Исследование трехфазной цепи

Контрольная работа

Исследование трехфазной цепи

Целью данной контрольной работы является изучение основных понятий, определений и величин, характеризующих трехфазные электрические цепи. В ходе работы также предстоит изучить основные способы соединения трехфазных цепей, установить экспериментально взаимосвязь между линейными и фазными напряжениями и токами соединения трехфазных приемников звездой и треугольником, усвоить особенности применения законов Кирхгофа для расчета цепей трехфазного синусоидального тока, а также научиться определять мощности и коэффициент мощности;

Обычно применяют симметричные многофазные системы, у которых амплитудные значения э.д.с. одинаковы, а фазы сдвинуты друг относительно друга на один и тот же угол, где m — число фаз. Наиболее часто в электротехнике используют двух-, трехи шестифазные цепи

Трехфазные цепи — это совокупность трех однофазных цепей, в которых действуют синусоидальные э.д.с. одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе на один и тот же угол. Передача электроэнергии на дальние расстояния по трехфазным цепям более выгодна чем передача энергии по однофазным цепям, кроме того трехфазные синхронные генераторы и двигатели, трехфазные асинхронные двигатели и трансформаторы, более просты в производстве, экономичны и надежны в эксплуатации. В трехфазных системах достаточно просто получить вращающееся магнитное поле, воздействие которого на проводники с током положено в основу принципа работы асинхронных и синхронных электродвигателей.

Источником электрической энергии в трехфазной цепи является синхронный генератор, в трех обмотках которого, конструктивно сдвинутых друг относительно друга на угол и называемых фазами, индуцируются три э.д.с., фазы которых, в свою очередь также сдвинуты друг относительно друга на угол .

Трехфазная система э.д.с., индуцируемых в статоре синхронного генератора, обычно представляет собой симметричную систему. На электрических схемах обмотки статора трехфазного генератора изображают, как показано на рисунке 1, а. За условное положительное направление э.д.с. в каждой фазе генератора принимают направление от конца к началу обмотки.

Если фазу э.д.с. А принять за исходную, равную нулю, то мгновенные значения э.д.с. трехфазного генератора (рис. 1.б) можно выразить аналитически:

4.1

Для симметричной трехфазной системы э.д.с. согласно 4.1 справедливо равенство

Учитывая, что вектор э.д.с. фазы, А совмещен с вещественной осью комплексной плоскости (рис. 2 а, б), для комплексных значений э.д.с. систему 4.1 можно записать следующим образом.:

4.3

Из векторных диаграмм (рис.2), а также из уравнений 4.3 следует, что

.

Таким образом, сумма амплитуд или действующих значений э.д.с. симметричной трехфазной системы равна нулю.

На рисунке 1, б показано изменение мгновенных значений э.д.с. трехфазного генератора, а на рисунке 2 а, б даны его векторные диаграммы для прямой и обратной последовательности чередования фаз. Последовательность, с которой э.д.с. в фазных обмотках генератора принимает одинаковые значения, называют последовательностью фаз. Если ротор генератора вращать в прямом направлении, получается последовательность чередования фаз ABC, т. е. э.д.с. фазы В отстает по фазе от э.д.с. фазы, А и э.д.с. фазы С отстает по фазе от э.д.с. фазы В. Такую систему э.д.с. называют системой прямой последовательности. Если изменить направление вращения ротора генератора на противоположное, то последовательность чередования фаз будет обратной. У генераторов роторы всегда вращаются в одном направлении, поэтому последовательность чередования фаз никогда не изменяется.

От последовательности чередования фаз зависит направление вращения трехфазных синхронных и асинхронных двигателей. Достаточно поменять местами две любые фазы двигателя, чтобы изменить направление его вращения на противоположное.

Последовательность фаз необходимо учитывать при параллельном включении трехфазных генераторов.

1.2 Способы соединения фаз источника трехфазного тока и соотношения С целью уменьшения числа соединительных проводов в трех фазной системе используют связанные цепи, в которых фазы источника или приемника связаны между собой звездой или треугольником.

При соединении фаз источника звездой (рис. 3, а) концы фаз X, Y, Z объединены в общую точку N, называемую нейтральной, а начала фаз A, B, C с помощью проводов соединены с приемником тремя проводами, которые называются линейными. Такую трехфазную систему называют трехпроводной.

