жизни) состоит в том, что оценки не зависят от разбиения времени наблюдения на интервалы, т. е. от группировки. Метод множительных оценок и метод таблиц времен жизни приводят, по существу, к одинаковым результатам, если временные интервалы содержат, максимум, по одному наблюдению.

Выбор наиболее подходящего разбиения — непростая задача. Оценки значений величин, полученных по методу КапланаМейера не зависят от разбиения времени наблюдения на интервалы, а зависят только от времени жизни каждого отдельного пациента. Поэтому исследователю проще проводить анализ, да и результаты нередко оказываются качественней результатов «обычного» анализа.

2. Программа-функция.

function k2(lambda, n, m)%входные параметры.

a=exprnd ((1/lambda), 1, n);%выборка.

a = sort (a);

a1=a;

t=randperm (n);%временная переменная для цензурирования.

if m>0.

a1(t (1:m))=[]; %цензурирование.

end.

for j=1:(n-m).

r (j)=sum (a>=a1(j));%число отработавших элементов.

end.

s (1)=1;

t1(1)=1;

for j=1:(n-m).

s (j+1)=(s (j))*(1-(1/r (j)));%ф-ия дожития Каплана-Мейера.

t1(j)=1/(r (j)*(r (j)-1));

if t1(j)==Inf.

t1(j)=t1(j-1);

end.

end.

a2=[0,a1];

t2=0:0.1:10;

lambda=0.5;

s1=exp (-lambda*t2);

plot (t2,s1,'m');%изображение графика функции дожития.

sigma=s*sqrt (sum (t1));%оценка точности по ф-ле Гринвуда.

hold on.

stairs (a2,sigma).

s (1)=[];

v=(t1)./(log (s).^2);

b1=log (-log (s))-1.96.*sqrt (v);

b2=log (-log (s))+1.96.*sqrt (v);

c1=exp (-exp (b2));%нижний предел доверительного интервала.

c2=exp (-exp (b1));%верхний предел доверительного интервала.

stairs (a1,c1,'r-')%изображение нижнего предела доверительного интервала.

stairs (a1,c2,'g-')%изображение верхнего предела доверительного интервала.

xlabel ('t')%подпись оси x.

ylabel ('S (t)')%подпись оси y.

Вычисления для значений параметров.

Графики точной функции дожития для значений параметров л, n, m и оценки Каплана-Мейера с 95% доверительными интервалами в фиксированных точках, рассчитанных с помощью формулы Гринвуда.

1. Графики: S (изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S (t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях л=0.5, n=10, m=0 (рис. 1).

Рис. 1.

2. Графики: S (изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S (t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях л=0.5, n=50, m=5 (рис. 2).

Рис. 2.

3. Графики: S (изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S (t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях л=0.5, n=150, m=15 (рис. 3).

Рис. 3.

Заключение.

В данной курсовой работе были подробно изложены метод Каплана-Мейера и использование формулы Гринвуда. Также было выполнено задание построение графиков с помощью программы Matlab.

Список используемой литературы.

1. Д. Р. Кокс, Д. Оукс. Анализ типа времени жизни — Москва «Финансы и статистика», 1988. — 191 стр.

2. Анохин Л. В. Медицинская статистика / Л. В. Анохин, Г. А. Пономарева, О. Е. Коновалов, С. Н. Рубцов, О. В. Медведева. — Рязань, 2002.

3. http://www.machinelearning.ru.

4. Михальский А. И. Лекции по компьютерным технологиям в медико-биологических системах. — Москва, 2012.