Изучение методов нахождения спектральных характеристик

Оглавление Введение Глава 1. Методы вычисления спектральных характеристик

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Метод Леверье — Фаддеева

1.3 Метод А. Н. Крылова

1.4 Метод А. М. Данилевского Глава 2. Сравнительный анализ методов

2.1 Постановка задачи

2.2 Алгоритм метода Леверье — Фаддеева

2.3 Алгоритм метода А.Н. Крылова

2.4 Алгоритм метода А.М. Данилевского

2.5 Сравнительный анализ методов.

Заключение

Список литературы Введение Актуальность темы. В настоящее время большое значение приобретает вопрос о нахождении собственных чисел и собственных векторов в связи с широкой областью использования краевых, начально — краевых и спектральных задач в науке и технике. Это послужило толчком к созданию новых численных методов нахождения собственных характеристик для широкого класса абстрактных операторов.

Цель и задачи работы. Целью работы является изучение методов нахождения спектральных характеристик: У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова, А. М. Данилевского, сравнительный анализ этих методов и их программная реализация.

Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:

1. провести анализ литературных источников по данной теме;

2. изучить методы вычисления собственных значений и собственных векторов: У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова, А. Н. Данилевского;

3. составить алгоритмы численного решения данных методов;

4. программная реализация методов.

Научная новизна. Разработаны программы для вычисления собственных значений и собственных векторов методами У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова и А. М. Данилевского для оператора гамильтониана.

Исторический очерк. Спектральная теория дифференциальных операторов составляет существенный раздел общей спектральной теории операторов и занимает видное место в математических исследованиях XIX и XX столетий и приложениях математики к физическим теориям. Корни спектральной теории дифференциальных операторов уходят в теорию собственных значений и собственных функций краевых задач математической физики, начало которой было положено в ХVШ веке работами Бернулли, Эйлера и Даламбера о колебаниях струны.

Аналитическая теория собственных значений возникла благодаря замеченной аналогии между рассматриваемыми вопросами теории краевых задач математической физики с алгебраической задачей преобразования квадратичной формы к главным осям. Данная аналогия была разобрана на частном примере в 1894 году Пуанкаре.

Новый этап в развитии теории собственных значений связан с именем Гильберта. Его фундаментальные исследования по общей теории линейных интегральных уравнений (1904;1910 гг.) привели к введению одного из основных математических понятий XX века — гильбертова пространства.

В работах Вейля 1908;1910 гг. впервые рассматривается теория разложения по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка для сингулярных случаев. Этими работами Вейля положено начало общей спектральной теории обыкновенных сингулярных дифференциальных операторов.

С 1910 года по 1930 год приобретает большой интерес теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Важной частью этой теории является спектральная теория. Во многих работах была изложена теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, например, в работах Неймана (1929г.), М. Стоуна (1929г.) и в книге (1932г.) Ф. Рисса (1930г.).

В 1957 году И. М. Гельфандом и Л. А. Диким создан метод приближенного вычисления собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля. Идея метода состоит в применении теории регуляризованных следов дифференциальных операторов. Теоретическое обоснование этого метода не дано, а лишь рассматривается пример нахождения первых трех собственных чисел уравнения Матье с хорошей точностью. В дальнейшем С. А. Шкарин в 1995 году в статье доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определенного вида. После опровержения С. А. Шкариным метода Гельфанда-Дикого в исходной интерпретации значительным продвижением в решении задачи нахождения первых собственных чисел оператора стали работы В. А. Садовничего, В. Е. Подольского, в которых был введен класс операторов, с помощью которых была доказана возможность нахождения собственных чисел задачи с заранее заданной погрешностью вычисления. В 1994 году в работе. В. А. Садовничим и В. В. Дубровским впервые были сформулированы идеи нового метода приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов (метода РС), который основывается на теории регуляризованных следов и теории возмущений. В работах В. А. Садовничего, В. В. Дубровского, С. И. Кадченко (1998;2002 г. г.) были получены оценки остаточного члена и вычислены поправки теории возмущений. Причем, рассмотренный метод был применен для разработки модели вычисления первых собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда.

В связи с задачами квантовой механики с 1920 года по 1930 год возникло значительное число работ по спектральной теории дифференциальных операторов. Для математического изложения квантовой механики необходимым было исследование новых разделов спектральной теории линейных операторов, в том числе, построение спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов. С развитием квантовой механики, стала весьма актуальна проблема численного нахождения собственных чисел сингулярных операторов. Аналитически собственные значения энергии вычисляются лишь для некоторых модельных задач. Конечно же, далеко не все задачи решаются точно, поэтому становится необходимым разработка численных методов.

Первыми кто изложил простые методы составления векового уравнения в развитой форме, после чего его решение, т. е. численное вычисление корней, были Лагранж и Лаплас, а затем такой великий астроном как У.Ж. Ж. Леверье и такой великий математик как Якоби. Последний том «Небесной механики» Лапласа вышел в 1825 г., а в 1827 г. Лаплас скончался. Непосредственным его преемником был У.Ж. Ж. Леверье.

С конца 1830-х гг. У.Ж. Ж. Леверье начал серию своих «Астрономических исследований», продолжавшихся по самый день его смерти в течении 40 лет. В этих исследованиях он развивает теорию движения небесных тел и сопоставляет ее с наблюдениями, т. е. развивает численно, присоединив к известным до него семи большим планетам и открытую им вычислениями восьмую — Нептун.

Исследования У.Ж. Ж. Леверье, помимо того что им помещено в других изданиях, занимают семь больших томов in 4° в летописях Парижской обсерватории; как астроном теоретик и вместе с тем вычислитель он считался едва ли имеющим себе равного.

Метод Лапласа видимо не удовлетворял У.Ж. Ж. Леверье, так как в своей статье: «Sur les variations seculaires des elements (les orbites», помещенной в прибавлении к «Connaissance des Temps» за 1843 г., следовательно напечатанной в 1839 или 1840 г., У.Ж. Ж. Леверье излагает свой метод составления векового уравнения. Этот метод включен затем и в его «Recherches Astronomiques» (гл. IX), помещенных в «Annales de l’Observatoire Imperial de Paris» t. II, 1856 r.

Изложение У.Ж. Ж. Леверье занято астрономическими подробностями, относящиеся к разбираемой им задаче небесной механики, поэтому данный метод приведен в упрощенном виде, устранив все астрономическое.

Видоизменение этого метода, предложенное в 1943 г. Фадеевым Д. К., позволило вычислять одновременно еще и присоединенную матрицу. Метод У.Ж. Ж. Леверье, основанный на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения, весьма трудоемок, так как приходится подсчитывать высокие степени исходной матрицы.

В 1931 году акад. А. Н. Крыловым был предложен новый метод решения векового уравнения, требующий значительно меньшего количества вычислений, чем методы, существовавшие ранее; акад. Н. Н. Лузиным и И. Н. Хлодовским были рассмотрены особые случаи, встречающиеся при применении этого метода. Однако эти дополнительные исследования ничего не добавили в области практического применения метода, так как все их выводы предполагают уже известными корни решаемого уравнения.

Главное неудобство векового уравнения для численного решения происходит вследствие того, что члены вида стоят в диагонали определителя. А. Н. Крылов изложил замечательный метод составления векового уравнения непосредственно в виде такого определителя, в котором неизвестная располагается только в одном первом столбце этого определителя, все же остальные элементы известные постоянные. Ввиду того, что уже не является расположенной по диагонали, само развитие такого определителя никаких трудностей не представляет. В этом важном обстоятельстве и состоит преимущество метода акад. А. Н. Крылова.

Метод Крылова используется для нахождения собственных значений и собственных векторов. Для вычисления собственных значений необходимо найти коэффициенты характеристического уравнения, вычисление которых сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

При составлении векового уравнения акад. А. Н. Крылов опирается на свойства дифференциальных уравнений. Вследствие этого сам автор, заканчивая развитие своего метода, указывает на некоторый интерес освобождения изложения этого метода от аппарата дифференциальных уравнений и на возможность получения данной им формы векового уравнения, исходя из обычной диагональной, при помощи чисто алгебраических преобразований.

В конце тридцатых годов этого столетия А. М. Данилевским был предложен метод вычисления собственных значений и собственных векторов. Этот метод является одним из самых экономичных среди многих методов построения собственного многочлена матрицы. В основе метода лежит преобразование векового определителя к нормальному виду Фробениуса.

В методах, прежде всего, необходимо вычислить коэффициенты характеристического полинома. Коэффициенты являются суммами всех миноров определителя матрицы порядка, опирающихся на главную диагональ. Конечно же, для нахождения коэффициентов необходимо произвести очень большое количество операций, но благодаря многим методам, в том числе методам А. М. Данилевского, А. Н. Крылова и У.Ж. Ж. Леверье, можно обойтись без громоздких вычислений.

Краткое содержание дипломной работы. Работа состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы и приложения. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формируется цель и задачи работы, излагается исторический очерк и краткое содержание дипломной работы.

В первой главе даются теоретические сведения о методах вычисления спектральных характеристик, таких как метод У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова и А. М. Данилевского.

Во второй главе приведены алгоритмы вычисления методов У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова и А. М. Данилевского, и проводиться сравнительный анализ данных методов.

Глава 1. Методы вычисления спектральных характеристик

1.1 Основные понятия и определения

Определение 1. Гильбертовым пространством называется множество элементов обладающее следующими свойства:

a) представляет собой линейное пространство, т. е. в определены действия сложения элементов и умножения их на действительные или комплексные числа (в зависимости от этого называется действительным или комплексным пространством);

b) в введено скалярное произведение, т. е. числовая функция от пары аргументов и, удовлетворяющая аксиомам:

— для любого числа ;

— ;

—, где черта обозначает комплексное сопряжение;

— при при ,

c) является полным метрическим пространством относительно расстояния, где для любого элемента его норма определяется из соотношения .

Определение 2. Гильбертово пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество, т. е. такое множество, замыкание которого по метрике совпадает со всем пространством .

Если пространство сепарабельно, то в нем, естественно, существует и счетная полная в система. Справедливо и обратное утверждение: если существует счетная полная в система, то пространство сепарабельно. В этом случае любой вектор можно приблизить линейной комбинацией полной системы, а затем коэффициенты этой линейной комбинации можно приблизить числами с рациональными компонентами, т. е. числами вида:, где рациональные числа.

Функцией от векторного аргумента с областью значений называется закон сопоставления каждому вектору пространства (или некоторого его подмножества) элемента из .

