Общая форма леммы Шварца

Лемма Шварца в своей первоначальной форме предполагает, что функция обращается в нуль в начале координат. Чтобы понять истинный смысл этого предложения, нужно освободиться от этого условия.

Пусть ® («) — функция, голоморфная внутри круга С (или на полуплоскости), и её значения изображаются точками, лежащими внутри круга Г (или полуплоскости). Для двух пар соответствующих точек [н_ь <�р (и_х)] и [и₂, (c)(ыг)) неевклидово расстояние между и_ъ и₂ относительно С не меньше неевклидова расстояния между ?(«i), ?(ii₂) относительно Г. Равенство имеет место лишь в случае линейного преобразования С в Г:

В этом заключается общая формулировка леммы Шварца.

Для доказательства выполним линейные преобразования С и Г в единичный круг с, переводящие и_х и.

w = li (С); тогда функция w = (p (u) преобразуется в функцию C = f (z) = l^~¹v/(г), удовлетворяющую условиям классической леммы Шварца. Для установления общей формы леммы Шварца достаточно доказать, что.

причём равенство имеет место только в случае, когда f {г) есть вращение, потому что ангармоническое отношение является инвариантом линейного преобразования и, значит, D_c (0, /(z.>)) = D_r [у («j), «(я₂)| и D_e{0, z₂) = = Dq f»_lf и₂). Последнее же вытекает из леммы Шварца в её первоначальной форме |/t?)|<|2j и из того факта, что неевклидово расстояние точки до начала координат k In есть возрастающая функция её евклидова расстояния г. Поэтому из неравенства следует:

или

причём знак равенства в (34) и (35) имеет место одновременно, т. е. только в случае, когда f (z) есть вращение.

Если принять С и Г за единичные круги, то доказанную общую форму леммы Шварца можно формулировать геометрически следующим' образом:

Если w = f (z) остаётся внутри круга |ш|<1 при |г|<1 и одновременно z находится внутри неевклидова круга у с центром z₀ и неевклидовым радиусом р, то w остаётся внутри неевклидова круга у' с центром w₀ = / (лр) того же неевклидова радиуса р; если z стремится к точке Z на окружности у, то w стремится к точке Wi =f (z_x), причём w_x лежит на окружности у' только в том случае, когда f (z) линейно зависит от z преобразование (г, w) есть тогда неевклидово перемещение внутренности единичного круга.

Заметим, что, пользуясь леммой Шварца, можно немедленно получить теорему § 2, п. 7. Действительно, если (г, w) есть взаимно однозначное конформное отображение внутренности круга (или полуплоскости) самого на себя, то вследствие доказанного предложения для двух пар точек мы должны иметь:

и, если рассматривать обратно г как функцию w:

откуда вытекает, что D (w_h w₂) == D (z_lt z₂)_t а это будет татько в том случае, когда наше преобразование (г, w) есть линейное.