При соединении фаз источника треугольником (рис. 3,б) необходимо подключить конец каждой фазы к началу следующей, т. е. конец Х первой фазы — с началом В второй фазы, конец Y второй фазы — с началом С третьей фазы и конец третьей фазы — с началом, А первой фазы. Начала фаз A, B, C с помощью проводов соединяют с приемниками. Следует отметить, что при соединении треугольником фазы источника создают замкнутый контур и на первый взгляд, может показаться, что в контуре при отключенных приемниках может возникнуть ток короткого замыкания, однако этого не происходит, так как в симметричной трехфазной системе сумма мгновенных значений э.д.с. Следовательно, при холостом ходе источника ток в его фазах не возникает.

Соединение отдельных фаз трехфазных приемников звездой или треугольником осуществляется таким же образом, как и соединение звездой или треугольником источников. При соединении источника, например, звездой приемники могут быть соединены различным способом, т. е. одни — звездой другие — треугольником и т. д. Если нагрузка несимметричная, т. е. сопротивления фаз приемника не равны между собой, то при соединении источника и приемников звездой необходимо применять помимо трёх линейных проводов четвертый, нейтральный провод, соединяющий нейтральные точки N и N? источника и приемника.

Напряжение между началом и концом фазы источника называют фазным. Например, при соединении звездой фазными являются напряжения между началами фаз и нейтральной точкой источника N (рис. 3, а) .

Фазными токами называются токи, проходящие через каждую фазу источника или приемника. Напряжения между началами A, B, C фаз источника или между линейными проводами называются линейными напряжениями, а токи в линейных проводах — линейными токами.

При анализе трехфазных цепей важно знать условные положительные направления э.д.с., напряжений и токов, ибо от их выбора зависят знаки в уравнениях, составляемых по законам Кирхгофа, а также направления векторов на векторных диаграммах. За условное положительное направление э.д.с. в каждой фазе источника принимают направление от её конца к началу, а за условное положительное направление напряжения в каждой фазе источника принимают направление от начала фазы к её концу. Направление же фазных токов совпадает с направлением э.д.с. в каждой фазе источника (рис 3, а, б).

За условные положительные направления линейных напряжений принимают направление от начала одной фазы к началу другой, в частности напряжение направлено от, А к В. линейные токи, проходящие через линейные провода, всегда направлены от источника к приемнику. Фазные напряжения и токи приемников направлены в одну и туже сторону.

Согласно второму закону Кирхгофа, э.д.с. фазы AX при соединении звездой

откуда, где — внутреннее сопротивление фазы, А источника. Аналогично находят напряжения в двух других фазах:

; .

На практике приемники подключают не к отдельному источнику, а к сети, питающейся от системы параллельно работающих генераторов. Поэтому обычно пренебрегают внутренним сопротивлением фаз источников и считают фазные э.д.с. равными фазным напряжениям.

Чтобы найти связь между фазными и линейными напряжениями, при соединении источников э.д.с. звездой согласно с выбранными условными положительными направлениями фазных и линейных напряжений по второму закону Кирхгофа можно записать следующие соотношения:

;; , откуда

;;. 4.5

Для симметричных источников

; .

Если принять потенциал нейтральной точки источника, то потенциалы начала его фаз будут равны фазным напряжениям:

;; ,

а линейные напряжения

4.6

По соотношениям 4.5, зная значения фазных напряжений, можно построить векторные диаграммы фазных и линейных напряжений источника при соединении его фаз звездой (рис. 4,а, б), которые будут представлять собой симметричную систему векторов, так как система фазных и линейных напряжений трехфазных генераторов, питающих электрическую сеть, вследствие их конструктивных особенностей симметрична.

Векторная диаграмма представленная на рисунке 4, а соответствует симметричной системе фазных и линейных напряжений при соединении источников звездой. В этом случае на диаграмме как фазные, так и линейные напряжения соответственно равны и сдвинуты соответственно друг относительно друга на угол. Кроме того, из векторной диаграммы видно, что векторы линейных напряжений опережают по фазе соответственно векторы фазных напряжений на угол .

Векторную диаграмму фазных и линейных напряжений источника при соединении звездой можно представить и так, как показано на рисунке 4, б, где линейные напряжения изображены векторами, соединяющие соответствующие векторы фазных напряжений.

Из векторных диаграмм можно получить соотношение, связывающее между собой фазные и линейные напряжения симметричного источника при соединении звездой. Так для фазы, А. В общем случае при соединении фаз симметричного источника звездой связь между линейными и фазными напряжениями описывается выражением

.

Для приемников низкого напряжения номинальными являются и .

Следует отметить, что в практике эксплуатации синхронных генераторов фазы их трехфазных обмоток соединяют только звездой, так как при отклонении э.д.с. источника от синусоидальной формы из-за наличия высших гармоник сумма мгновенных значений э.д.с. не будет равна нулю. При соединении фаз синхронного генератора треугольником при холостом ходе в его обмотках будут возникать токи, которые будут вызывать их нагревание и снижение к.п.д. генератора.