Если областью значений является совокупность чисел, то функция от векторного аргумента называется функционалом, если областью значений является совокупность векторов того же пространства, то функция от векторного аргумента называется преобразованием или оператором.

Оператор называется линейным, если он удовлетворяет следующим условиям линейности.

1. при любом комплексном числе ;

2. .

Рассмотрим представление оператора матрицей. Выберем в пространстве некоторый базис. Оператор соотносит векторам базиса векторы .

Пусть векторы заданы своими координатами в базисе т. е. пусть Рассмотрим матрицу, столбцы которой состоят из координат векторов :

Покажем, что матрица вполне определяет оператор

Действительно, если для оператора известна матрица, то тем самым известны значения оператора на базисных векторах и, в силу линейности оператора, легко определить его значение для любого вектора. Именно, если, то Отсюда легко находятся координаты преобразованного вектора.

Именно, Откуда Или, в матричной записи, где Y и X столбца из координат векторов Y и X.

Обратно, произвольная матрица может быть связана с некоторым оператором.

Установочное однозначное соответствие между операторами и матрицами сохраняется при действиях над операторами. Именно, матрица суммы операторов равна сумме матриц слагаемых, матрица произведения операторов равна произведению матриц, соответствующих сомножителям.

Совокупность операторов мерного пространства изоморфна совокупности матриц порядка, и такой изоморфизм осуществляется посредством сопоставления каждому оператору соответствующей ему матрицы в некотором фиксированном базисе пространства.

Определение 3. Собственным значением (или собственным числом) оператора называется такое число, что для некоторого ненулевого вектора имеет место равенство

(1.1)

Определение 4. Любой ненулевой вектор, удовлетворяющий равенству (1.1), называется собственным вектором оператора, соответствующим собственному значению .

Определение 5. Спектром оператора называют совокупность всех собственных значений.

Пусть оператор в каком-либо базисе представляется матрицей пусть координаты собственного вектора в этом базисе

Тогда координаты вектора будут и поэтому для определения координат и собственного значения мы получим систему уравнений:

или Эта система однородных относительно уравнений будет иметь ненулевое решение в том и только в том случае, если т. е. если будет корнем характеристического полинома матрицы. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема 1. Собственные значения оператора совпадают с корнями характеристического полинома матрицы, представляющей оператор.

Теорема 2. Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно — независимы.

Определение 6. Пусть оператор, определенный в унитарном пространстве. Оператор называется сопряженным с, если для любых векторов выполняется равенство Выясним некоторые взаимоотношения между собственными значениями и собственными векторами взаимно сопряженных операторов и .

Теорема 3. Если собственный вектор оператора соответствующий собственному значению, и собственный вектор оператора, соответствующий собственному, то при .

Прежде всего отметим, что характеристические полиномы этих операторов имеют комплексно — сопряженные коэффициенты и потому собственные значения оператора будут комплексно сопряжены с собственными значениями оператора. Это следует из того, что матрица оператора в некотором ортонормированном базисе сопряжены с матрицей оператора в том же базисе. В случае, если матрица оператора вещественна в некотором ортонормированном базисе, то характеристические полиномы и собственные значения операторов и совпадают.

Взаимосвязи между собственными векторами характеризуются следующей теоремой.

Определение 7. Если линейный ограниченный оператор совпадает со своим сопряженным, то он называется симметрическим (сомосопряженным).

Задача определения собственных значений и векторов матриц имеет большое значение в решении широкого круга вопросов вычислительной математики, она находит многочисленные приложения в дифференциальных уравнениях, механике, физике, радиофизике и других областях.

Методы вычисления собственных значений и векторов делятся на две большие группы: прямые и итерационные. В прямых методах обычно строится правило вычисления коэффициентов векового (характеристического) уравнения. «Вековым уравнением» называется уравнение вида:

(1.2)

Уравнение (1.1.2) может быть записано в виде алгебраического уравнения степени относительно

(1.3)

Вид (1.2) векового уравнения удобен для теоретического исследования его общих свойств, но не для практического вычисления его корней.

Такое название уравнения было дано, потому что в небесной механике такое уравнение служит для определения «вековых» неравенств в движении планет. Эти неравенства так названы вследствие того, что периоды их весьма велики, а именно от 24 000 до 2 000 000 лет.

Многие прямые методы (в частности, методы Крылова, Данилевского и т. д.) по сути являются методами решения системы специальным образом. Устойчивость решения системы сильно зависит от распределения собственных значений матрицы и выбора начального вектора. Также, может возникнуть проблема в решении, если матрица имеет произвольный вид. Это объясняется тем, что действительная область применения прямых методов не столь широка, как это допускают теоретические предпосылки.

В итерационных методах коэффициенты характеристического многочлена непосредственно не вычисляются, а строятся некоторые итерационные последовательности, позволяющие найти одно или несколько, а иногда и все собственные значения рассматриваемой матрицы. Итерационные методы более трудоемки, чем прямые, однако они менее чувствительны к ошибкам округлений и поэтому надежнее прямых методов.

При решении многих научных и технических задач бывает необходимо находить все собственные значения матрицы. В этом случае задача называется полной проблемой собственных значений. Но существует ряд задач, где полные сведения не являются необходимыми и можно ограничиться меньшим объемом значений: например, достаточно указать границы, в которых лежат все собственные значения, как это иногда бывает при изучении устойчивости или неустойчивости процессов, или найти собственное значение, близкое к известному числу, как это имеет место в задачах изучения явления резонанса. Все такого рода задачи называются частными проблемами собственных значений.

Проблема собственных значений во многих случаях может быть сильно чувствительной к ошибкам округлений и особо следует учитывать при выборе соответствующего численного метода.

Определение 8. Спектральным следом называется сумма собственных значений линейного оператора.

Определение 9. Матричным следом называется сумма ее диагональных элементов. След матрицы обозначается символом .

Теорема 4. Матричный след линейного оператора в мерном линейном пространстве равен его спектральному следу.

Определение 10. Матрицы и называются подобными, если существует такая неособенная матрица, что или

Теорема Кэли — Гамильтона в матричном исчислении является одной из важнейших.

Теорема Кэли — Гамильтона. Каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, которое следует понимать в матричном смысле.

Определение 11. Вектор называется нормированным, если сумма квадратов его элементов (компонент, координат) равна 1.

В большинстве случаев вычисления производятся с приближенными числами и притом приближенно. Поэтому даже для точного метода решения задачи на каждом этапе вычислений возникают погрешности действий и погрешности округлений. Если сам метод — приближенный, то к этим двум погрешностям присоединяется погрешность метода. При неблагоприятных обстоятельствах суммарная погрешность может быть столь велика, что полученный результат будет иметь лишь иллюзорное значение.

Определение 12. Абсолютной погрешностью приближенного числа называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом и числом, т. е.

.

Определение 13. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа т. е.

1.2 Метод Леверье - Фаддеева

Вековое уравнение (1.2) будет степени относительно, степень получится от произведения диагональных членов:

(2.1)

так как это единственный член, который в определителе содержит все биномы. Более того, от этого же произведения происходит и член содержащий в определителе. Допустим, что сперва получили определитель по элементам первого столбца, то сразу видно, что член получится только из того же произведения (2.1), так как все остальные миноры содержат не более двучленных множителей, что очевидно, вычеркнув в определителе первый столбец и любую строку, начиная со второй.

Умножив (2.1) на получим:

(2.2)

Отсюда видно, что сумма корней уравнения (1.1.1) будет:

(2.3)

Метод У.Ж. Ж. Леверье основан на использовании формул Ньютона

(2.4)

связывающих коэффициенты собственного многочлена

(2.5)

матрицы с симметрическими функциями

его корней, т. е. собственных значений этой матрицы.

Если значения известны, то формулы Ньютона (2.4) позволяют последовательно вычислять коэффициенты собственного многочлена матрицы.

(2.6)

Суммы вычисляются следующим образом:

Из этого следует, что для нахождения собственного многочлена матрицы сначала нужно вычислить степени данной матрицы, найти следы этих матриц, затем по формулам (2.6) вычислить коэффициенты. Таким образом, метод Ж.Ж. У.Ж. Ж. Леверье считается очень трудоемким из-за многократного умножения матриц.

Д.К. Фадеевым было предложено видоизменение метода У.Ж. Ж. Леверье. Благодаря этому появилась возможность получения собственных векторов исходной матрицы. В методе Фаддеева характерной чертой является вычисление следов матриц. Попутно этим методом вычисляется обратная матрица, если существует, и, когда все собственные числа различны, простым дополнительным алгоритмом вычисляются собственные столбцы.

Предлагается находить другую матричную последовательность, построенную следующим образом:

(2.7)

При этом будут справедливы следующие утверждения:

a)

b) матрица есть нулевая матрица,

c) если матрица неособенная, то .

Для того чтобы найти собственные вектора матрицы используются промежуточные результаты вычислений.

Рассмотрим матрицу:

где матрицы, вычисленные в процессе нахождения коэффициентов характеристического полинома, а есть k-e собственное число матрицы .

Можно доказать, в предложении, что все различны, что матрица ненулевая[19].

Покажем, что каждый столбец матрицы состоит из компонент собственного вектора, принадлежащего собственному числу .

Действительно, Отсюда следует, что где любой столбец построенной матрицы, т. е. что Это равенство показывает, что есть собственный вектор.

Замечание 1. Вычисляя собственные векторы описанным образом, нет необходимости, конечно, находить все столбцы матрицы. Следует ограничиться вычислением одного слобца; его элементы получаются в виде линейной комбинации с прежними коэффициентами одноименных столбцов матриц .

Замечание 2. Для вычисления столбца мсатрицы, удобно пользоваться рекуррентной формулой:

(2.8)

где — взятый нами столбец матрицы, а — одноименный столбец единичной матрицы, тогда Если все собственные значения исходной матрицы различны, то матрицы ненулевые. В этом случае любой ненулевой столбец матрицы может быть принят в качестве собственного вектора матрицы, соответствующего собственному значению.

Несмотря на то, что при использовании данного метода необходимо выполнить большое количество операций, он давно получил признание как один из универсальных и простых по логике алгоритма методов построения собственного многочлена матрицы. Необходимо еще заметить, что, вычисляя по методу У.Ж. Ж. Леверье, умножения приходится делать все время на те же самые числа, и схема вычисления может быть расположена подобно столь хорошо выработанной и для астрономов столь привычной схеме.

