Нечеткий вывод. 
Системы поддержки принятия решений часть 1

Нечеткие выводы чаще всего основаны на хорошо нам известном правиле modus ponens. Это правило касается импликации и говорит о том, что если вся импликация истинна и посылка истинна, то и заключение истинно: (р_у р —> q) q. Иногда это правило записывают в виде дроби.

где в числителе — высказывания, истинность которых уже доказана, а в знаменателе — высказывания, истинность которых логически следует из верхних высказываний.

Приведенная схема вывода пригодна и для случая операций с отношениями. Пусть имеются четкие и нечеткие множества: А и Л В и В'. В общем случае они необязательно совпадают, но в той мере, в которой они совпадают, их можно сопоставить и получить нечеткий результат. Если однозначно выполняется правило.

то при нечетком выводе могут возникать различные варианты. Пусть вместо А мы имеем нечеткое множество А'. Заключение в этом случае уже будет нечетким:

Возможен случай, когда нечетко задано заключение:

Нечеткости В' и В" могут быть разными. В общем случае выражение (4.28) приобретает вид.

Нечеткий вывод рассмотрим на примере выражения (4.25). Порядок действий здесь следующий. Вначале определяем нечеткое отношение Л—>?. Для этого у нас есть формула (4.20). Получается матрица R = Ах В. Далее следует свертка S = А' о R по максиминной формуле (4.23).

Пример 4/23

Рассмотрим нечеткий вывод на примере с яблоками. Допустим, имеются следующие условия:

R_{: «Если вес яблок МАЛЫЙ (А), то их потребительская стоимость НИЗКАЯ (НПС)» (В).

М[: «Не совсем маленькие» (А').

Что есть НПС (В')?

Этим условиям соответствует формула где А —> В =

Отношение R_] мы уже имеем. Это матрица. Зададим нечеткое множество М — Не совсем маленькие:

Если расшифровать полученный результат, то получим.

Мы получили, что низкая потребительская стоимость — цена яблок в пределах 10−20 руб.

Пример 4.24.

Пусть имеем посылку: «Скорость автомобиля ОЧЕНЬ БОЛЬШАЯ» (А') и «Если скорость автомобиля БОЛЬШАЯ (А), то уровень шума ВЫСОКИЙ» (В); заключение: «Уровень шума ОЧЕНЬ ВЫСОКИЙ» (В').

Введем ЛП: х — скорость автомобиля; у — уровень шума. Значения Л П: С = {малая, средняя, большая}; Y = {малый, средний, высокий). Для каждого элемента множеств С и Y можно построить соответствующие нечеткие множества, в том числе для множеств: С₃ — большая скорость автомобиля; С₃ — очень большая скорость автомобиля; У₃ — высокий уровень шума; К₃ — очень высокий уровень шума.

С' С, -> Y,

Применяя правило —— -—, получим: У₃ = С₃ о (С₃—> У₃).

П'

Читателю предоставляется возможность довести решение до конца.

Нечеткая импликация

Пусть А и В — нечеткие высказывания и р_л, р# — соответствующие им функции принадлежности. Тогда импликации А —> В будет соответствовать некоторая функция принадлежности р^#. По аналогии с традиционной логикой можно предположить, что А —" В = —A v В. Тогда i_A^_B(x_y у) = = тах{1-ц_л(х), ц_в(г/)}.

Однако это не единственное обобщение оператора импликации^[1]. В табл. 4.4 показаны примеры интерпретации этого понятия. В нечетких системах используются различные интерпретации импликации или, говорят, — различные Т-нормы.

Таблица 4.4

Интерпретации правила импликации

Окончание табл. 4.4

• [1] Колесников А. В. Указ. соч.