Из рисунка 3, б видно, что при соединении фаз источника треугольником линейные напряжения равны фазным .

Итак, независимо от способа соединения фаз источника линейные напряжения между линейными проводами трехфазной цепи одинаковы и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол, вследствие чего сумма их мгновенных значений или векторов всегда равна нулю. Однако значение линейных напряжений при соединении фаз источника треугольником будут в раз меньше, чем значения линейных напряжений при соединении фаз того же источника звездой.

Трёхфазные цепи при соединении приемников звездой

Соединение звездой при симметричной нагрузке. При соединении приёмников звездой концы фаз приемника соединены в общий узел N?. При этом концы всех фаз генератора соединены в общий узел N, а начала фаз — с нагрузкой — звездой сопротивлений.

Если узлы N и N? соединить проводом, называемым нейтральным, с сопротивлением ZN, то получим четырехпроводную цепь (рис 4.7.а). сопротивления проводов, связывающих источник с нагрузкой, можно учесть в сопротивлениях нагрузки .

Так как при соединении звездой фазы генератора соединены последовательно с фазами нагрузки, линейные токи одновременно являются и фазными токами как в фазах генератора, так и фазах нагрузки: .

За условные положительные направления линейных токов принимают направления от источника к нагрузке, а за положительное направление тока в нейтральном проводе — от нагрузки к источнику.

Согласно первому закону Кирхгофа, ток в нейтральном проводе

.

При симметричной нагрузке и, поэтому токи в фазах приемника равны по значению и сдвинуты по фазе на один и тот же угол относительно соответствующих напряжений, т. е.. векторная диаграмма напряжений и токов для симметричной нагрузки представлена на рис. 4.7.б. Из диаграммы видно, что ток в нейтральном проводе равен нулю, так как. Таким образом, если нагрузка равномерная то необходимость в нейтральном проводе отпадает. Трехфазная цепь без нейтрального провода является трехпроводной.

Рассмотрим четырехпроводную цепь более подробно. Найдем для этой цепи напряжение между нейтральными точками N и N? или смещение нейтрали по методу двух узлов:

4.10

где — комплексы проводимостей фаз приемника; - комплекс проводимости нейтрального провода. Так как при симметричной нагрузке, то 4.10 можно переписать в виде

. 4.11

При симметричной системе напряжений имеем, а значит, согласно 4.11,. Так как ток в нейтральном проводе, то при симметричной нагрузке .

Согласно второму закону Кирхгофа, для контуров (рис. 4.7.а) находим

. 4.12

Так как, при симметричной нагрузке, то из 4.12 следует, что

Итак, зная фазные напряжения и сопротивления нагрузки, находим токи в каждой фазе приемника:

4.13

Так как при симметричной нагрузке токи в фазах приемника равны, то достаточно определить ток только в одной из фаз трех фазной цепи.

Соединение звездой при несимметричной нагрузке. При несимметричной нагрузке сопротивления приемника не одинаковы (). Для несимметричных нагрузок применяют четырехпроходные цепи, так как между точками N и N? появляется напряжение и напряжения на фазах нагрузки различны. При этом нарушается соотношение между фазными и линейными напряжениями, причем на одних фазах нагрузки напряжение становится большим, а на других — меньшим чем .

Наличие нейтрального провода в цепи с несимметричной нагрузкой позволяет выравнивать напряжение на фазах приемника и поддерживать их неизменными, равным фазным напряжениям источника, т. е. нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника. Иначе говоря, при наличии нейтрального провода, когда, даже при несимметричной нагрузке фазные напряжения приемника равны друг другу и соблюдается соотношение между фазными и линейными напряжениями .

Если нагрузка несимметрична и нейтральный провод имеет конечное сопротивление, то напряжение между нейтральными точками N и N? определяется по формуле 4.10, а напряжения на фазах нагрузки — по формулам 4.12. тогда токи в схеме рис. 4.7.а

Если напряжения источника образуют симметричную систему, то при отсутствии нейтрального провода и при напряжения на фазе нагрузки несимметричны, что видно из векторной диаграммы, приведенной на рис. 4.8. Особенностью этой диаграммы является то, что каждой точке электрической цепи A, B, C, N, N? соответствует определенная точка на диаграмме.

При этом расположение этих точек на диаграмме должно быть таким, чтобы отрезок, соединяющий любые точки на диаграмме, по длине и фазе определял напряжение между соответствующими точками цепи.

Напряжения на фазах нагрузки тем больше отличаются друг от другу, чем больше напряжение. Из выражения 1.10 и из рис. 4.8 видно, что напряжение между нейтральными точками будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе, при этом с изменением будет изменяться напряжение всех фаз приемника.

Чтобы напряжения на фазах нагрузки были одинаковыми, необходимо иметь, что может быть получено двумя способами. Во первых, выравниванием нагрузки в фазах приемника, когда, а значит, согласно 4.10,

так как .

Во вторых, если имеется нейтральный провод с сопротивлением, то напряжение согласно 4.10, также принимает нулевое значение независимо от нагрузки фаз. Для этого случая построена векторная диаграмма рис. 4.9. При обрыве нейтрального провода и несимметричной нагрузке напряжение станет максимальным. В фазах нагрузки могут возникнуть перенапряжения, поэтому в нейтральный провод плавкий предохранитель не ставят.

Приемники электрической энергии можно подразделить на трехфазные и однофазные. К числу трехфазных относятся трехфазные электрические двигатели, имеющие симметричную обмотку и обеспечивающие равномерную нагрузку фаз. Такие электродвигатели включают в трехфазную цепь звездой без нейтрального провода.

Однофазные приемники, к которым относятся электрические лампы, нагревательные приборы и другие приемники, всегда подключают к четырехпроводной цепи. Эти приемники подключаются на фазное напряжение, которое в раз меньше линейного напряжения сети.

Трёхфазные цепи при соединении приемников треугольником

Соединение треугольником при симметричной нагрузке. Если конец каждой фазы трехфазного приемника соединить с началом следующей фазы, то образуется соединение треугольником, вершины которого подключают к линейным проводам трехпроводной цепи (рис. 4.10). если учесть сопротивление линейных проводов, то потенциалы вершин этого треугольника будут отличаться от потенциалов зажимов источника, поэтому зажимы трехфазного приемника обозначены a, b, c. Из схемы рис. 4.10 видно, что каждая фаза приемника непосредственно подключена на линейное напряжение

4.14

Однако, при соединении треугольником, в отличие от соединения звездой фазные и линейные токи не равны между собой. У приемников условно принятые положительные направления линейных напряжений совпадают с условными положительными направлениями фазных токов. Применяя закон Кирхгофа к узловым точкам a, b, c определяем линейные токи:

. 4.15

где — линейные токи; - фазные токи.

Из 4.15 следует, что значения линейных токов равны геометрической разности векторов соответствующих фазных токов.

Зная сопротивление фаз приемника, можно определить фазные токи по формулам:

4.16

Из уравнения 4.15 следует что геометрическая сумма векторов линейных токов в трех проводной цепи равна нулю:

.

Так как напряжения, то при симметричной нагрузке, т. е. когда комплексы полных сопротивлений фаз, также равны между собой фазные токи и углы сдвига их фаз по отношению к соответствующим фазным напряжениям: .

На рис 4.11 изображена векторная диаграмма токов и напряжений при симметричной нагрузке, соединенной треугольником. Из векторной диаграммы видно, что фазные токи сдвинуты относительно друг друга на угол и что линейные токи отстают от соответствующих фазных токов на угол. Находим соотношение между линейным и фазным токами:. Такое же соотношение будет между другими линейными и фазными токами. При симметричной нагрузке линейные токи в раз больше фазных: .

Если нагрузка симметрична, то обычно расчет проводят по одной фазе:

Соединение треугольником при несимметричной нагрузке

Несимметричной нагрузку в общем случае считают, когда сопротивление фаз. Однако нагрузка несимметрична и в том случае, когда сопротивление хотя бы одной из фаз не равно сопротивлениям других фаз. При несимметричной нагрузке фазные токи, углы сдвига фаз между фазными токами и напряжениями, а также линейные токи различные. При этом фазные токи определяют, как и при симметричной нагрузке, по формулам 4.16, а линейные токи по формулам 4.15.

Линейные токи можно определить и графическим способом, построив векторную диаграмму напряжений и токов рис. 4.12. Построение векторов линейных токов на диаграмме производится в соответствии с выражениями 4.15.

Необходимо отметить, что, согласно 4.15, геометрическая сумма векторов линейных токов в трехфазной цепи при несимметричной нагрузке, соединенных треугольником, так же как и при симметричной нагрузке, равна нулю.

Если пренебречь сопротивлением линейных проводов, то напряжения фаз приемника будут равны напряжениям источника. В этом случае фазы приемника независимы друг от друга, т. е. изменение сопротивления в какой-либо одной фазе приемника вызывает изменение тока этой фазы и токов в двух линейных проводах, соединенных с этой фазой, но никак не отражается на токах других фаз. Если же сопротивления линейных проводов не равны нулю, то из-за падения напряжения в них при соединении треугольником не обеспечивается независимость фаз. Например, изменение сопротивления фазы ab вызовет изменение фазного тока, а следовательно и линейных токов. При этом происходит падение напряжения в линейных проводах A и B, что при неизменных линейных напряжениях на зажимах генератора вызывает изменение напряжений на всех трех фазах приемника, так как потенциалы узлов a и b изменяются, вследствие чего изменяются также токи и в тех фазах, сопротивление которых оставалось неизменным. Следует отметить, что при расчетах трехфазных цепей считают, что генераторы имеют симметричную систему напряжений.

Несимметрия нагрузки практически не влияет на систему напряжений фаз генератора в том случае, если мощность нагрузки очень мала по сравнению с мощностью генераторов (или сети электроснабжения), т. е. тогда, когда рассматривается система с источником бесконечно большой мощности.

Мощность трехфазных цепей

Трехфазную цепь можно рассматривать как цепь синусоидального тока с тремя источниками энергии, поэтому комплекс полной мощности трехфазной цепи

. 4.19

Активная мощность трехфазной цепи

4.20

Реактивная мощность трехфазной цепи

4.21

по формулам 4.20 и 4.21 можно подсчитать мощность в трехфазной цепи при несимметричной нагрузке, соединенной звездой.

Активная и реактивная мощности при симметричной нагрузке:

Полная мощность при симметричной нагрузке:

.

Обычно в качестве паспортных данных для трехфазных приемников приняты линейные напряжения и токи. Поэтому мощности трехфазных приемников целесообразно выражать через линейные напряжения и токи. Обычно при таком условии индекс «л» у линейного напряжения и тока не указывают.

Так как при соединении симметричной нагрузки треугольником и, а при соединении симметричной нагрузки звездой и, то независимо от схемы соединения фаз приемника произведение оказывается одинаковым. Таким образом независимо от схемы соединения симметричной нагрузки имеет место следующие выражения для мощностей:

.

Индекс «ф» у угла сдвига фаз ц между фазным напряжением и током также опускают.

Мощность несимметричной трехфазной цепи

Пользуясь комплексной формой записи мощности, можно написать общее выражение для мощности трехфазной цепи:

4.22

Действительная часть этого выражения представляет собой активную мощность:

.

Суммарная активная мощность, потребляемая несимметричной трехфазной цепью, может быть в соответствии с этим измерена при помощи трех ваттметров, включенных на подведенные к данной цепи фазные напряжения относительно нейтрали и одноименные с ними токи. Активная мощность равна сумме показаний трех ваттметров. Такой метод измерения применяется при наличии нейтрального провода или искусственно созданной нейтральной точки.

В случае отсутствия нейтрального провода измерение может быть произведено с помощью двух ваттметров. В этом случае выражение 4.22 преобразуется следующим образом: исключая ток из условия, получаем:

или

.

В соответствии с 4.23 при измерении активной мощности двумя ваттметрами к одному из них подводятся напряжения и ток, а ко второму напряжение и ток. Показания ваттметров складываются алгебраически.

Следует иметь в виду, что если стрелка одного из ваттметров отклоняется по шкале в обратную сторону, то, изменив направление напряжения или тока, подводимого к данному ваттметру, записывают полученное показание со знаком минус. При симметричном режиме работы трехфазной цепи такое положение имеет место при, что видно из векторной диаграммы (рис. 12.18.б).

При симметричном режиме показания двух ваттметров в схеме рис. 12.18.а будут следующие:

Сумма и разность показаний ваттметров соответственно равны:

Следовательно, при симметричном режиме работы трехфазной цепи тангенс угла сдвига фаз может быть вычислен по формуле:

.

Список использованных источников

1. Синдеев Ю. Г. Электротехника с основами электроники: Учебное пособие / Синдеев Ю. Г. — М., 2005 — 368 с.

2. Галицкая Л. Н. Теоретические основы электротехники / Галицкая Л. Н. — Мн., 1997.

3. Иванов И. И Электротехника. Основные положения, примеры и задачи / Иванов И. И., Лукин А. Ф. — М., 2002 — 192 с.

4. Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники / Евдокимов Ф. Е. М.: «Высшая школа» — 2002 г.

5. Попов В. С. Теоретическая электротехника / Попов В. С. — М., 1990.