1.3 Метод А. Н. Крылова

А.Н. Крылов вводит в рассмотрение каноническую систему однородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами связанную с исходной матрицей .

Идея А. Н. Крылова заключалась в предварительном преобразовании уравнения

(3.1)

в эквивалентное ему уравнение вида:

(3.2)

Развертывание которого по степеням осуществляется значительно проще, при помощи разложения определителя по минорам 1-го столбца.

Равенство нулю определителя (3.1) есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы система однородных уравнений

(3.3)

имела решение, отличное от нулевого.

Преобразуем систему (3.3) следующим образом. Умножим первое уравнение на и заменим их выражениями (3.3) через. Это дает

(3.4)

Где Умножим далее уравнение (3.4) на и заменим снова их выражениями через. Получим Повторяя этот процесс раз, перейдем от системы (1.3.3) к системе

(3.5)

Коэффициенты которой будут определяться по рекуррентным формулам

(3.6)

спектральный крылов фадеев данилевский Определитель системы (3.5) будет иметь вид (3.2). Система (3.5) имеет ненулевое решение для всех значений, удовлетворяющих уравнению Таким образом, обращается в нуль при всех, являющихся корнями уравнения .

Покажем, что

т.е. при отличается от искомого характеристического полинома только численным множителем.

Пусть все корни различны. Так как все корни являются корнями, то делиться на. Так как, кроме того, степени и одинаковы, частное должно быть постоянным (не зависеть от). Сравнивая коэффициенты при, получим В случае, если имеет кратные корни, равенство

(3.7)

сохраняется, что следует хотя бы из соображений непрерывности.

Можно проверить это равенство и непосредственно умножением входящих в него определителей, если при этом использовать соотношения (3.6).

Из равенства (3.7) видно, что если, то тождественно равно нулю. В этом случае указанное преобразование ничего не дает. Однако и при А. Н. Крылов предлагает особый прием, алгебраическая сущность которого будет выяснена ниже.

Обратимся теперь к коэффициентам, определяющим. Введем в рассмотрение векторы с компонентами Равенства показывают, что

(3.8)

где матрица, транспонированная к данной.

Из равенства (3.8) следует, что В свою очередь,, где Таким образом,

. (3.9)

Преобразовывать систему (3.3) можно, исходя, например, из второго уравнения этой системы. В этом случае войдет во второй столбец определителя, а коэффициенты будут определяться по формулам (3.9), где .

Метод А. Н. Крылова естественным образом обобщается, если ввести в рассмотрение вместо вектора специального вида произвольный вектор

Пусть где решение системы (3.3).

Тогда, повторяя прежние рассуждения, получим:

(3.10)

где

Рассматривая равенство (3.10) как систему линейных однородных уравнений с неизвестными получим, что ненулевое решение возможно в том и только в том случае, когда определитель Повторяя прежние рассуждения, найдем, что где на этот раз

(3.11)

Так же как и для рассмотренного выше частного случая, преобразование ничего не дает, если

Предположим поэтому сначала, На основании равенства коэффициенты характеристического полинома определяются как отношение, где алгебраические дополнения элементов в определителе. Определение коэффициентов характеристического полинома через указанные отношения и составляет сущность работы А. Н. Крылова. Однако проведенное исследование дает возможность определить искомые коэффициенты, минуя вычисления миноров, существенно сократив при этом число нужных операций.

Ввиду того, что элементы строк определителя (3.11) являются компонентами векторов образуют базис пространства. Следовательно, вектор является их линейной комбинацией:

(3.12)

Покажем, что коэффициенты этого соотношения и являются коэффициентам характеристического полинома, записанного в виде:

Отняв от последней строки определителя линейную комбинацию предыдущих строк с соответствующими коэффициентами получим, на основании равенства (3.12), что Равенство позволяет находить (3.12) позволяет находить коэффициенты, как решения системы линейных уравнений, эквивалентной этому векторному равенству.

На основании теоремы Гамильтона — Кели подставим матрицу в качестве аргумента. Так как матрица обращает свой характеристический многочлен в 0, следовательно, получим следующее равенство:

(3.13)

Из этого следует, что т. е.

(3.14)

Вместо системы (3.14) для определения коэффициентов можно употреблять систему где векторы определяются равенствами .

Предположим, что методом А. Н. Крылова найдены коэффициенты характеристического полинома и что все собственные числа вычислены и оказались различными. Покажем, как, используя проведенные вычисления, определить собственные векторы матрицы. Пусть исходный вектор в процессе А. Н. Крылова и пусть собственные векторы матрицы, принадлежащие Векторы линейно — независимы.

Разложим вектор по собственным векторам:

Тогда Векторы вычислены в процессе нахождения собственных чисел. Покажем, что собственные векторы могут быть получены в виде линейных комбинаций при подходящем выборе коэффициентов. Рассмотрим линейную комбинацию:

Где Подберём коэффициенты так, чтобы Для этого достаточно взять в качестве полином

(3.15)

— характеристический полином, коэффициенты и корни которого уже вычислены.

Коэффициенты частного (3.15) легко вычисляются по схеме Горнера, т. е. по рекуррентным формулам

(3.16)

Таким образом, т. е. составленная нами линейная комбинация есть собственный вектор с точностью до численного множителя. Конечно, коэффициент должен быть отличным от нуля; это обеспечивается успешным завершением процесса А. Н. Крылова. Так как собственный вектор определён с точностью до постоянного множителя, мы можем принять за собственный вектор построенную линейную комбинацию.

Аналогично Где Ошибки округления метода Гаусса могут замаскировать линейную зависимость векторов, либо стать соизмеримыми с ведущими элементами метода Гаусса. В обоих случаях вектор может иметь мало общего с коэффициентами характеристического полинома. Сигналом такой ситуации будет невозможность выбора ведущего элемента, существенно превосходящего по абсолютной величине арифметические ошибки из очередного столбца. В этом случае желательно взять другой вектор или произвести вычисления с повышенной точностью. Возможно использовать этот вариант для сокращения вычислений, полагая равными нулю малые элементы и переходя к решению системы (3.3).

В методе Крылова желательно использовать метод Гаусса с выбором в столбце. Такой выбор не только улучшит конечный результат, но и как выше сказано, послужит сигнализатором патологических случаев.

1.4 Метод А. М. Данилевского

Достаточно простой и экономичный способ решения проблемы собственных значений был предложен в конце тридцатых годов этого столетия А. М. Данилевским. Этот метод связан с известным фактом из линейной алгебры о том, что преобразование подобия не изменяет характеристического полинома матрицы.

Поэтому, удачно подобрав преобразование подобия, можно надеяться получить матрицу, собственный многочлен которой выписывается непосредственно по ее виду. А. М. Данилевский предложил приводить исходную матрицу преобразованием подобия к так называемой канонической форме Фробениуса

(4.1)

Разлагая определитель последовательно по элементам первого столбца, будем иметь Решая уравнение, найдем интересующие нас собственные значения матрицы .

Оказывается, что неособенная матрица может быть использована при нахождении собственных векторов матрицы. Таким образом, задача сводится к нахождению нужной нам матрицы .

Начинать преобразовывать матрицу нужно с последней строки. Предположим, что и поделим все элементы предпоследнего столбца на. Затем умножим соответственно на и вычтем его из i-го столбца, i = 1,. .. , n?2, n. Получим матрицу, у которой последняя строка будет совпадать с последней строкой формы Фробениуса.

Преобразование не всегда будет преобразованием подобия для матрицы. Исправить этот недостаток можно умножением полученной матрицы слева на матрицу, которая существует, так как. Матрица имеет вид:

.

Преобразование не изменяет последней строки матрицы Таким образом, после первого шага метода Данилевского получим матрицу следующего вида:

.

Предположим далее, что и элемент матрицы отличен от нуля. Тогда второй шаг метода Данилевского аналогичен первому и состоит в приведении второй снизу строки матрицы к форме Фробениуса.

Где

.

Закон построения матриц и по виду матрицы A⁽¹⁾, как видим, аналогичен соответствующему правилу построения на предыдущем шаге метода матриц и по виду матрицы. Эта же закономерность сохраняется и на последующих шагах метода.

Итак, если, то после шагов метода Данилевского будем иметь

.

Тем самым исходящая матрица посредством преобразования подобия с неособенной матрицей будет приведена к канонической форме Фробениуса, непосредственно по виду первой строки которой записывается собственный многочлен Если найдены собственные значения матрицы и известна неособенная матрицы, преобразование подобия с помощью которой приводит исходную матрицу к канонической форме Фробениуса, то в методе Данилевского, как и в случае метода Крылова, при нахождении собственных векторов матрицы можно обойтись и без решения систем однородных линейных алгебраических уравнений Результаты промежуточных вычислений при нахождении собственных значений матрицы здесь также могут быть использованы и для вычисления собственных векторов этой матрицы.

Матрицы, связанные преобразованием подобия, имеют одинаковые спектры. Собственные же векторы этих матриц, принадлежащие одним и тем же собственным значениям, будут, вообще говоря, различны. Но между ними существует связь, а именно: если вектор есть собственный вектор матрицы, принадлежащий собственному значению л, а вектор — собственный вектор подобной ей матрицы, принадлежащий тому же собственному значению л, то вектор также будет собственным вектором матрицы соответствующим собственному значению л.

Таким образом, собственные векторы исходной матрицы легко находятся по соответствующим собственным векторам ее канонической формы Фробениуса.

Запишем это векторное равенство покоординатно:

Принимая во внимание, что собственный вектор матрицы определен с точностью до постоянного множителя, предположим Тогда можно найти остальные координаты вектора :

.

При точном выполнении арифметических операций все погрешности возникают из приближенного вычисления корней векового уравнения. Анализ этих ошибок совпадает с анализом ошибок метода, использованного для решения векового уравнения. При неточном выполнении арифметических операций сам метод может давать очень грубые ошибки в коэффициентах векового уравнения. Таков случай патологической близости к нулю элемента. Когда нельзя быть уверенным в знаке и в том, что он отличен от нуля, столбец n — i — 1 нельзя брать ведущим. Ведущим желательно сделать такой столбец, что, используя методику второго исключительного случая.

Глава 2. Сравнительный анализ методов

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим квантовый двумерный ангармонический осциллятор с оператором гамильтониана. Оператор гамильтониана для двумерного ангармонического осциллятора имеет вид:

где, масса осциллятора, угловая частота.

Определим одночастичный потенциал:

тогда полный потенциал данной задачи будет иметь вид:

Возьмем, а в качестве начального приближения выберем волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора:

Для определения собственных значений и собственных векторов по методу Данилевского и Крылова представим оператор гамильтониана в матричной форме. Оператор гамильтониана получим в виде матрицы размерностью :

2.2 Алгоритм метода Леверье — Фаддеева

Найдем собственные значения и собственные вектора оператора гамильтониана полученной в виде матрицы:

Вычислим собственные значения матрицы, используя формулы (1.2.7):

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы имеет вид:

.

Его корни, являющиеся собственными значениями матрицы :

Найдем собственные векторы матрицы с помощью формулы (1.2.8) для всех собственных значений.

Для вычислений по этой формуле выберем первые столбцы единичной матрицы и найденных выше матриц .

;

Если каждый вектор нормировать на его длину, то придем к ортонормированной системе собственных векторов матрицы .

2.3 Алгоритм метода А.Н. Крылова

Найдем собственные значения и собственные вектора матрицы по методу А. Н. Крылова.

Вычислим собственные значения матрицы .

Выберем начальный вектор. Тогда Таким образом, система для нахождения имеет вид:

В результате решения системы линейных алгебраических уравнений получим:

Таким образом, характеристическое уравнение матрицы имеет вид:

.

Его корни являются собственными значениями матрицы .

.

Найдем собственные векторы матрицы для всех собственных значений.

Если каждый из векторов нормировать на его длину, то придем к ортонормированной системе собственных векторов матрицы .

2.4 Алгоритм метода А.М. Данилевского

Найдем собственные значения и собственные вектора матрицы по методу А. М. Данилевского.

Вычислим собственные значения матрицы .

Первая строка матрицы определяет коэффициенты характеристического уравнения матрицы, которое имеет вид:

Корни этого уравнения будут собственными значениями матрицы Решая уравнение, получим:

.

Найдем собственные векторы матрицы .

Собственные векторы матрицы :

.

Если каждый из векторов нормировать на его длину, то придем к ортонормированной системе собственных векторов матрицы .

2.5 Сравнительный анализ методов

Сравним полученные результаты. Обозначим найденные собственные значения по методу У.Ж. Ж. Леверье, по методу Крылова, по методу Данилевского. Для сравнения найденные собственные значения матрицы по методам У.Ж. Ж. Леверье и А. Н. Крылова запишем в таблицу № 1, по методам У.Ж. Ж. Леверье и А. М. Данилевского в таблицу № 2, по методам А. Н. Крылова и Данилевского в таблицу № 3. Каждому собственному числу соответствует один собственный вектор. Найдем собственные векторы, нормируем их и запишем в таблицы № 4, 5, 6. Также в третьем столбце таблиц оценим на сколько результаты рассмотренных методов отклоняются друг от друга. Найденные собственные векторы по методу У.Ж. Ж. Леверье обозначим через, по методу Крылова через, по методу Данилевского через .

Таблица № 1

Таблица № 2

Таблица № 3

Таблица № 4

Таблица № 5

Таблица № 6

Из приведенных таблиц видно, что результаты вычислений методами У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова и А. М. Данилевского хорошо согласуются.

Метод У.Ж. Ж. Леверье довольно трудоёмкий из-за необходимости вычисления степеней матрицы А. Получение каждого элемента произведения матриц требует умножений и сложений и вычитаний, а каждая матрица имеет элементов. Лишь у последней матрицы можно вычислить только диагональных элементов. Далее, система (1.2.6) легко решается последовательно, что требует умножений и делений, и сложений и вычитаний. Следовательно, в общем случае метод У.Ж. Ж. Леверье требует Метод Крылова оказывается более экономичным, чем метод У.Ж. Ж. Леверье, если порядок определителя больше четырёх. Для получения определителя с, перемещенной в первый столбец, нужно произвести умножений и сложений, для разложения полученного определителя понадобится (считая двучлены со степенями за один элемент и не учитывая действий при разложении определителя четвертого порядка) еще делений и вычитаний, а всего Нужно еще отметить, что при не взаимно простых элементарных делителях матрицы (1.2) метод акад. А. Н. Крылова требует существенных изменений, и применение его осложняется.

Рассмотренные в методе А. М. Данилевского преобразования являются элементарными преобразованиями теорииматриц. Если матрица (1.2) приводится к виду (4.1) (т. е. в процессе преобразования определитель не распадается), то общий наибольший делитель ее миноров порядка равен 1, так как в матрице (4.1) минор элемента равен 1, — следовательно, в этом случае матрица (1.2) имеет только один инвариантный множитель, и все ее элементарные делители взаимно простые. Отсюда следует, что если элементарные делители матрицы (1.2) не взаимно простые, то ее определитель в процессе преобразования распадается в произведение, и вычисление его облегчится. Нужно заметить, что определитель может распасться и при взаимно простых элементарных делителях матрицы (1.2).

При преобразовании й строки в вековое уравнение го порядка необходимо произвести умножений и делений (не считая умножений на единицу): при приведении го элемента й строки к единице:, при обращении в 0 элементов й строки:, при исключении из элементов й строки:, -;

всего умножений и делений и, соответственно, сложений и вычитаний. При преобразовании определителя (1.2) к виду (4.1) потребуется всего

Эффективность данных методов лучше видна из таблицы № 7.

Таблица № 7

Заключение

В данной работе приведена некоторая часть исторического развития спектральной теории и изложены наиболее известные методы вычисления собственных значений и собственных векторов. Рассмотренные методы дают решение полной проблемы собственных значений, включают предварительное вычисление коэффициентов характеристического полинома, которое осуществляется различными средствами, минуя вычисление многочисленных миноров. Собственные векторы матрицы удается определить, используя промежуточные результаты вычислений, проведенных для определения коэффициентов характеристического полинома.

Задача определения собственных значений и векторов матриц имеет большое значение в решении широкого круга вопросов вычислительной математики, она находит многочисленные приложения в дифференциальных уравнениях, механике, физике, радиофизике и других областях.

В электрических и механических системах собственные числа отвечают собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют соответствующие формы колебаний.

В теории динамических систем и связанных с ними системах линейных дифференциальных уравнений знание собственных значений позволяет определить характер поведения системы во времени и решить вопрос об устойчивости такой системы. Оценка величин критических нагрузок при расчете строительных конструкций также основана на информации о собственных значениях и собственных векторах матриц.

До последнего времени метод У.Ж. Ж. Леверье был, вероятно, лучшим методом получения многочленного вида для характеристического уравнения матрицы. Видоизменение этого метода было предложена Д. К. Фаддеевым, характерной чертой которого является вычисление следов матриц. Метод У.Ж.Ж Леверье, основанный на формулах Ньютона, весьма трудоемок, так как приходиться вычислять высокие степени исходной матрицы.

Метод А. Н. Крылова оказывается более экономичным, чем метод У.Ж. Ж. Леверье, если порядок определителя больше четырёх. В методе А. Н. Крылова для определения собственных векторов матриц необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов характеристического полинома. Однако, система уравнений может не иметь единственного решения при неудачном выборе начального вектора.

Метод А. М. Данилевского самый эффективный по числу арифметических операций, используемых для развертывания векового определителя. Суть метода А. М. Данилевского заключается в приведении векового определителя к нормальному виду Фробениуса.

В данной работе решена матрица гамильтониана и приведен сравнительный анализ методов У.Ж. Ж. Леверье, А. Н. Крылова и А. М. Данилевского. Проведенные численные эксперименты показали надежность и вычислительную эффективность методов.

И хотя уже рассмотренный материал дает основание поставить вопрос о том, какие из описанных методов должны быть рекомендованы для практических расчетов предпочтительнее перед другими, на этот вопрос трудно дать определенный ответ, так как в различных конкретных условиях к методам должны предъявляться разные требования.

Важнейшим из критериев оценки качества метода является его надежность, т. е. способность перенести в решение задачи почти всю информацию, содержащуюся в ее условии. Однако кроме критерия надежности имеются и другие, достаточно существенные. Это — простота вычислительной схемы и минимальность числа вычислительных операций. Часто из двух методов, в одном из которых проще вычислительная схема, но требуется большее число вычислительных операций, чем в другом, следует предпочесть первый. Однако в задачах, связанных с матрицами высоких порядков, критерий минимальности числа вычислительных операций может оказаться решающим.

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Ахиезер Н. И., Глазман И. М. М.: Наука, 1966. -543 с.

2. Вейленд Г., Представление векового уравнения в виде многочлена, УМН, Т 2 № 4(20), 1947. — С. 128−158

3. Данилевский А. М. О численном решении векового уравнения, Матем. сб., Т 2(44) № 1, 1937. — С. 169−172

4. Демидович В. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики / Демидович В. П., Марон И. А — М.: Наука, 1966. — 664 с.

5. Кадченко С. И. Вычисление значений собственных функций дискретных полуограниченных снизу операторов методом регуляризованных следов / Кадченко С. И. Какушкин С.Н. // Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. — № 6 (97). — С.13−21.

6. Кадченко С. И. Численные методы нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов / Кадченко С. И., Какушкин С. Н. // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2012. — № 27 (286). -вып. 13. С. 45−57.

7. Какушкин С. Н. Развитие численных методов для математического моделирования нахождения значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов: автореферат дис. … кандидата физико-математических наук: 05.13.18. ЮУрГУ. — Челябинск, 2013. — 16 с.

8. Кинзина И. И. Алгоритм нахождения собственных чисел возмущенных дискретных самосопряженных операторов: дис. … канд. физ.-мат. наук, 05.13.18. — ЧелГУ. Челябинск, 2006.-169 с.

9. Копачевский Н. Д. Спектральная теория операторных пучков: Специальный курс лекций. — Симферополь: ООО ФОРМА, 2009. — 128 с.

10. Круликовский Н. Н. Пути развития спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов: Исторический очерк. — Томск, 2008. — 222 с.

11. Крылов А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем / Крылов А. Н. Известия Академии наук СССР, 1931 — 49 с.

12. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. — Мн.: Наука и техника, 1985. -280 с.

13. Лузин Н. Н. О методе академика Крылова составления векового уравнения / Лузин Н. Н. Известия Академии наук СССР, 1931 — С. 903−958.

14. Люстерник Л. А., Памяти Алексея Николаевича Крылова, УМН, Т 1. — вып. 1(11), 1946. — С. 3−10

15. Михеев С. Е. Численные методы / Михеев С. Е. — СПб.: СПбГУ, 2013. -93 с.

16. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / Наймарк М. А. — М.: Наука, 1969. — 527 с.