Расшифровка интерферограмм методом пошагового фазового сдвига

При построении интерференционных систем в последние годы наиболее часто используются методы получения и расшифровки интерферограмм на основе пошагового сдвига. Это вызвано простотой задания отдельных значений фазового сдвига, несложными простыми алгоритмами и высокой точностью расшифровки. Кроме того, существующие схемы интерферометров достаточно просто модифицируются.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ РАСШИФРОВКИ

Метод пошагового фазового сдвига основан на регистрации нескольких интерферограмм при изменении фазы опорной волны на известную величину. Фаза опорной волны модулируется по времени следующим образом:

Фазовый сдвиг между интерферирующими пучками может быть реализован различными способами. На рис. 2.9 показана принципиальная схема оптической установки, в которой фазовый сдвиг задается перемещением зеркала, закрепленного на пьезокерамике. Пучок света от когерентного источника излучения, попадая на делительный куб, разделяется на опорный и объектный пучки. В опорном плече находится зеркало, закрепленное на пьезокерамике, которое предназначено для внесения эталонных фазовых сдвигов. Конфигурация объектного плеча зависит от задачи измерения и формы поверхности тестируемого объекта. В выходной плоскости помещен массив детекторов для регистрации интенсивности в каждой точке поля. После каждого фазового сдвига информация о поле интенсивностей вводится в компьютер.

Существуют два способа внесения фазового сдвига: дискретный и непрерывный. Дискретный сдвиг изменяет фазу светового пучка на некоторую величину, затем осуществляется ввод в компьютер установившегося значения интерференционной картины.

Рис. 2.9. Схема интерферометра Тваймана — Грина с перемещением зеркала, закрепленного на пьезокерамике.

При непрерывном сдвиге фаза меняется линейно во времени. Значения интенсивности считываются с помощью интегрирующего детектора, который усредняет значения по мере изменения фазы. Усреднение происходит за временной интервал, при котором фаза меняется на заданную величину. При этом должна поддерживаться точная синхронизация между временем интегрирования на детекторе и перемещением пьезоэлектрически сдвигающегося зеркала. Если изменение фазового сдвига имеет пилообразный вид, то формулы расшифровки совпадают с формулами дискретного пошагового фазового сдвига. При различных фазовых сдвигах интенсивность интерферограммы со сдвигом б, можно представить в виде.

где / = 1,2, т (/" - число фазовых сдвигов) и б| = 0.

Если фазовые сдвиги одинаковы в интервале от 0 до я, т. е. б, = 2я (/ - 1)/"/, то фаза ф может быть определена как [14].

Алгоритмы, полученные при различных значениях /", называются /"-точечными или алгоритмами с /"-шагами. При трех произвольных сдвигах, решая тригонометрическую систему, состоящую из трех уравнений типа (2.28), имеем.

При б| = 0, 62 = 120°, 5з = 240° выражение (2.30) примет вид.

Такой способ расшифровки использовался в работах [15, 16]. Еще более простая формула получена для б| = я/4, 62 = Зя/4, 5з = 5я/4 [17]:

При четырех фазовых сдвигах 8| = 0, 5₂ = л/2, 83 = л и 5₄ = Зя/2 получается такое же простое выражение [18]:

Эта формула часто используется при компьютерной обработке интерферограмм, так как математические операции, необходимые для ее реализации, очень просты и могут быть реализованы с помощью основных команд процессора.

Помимо приведенных выше существует достаточно много алгоритмов с большим числом фазовых сдвигов. Еще несколько лет назад ограничивающими факторами при использовании таких алгоритмов являлись объем памяти для запоминания промежуточных кадров и время, необходимое для обработки. Лучшими алгоритмами считались те, которые использовали наименьшее число сдвигов и, соответственно, меньшее число кадров для хранения интерферограмм. Наиболее часто применялись грехи четырехточечные алгоритмы. Повышение компьютерной мощности позволило применять алгоритмы с большим числом сдвигов. Обычно такие алгоритмы более устойчивы к ошибкам, возникающим при изменении освещенности вследствие механических вибраций, и погрешностям установки фазового сдвига.

Можно разработать алгоритмы с достаточно большим числом шагов. В качестве примера приведем 15-точечный алгоритм, использующий вещественные числа в качестве коэффициентов [19]:

С помощью интерференционных методов фазовые значения можно вычислить только по модулю 2л. Функция arctg определена в пределах отл/2 до л/2. Можно показать, что знаки числителя и знаменателя в каждом из приведенных выше алгоритмов эквиваленты знакам синуса и косинуса от искомой фазы. Таким образом, анализируя знаки числителя и знаменателя, можно расширить область определения функции от 0 до 2л.

При выборе алгоритма расшифровки необходимо учитывать число регистрируемых интерферограмм, быстродействие и обеспечиваемую этим алгоритмом точность.

Обилие возможных вариантов реализаций алгоритмов расшифровки вызывает определенный интерес к выявлению обобщенной схемы алгоритма, позволяющей с единой позиции оценить достоинства и недостатки того или иного варианта, а также уяснить методику их построения.

Представим выражение (2.41) в векторной форме:

где R = (],., 1)^г; C = (cos8₀,…, cos8″)^r; S = (sin8₀,…, sin8″)^r; размерность векторов определяется числом фазовых сдвигов 8″ .

Несложно показать, что с точностью до постоянного множителя V определяем.

где оператор (а • b) означает скалярное произведение векторов, а.

S¹ и С¹— векторы, ортогональные векторам S и С. С учетом известного свойства скалярного произведения.

алгоритм расшифровки (2.29) в векторной форме примет следующий вид:

Принимая во внимание (2.33), вычисление выражения (2.34) можно упростить:

так как в этом случае требется вычислить лишь один вектор I¹.

Существует много способов построения ортогональных векторов, например способ Грама — Шмидта. Однако для этой цели удобно использовать матричный оператор проецирования вектора.

J на биортогоналыюе пространство J =M J. Матрица преобразования должна удовлетворять требованиям М? J = О и М • R = 0 .

В случае нечетного количества фазовых сдвигов М — кососимметричная матрица вида.

или.

При четном количестве фазовых сдвигов.

С другой стороны, при числе фазовых сдвигов более трех кроме самостоятельных решений уравнений расшифровки (2.36) и (2.37) можно получить их линейные комбинации из трехкомпонентных подвекторов I:

где  — число возможных вариантов «троек» из п

точек. Например, при и = 4 возможны следующие комбинации подвекторов I:

Поэтому возникает необходимость анализа свойств и выбора наиболее подходящей формулы расшифровки. По мнению авторов, наиболее перспективный подход к данной проблеме предложен в [20]. Он основан на представлении формул расшифровки в виде цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой.

где * означает операцию свертки, а И,(п) и h_R(n) — импульсная характеристика квадратурных составляющих (2.38). Отметим, что в нашем случае в качестве коэффициентов импульсных характеристик выступают компоненты векторов С¹ и S¹ в (2.34) или С и S в (2.35). Критерии выбора фильтра (формулы расшифровки) зависят от требований, предъявляемых к конкретной измерительной схеме. Например, устойчивость к аддитивным шумам средней яркости е (и) можно оценить из анализа следующего выражения:

Вопросам анализа и синтеза цифровых фильтров в зависимости от различных критериев посвящена обширная литература (см., например [21]).