Предел. 
Непрерывность функции

С понятием предела мы знакомы применительно к последовательностям. Но что такое последовательность? Если мы вспомним, что значение каждого члена последовательности определяется его номером (некоторым натуральным числом), то оказывается, что с функциональной точки зрения последовательность есть не что иное, как функция натурального аргумента. Это будет совсем очевидным, если для записи последовательности воспользоваться следующим: и_п = f (n) и далее: щ =/(1), и₂ ⁼/(2),…, и_п =f (n). При таком подходе можно рассматривать числовые последовательности как частный случай функций, в которых аргумент, изменяясь дискретно, принимает лишь целочисленные положительные значения. Между тем, в общем случае аргумент изменяется непрерывно, принимая любые действительные значения (из области определения функции). При этом непрерывный аргументов интересующих нас вопросах может изменяться двояко:

• а) о неограниченно возрастает: х —? °° (при этом не исключается случай, когда х возрастает по модулю, оставаясь отрицательным: х —? -°°);
• б) о приближается сколь угодно близко к некоторому фиксированному значению о₀: х —* доопределим понятие предела для каждого из этих случаев.