Общие свойства однолистных функций

Пусть w = f (z) — функция, которая выполняет взаимно однозначное и конформное отображение круга | г | < 1 на односвязную область D плоскости w. В этой главе мы будем предполагать, что область L) не содержит бесконечно удалённой точки, т. е. что бесконечно удалённая точка не является внутренней точкой области D. Иными словами, мы будем предполагать функцию / (г) голоморфной в единичном круге г < 1.

Возможно, не уменьшая общности, считать / (0) = 0, потому что в противном случае мы рассматривали бы/(г) — /(0), что геометрически сводится к сдвигу области D. Так как точка z = 0 будет внутренней для круга |г| <. 1, то соответствующая точка w = 0 будет внутренней для области и. Нашу функцию w=fz) можно, очевидно, представить в виде ряда:

и это разложение будет справедливо во всём круге z < 1, потому что в этом круге функция w голоморфна. Так как соответствие между z и w

есть взаимно однозначное, то ^ не равна нулю в круге z < 1. В частности полагая z = 0, мы видим, что коэффициент в₁=в/^г(0) не равен нулю. Таким образом, при изучении можно ограничиться рассмотрением функции.

Результаты, которые мы при этом получим, могут быть обобщены, если рассматривать a_lf (z) вместо /(г), т. е. если подвергнуть область D вращению и подобному изменению.

Итак, мы будем изучать функцию.

голоморфную в круге |г| < 1 однолистную в этом круге, равную нулю при z = 0 и имеющую в своём разложении коэффициент при г, равный единице.

Ради краткости функцию, удовлетворяющую условиям: /(0) = О,/'(0) = 1, будем называть нормированной. Замечательным для такой функции является то обстоятельство, что возможно найти абсолютно общие границы, между которыми заключён её модуль. Возможно также найти границы для |/' (г) | й |arg/'(.г)|. Мы получим эти результаты после того, как определим верхние границы для модулей коэффициентов.