Правила дифференцирования. 
Математика

Перечислим правила дифференцирования функций, получаемых в результате алгебраических операций над функциями, производные которых известны.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференцирования:

• 2. Производная суммы (разности) функций и (х) u v (x) равна сумме (разности) производных функций, образующих сумму (разность):
  • (u±v)' = u'±v.

3. Производная произведения двух функций находится по формуле:

4. Производная частного двух функций вычисляется по формуле:

Покажем, например, как выводится третья формула.

Последнее произведение пределов равно нулю, так как lim Av = 0 в силу непрерывности функции v (x).

Av->0.

Приведем примеры применения правил дифференцирования.

Для нахождения производной степенно-показательной функции у = х^х предварительно ее логарифмируют, а затем применяют правило дифференцирования сложной функции:

Подведем предварительные итоги. Овладев техникой дифференцирования, можно без особых усилий находить производные самых разнообразных функций. Напротив, требуются усилия, чтобы придумать функцию, которую мы не смогли бы продифференцировать. Тем не менее такие функции встречаются. Приведем пример непрерывной функции, для которой при одном из значений аргумента производная не существует.

Пример 7.2.

Рассмотрим функцию модуль х (рис. 7.2):

Рис. 7.2.

В каждом из интервалов производная существует: При л: = 0 имеем:

Поскольку результат зависит от знака Ас, то при х = О производная данной функции не существует. Геометрически это иллюстрируется тем, что в (угловой) точке х = О,у = 0 график у=х не имеет касательной.