Корректирующие коды. 
Линейные групповые коды. 
Код Хэмминга

Вариант 24

1а

В дизъюнктивной нормальной форме:

1б. Система множеств {x₁, x₂, …, x_n} наз. разбиением множества А, если она удовлетворяет след. условиям:

1) Любое множество X{x₁, x₂, …, x_n} явл. помножеством мн-ва А.

2) Любые два мн-ва X_i, X_j{x₁, x₂, …, x_n}явл. непересекающимися.

3) Объединение всех мн-в, входящих в разбиение, дает мн-во А.

Задано мн-во ?? = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:

а) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7}} - эта совокупность элементов составляет разбиение мн-ва А, т.к. удовлетворяет всем условиям, приведенным выше.

б) {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} - эта совокупность элементов не явл. разбиением А, т.к. не удовлетворяет условию непересекаемости.

2а. Ориентированные пути графа (с указанием длины пути):

v₁v₂(1), v₁v₄(1), v₁v₂v₃(2), v₁v₂v₄(2), v₁v₂v₃v₄(3), v₂v₃(1), v₂v₄(1), v₂v₃v₄(2),

v₃v₄(1), v₅v₁(1), v₅v₃(1), v₅v₃v₄(2), v₅v₂(1), v₅ v₁v₂(2), v₅v1v4(2), v₅

v₁v₂v₃(3), v₅ v₁v₂v₄(3), v₅ v₁v₂v₃v₄(4), v₅ v₂v₃(2), v₅ v₂v₄(2), v₅v₂v₃v₄(3).

Для заданного графа невозможно построить цикл

2б Идея алгоритма Уоршелла состоит в расширении множества промежуточных вершин по следующему правилу: на каждом шаге в рассмотрение добавляется одна новая вершина, после чего достижимости вершин пересчитываются «через нее». Если w — промежуточная вершина, то достижимость вершины v из вершины u через w пересчитывается по правилу: D[u;v] = D[u;v] ИЛИ (D[u;w] И D[w;v]). Таким образом, получаем матрицу достижимости:

Пути ориентированного графа:

v₁v₂v₃v₁, v₁v₂, v₁v₂v₃, v₁v₂v₃v₄, v₂v₃v₁, v₂v₃v₁v₂, v₂v₃, v₂v₃v₄, v₃v₁, v₃v₁v₂,

v₃v₁v₂v₃, v₃v₄, v₅v₁, v₅v₁v₂, v₅v₃, v₅v₃v₄.

?? =, ?? =

U =? =

?? =? =

= =

???(4) = GF (2²)? p = 2, q = 4 (p — хар-ка поля, q — кол-во эл-тов в поле)

2? +

?? + 2? = 3

y = 1, x = 1.

.

б³ = б² + 1.

б⁰ = 1;

б¹ = б;

б² = б²;

б³ = б² + 1;

б⁴ = б³ + б = б² + б + 1;

б⁵ = б³ + б² + б = б + 1;

б⁶ = б² + б;

б⁷ = б³ + б² = 1;

Минимальный многочлен элемента в поля GF (q^m) определяется по формуле:

Найдем l: условие выполняется при l = 3: б⁴⁸ = б⁶.

Найдем минимальный многочлен элемента б⁶:

Проделав преобразования, получим:

M⁶(x) = x³ + x + 1.

6a

Линейный групповой код с повторением с параметрами [??; 1; ??], ?? = 6.

Длина кодового слова n = 6, кол-во информационных символов k = 1, кодовое расстояние d_min = 6, кол-во проверочных символов r = n — k = 5.

Порождающая матрица:

Проверочная матрица:

6б Минимальное расстояние Хэмминга (кодовое расстояние) кода, порождаемого матрицей Адамара

d_min = 2.

7а Таблица смежных классов:

Для кода Адамара: 0 = 1, 1 = -1.

Получено сообщение

т. е.

— это разрешенная кодовая комбинация, т. е. ошибок нет.

Получено сообщение

т. е.

— ошибка произошла в первом разряде, кодовое слово без ошибки: (1 -1 -1 1).

7б

— ошибок нет.

— есть однократная ошибка.

Т.к. кодовое расстояние для данного кода d_min = 2, то по синдрому можно определить только наличие или отсутствие однократной ошибки (t_o + 1? d_min, 2t_и + 1? d_min).

, ,

, ,

, .

8б. Код Хаффмана:

9. Даны последовательности длин L = 4 и M = 3, соответственно. Апериодическая (линейная) взаимная корреляция определяется по формуле:

. В матричном виде:

линейный код информационный сигнал

10. Алгоритм Горнера:

Произвольный полином степени N:

.

Представим полином p (z) в виде

.

Вычисление начнем с произведения, затем суммы, далее произведения и т. д. Метод Горнера требует не более N операций умножения и N операций сложения.

Пример: пусть дан полином p (z) степени

N = 4: p (z) = 4z⁴ — 2z³ + 3z² + z — 5.

P (z) = (4z³ — 2z² + 3z + 1) z — 5 = ((4z² — 2z + 3) z + 1) z — 5 = (((4z — 2) z +

+ 3) z + 1) z — 5.

Пусть

z = -1: 4· z = 4· (-1) = -4, -4 — 2 = -6, -6· z = -6· (-1) = 6, 6 + 3 = 9, 9· z = 9· (-1)

= -9, -9 + 1 = -8, -8· z= = -8· (-1) = 8, 8 — 5 = 3.

Мультипликативная сложность = 4, аддитивная = 4. Если бы полином считался прямо, то мультипликативная сложность составила бы 6 операций.

Вычисление полинома в точках с помощью алгоритма «разделяй и властвуй»:

Пусть необходимо вычислить полином в нескольких точках а₁, а₂, …, а_k, k? N. Положим сначала

z = a₁. Тогда можно записать

p (z) = (z — a₁) q (z) + r (z),

где q (z) и r (z) — частное и остаток от деления p (z) на (z — a₁). Этот результат можно распространить на большее число точек. Рассмотрим произведение и запишем p (z) = m (z) q (z) + r (z). В точке z = a_i полином m (z) равен нулю, поэтому p (a_i) = r (a_i). Теперь вычисление полинома p (z) свелось к вычислению полинома r (z), степень которого меньше.

Этот подход можно использовать для построения алгоритма вычисления полинома степени N — 1 в N точках. Положим N = 2^l. Разделим N точек на две половины и образуем полиномы и.

Разделим p (z) на m₁(z) и m₂(z). При этом получим остатки r₁(z) и r₂(z) степени N/2. Теперь осталось вычислить эти остатки в N/2 точках. Для вычисления остатков можно воспользоваться аналогичным приемом, повторяя его многократно.

Пример: Пусть требуется вычислить полином

p (z) = 4z³ — 2z² — 2z + 1 в точках z, равных -2, 2, 1, -1.

Образуем

m₁(z) = (z + 2)(z — 2) = z² — 4, m₂(z) = (z — 1)(z + 1) = z² — 1

После деления p (z) на m₁(z) и m₂(z) получим остатки

r₁(z) = 14z — 7, r₂(z) = 2z — 1

Далее остатки следует поделить на соответствующие образующие части полиномов m₁(z) и m₂(z):

r₁(z)/(z + 2) = -35? p (-2) = -35

Аналогично получим

p (2) = 21, p (-1) = -3, p (1) = 1