Элементы комбинаторики. 
Теория вероятностей и математическая статистика

Введение

в комбинаторный анализ

При решении ряда прикладных задач в различных областях науки, в том числе в биологии и медицине, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Для пояснения сказанного сформулируем задачу. Сколько микстур по 3 лекарства в каждой можно приготовить из 5 различных лекарств. Для решения подобных и других задач комбинаторный анализ располагает стандартными приемами, которые рассмотрены ниже.

Под термином «множество» будем понимать некоторую совокупность однородных объектов. Например, можно говорить о множестве жителей города, множестве пациентов данной поликлиники, множестве натуральных чисел и т. д.

Объекты, входящие в множество, называют элементами. Так, например, повышенное давление крови — элемент множества заболеваний, числа 2 и 3 — элементы множества четных и нечетных чисел и т. д.

Будем обозначать множества ЛДС,…, а их элементы а, Ь_ус Если каждый элемент множества В принадлежит множеству А, то В называется подмножеством А. Это принято обозначать так: A z> В или BczA. Например, если А — множество медицинской аппаратуры, В — множество электрокардиографов, то В есть подмножество множества А, т. е. B Подобным же образом множество всех квадратов есть подмножество всех прямоугольников и т. д.

В дальнейшем будем рассматривать только множества, которые имеют конечное число элементов; такие множества называются конечными. Любое конечное множество можно задать с помощью некоторого признака или перечислением его элементов, А = {а_х, а₂>а_ъ,…, а_п.

Пусть имеется множество А, содержащее п элементов и в котором задан порядок их следования. Такие множества будем называть упорядоченными (отношение порядка).

Размещения. Всякое упорядоченное подмножество данного множества А, содержащее по т элементов, называется размещением из п элементов по т элементов. Из этого определения следует, что размещения различаются либо составом элементов, либо порядком их следования (выбор без повторения и с учетом порядка).

Например, из множества А = {a, b_yc, d} можно образовать 12 различных размещений, из 4 по 2

Число размещений из п элементов по т элементов в каждом обозначают А™ и вычисляют по формуле.

Для краткости произведение первых п натуральных чисел принято обозначать п (читается п факториал):

Условились считать, что 1≠1 и 0≠1.

С учетом принятых обозначений формулу числа размещений из п элементов по т элементов можно записать в следующем виде: