Свойства корреляционной функции

Свойство 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симметрии):

Доказательство. По определению корреляционной функции

Правые части этих равенств равны (математическое ожидание произведения не зависит от порядка сомножителей), следовательно, равны и левые части. Итак,.

Замечание 1. Прибавление к случайной функции X (t) неслучайного слагаемого ф{?) не изменяет ее центрированной функции: если

то.

Действительно, математическое ожидание функции Y (t) Следовательно, Итак,

Свойство 2. Прибавление к случайной функции X (t) неслучайного слагаемого ф (?) не изменяет ее корреляционной функции: если

то .

Доказательство. В силу замечания 1 Отсюда У (^) = X (t_{) и Y (t₂) = X (t₂). Следовательно,.

Итак,.

Замечание 2. При умножении случайной функции Х (1) на неслучайный множитель (р (?) ее центрированная функция умножается на этот же множитель: если.

то.

Действительно, математическое ожидание функции Y (t) Следовательно,

Итак,.

Свойство 3. При умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель (p (f) ее корреляционная функция умножается на произведение ф (/:_|)(р (С): если

то.

Доказательство. В силу замечания 2 Следовательно,

Вынесем неслучайные множители за знак математического ожидания:

Итак,.

Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений:

Доказательство. Известно, что для модуля корреляционного момента двух случайных величин справедливо неравенство (см. гл. 14, § 17, теорема 2).

При фиксированных значениях аргументов t, и t₂ значение корреляционной функции равно корреляционному моменту соответствующих сечений — случайных величин X (t_t) и X (t₂). Поэтому неравенство (*) можно записать так: