Дискретные случайные величины. 
Закон распределения вероятностей

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины X называют перечень всех возможных ее значений х и соответствующих им вероятностей р. Закон распределения вероятностей случайной величины считается заданным, если известны все вероятности Р (Х) = р, (/ = 1,2,3,…, л).

Закон распределения вероятностей случайной величины X может быть задан, например, таблицей, первая строка которой содержит возможные значения х" а вторая — вероятности р, (табл. 5.1).

Таблица 5.1. Закон распределения вероятностей случайной величины.

Все возможные значения дискретной случайной величины X составляют полную группу событий, поэтому сумма вероятностей равна единице:

Если дискретная случайная величина X принимает бесконечное число значений, то.

Соотношения (5.1) и (5.2) являются условиями нормировки.

Закон распределения вероятностей случайной величины можно изобразить графически (называемый многоугольником распределения), отложив по оси абсцисс значения дискретной величины х/, по оси ординат — вероятности р, этих значений.

Пример 5.1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей (табл. 5.2):

Таблица 5.2. Закон распределения вероятностей случайной величины.

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим точки М (2,0,2), Л/₂(4,0,4), Л/₃(6.0.1), Л/₂(8,0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим многоугольник распределения (рис. 5.1).

Пример 5.2. Число фармацевтов каждой из 15 аптек некоторого района города составило 4, 7, 5, 6, 4, 5, 3, 6, 4, 5, 5, 4, 6, 5 и 6 человек соответственно. Составить закон распредеРис. 5.1. Многоугольник ления вероятностей случайной велирасгтределения чины X, определяемой как число фармацевтов в науг ад выбранной аптеке.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X может принимать следующие возможные значения (в порядке возрастания): 3, 4, 5, 6, 7.

Таким образом, если случайная величина X примет возможное значение х, = 3, то вероятность такого события Пусть случайная величина X примет значение х, = 3, тогда наугад выбранной аптекой окажется аптека из 3 фармацевтов. Вероятность этого случайного события в соответствии с определением вероятностей.

Аналогично можно вычислить вероятности остальных значений случайной величины X:

На основании полученных данных составим искомый закон распределения вероятностей числа фармацевтов (табл. 5.3):

Таблица 5.3. Закон распределения вероятностей числа фармацевтов некоторого района_.

Контроль: 1/15 + 4/15+5/15+4/15 + 1/1 = 15;

Пример 5.3. В аптечке 4 упаковки аспирина и две упаковки анальгина. Наугад вынуты 3 упаковки. Составить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины X — числа упаковок аспирина среди вынутых.

Решение. Случайная величина X (число упаковок аспирина в одном испытании) может принимать следующие возможные значения: Х] = О (не вынута упаковка аспирина), х₂ = 1 (вынуга одна упаковка аспирина), х₃ =2 (вынуты две упаковки аспирина), х₄=3 (вынуты три упаковки аспирина).

Очевидно, вероятность того, что не вынута упаковка аспирина Р (Л'=0) = 0. Величина X примет возможное значение х₂ =1, если вынута одна упаковка аспирина. Число возможных способов вынуть 3 упаковки из 6 равно числу сочетаний с|. Из 4 упаковок аспирина одну можно вынуть числом способов, равным с. Вынуть же 2 упаковки анальгина из двух 2 можно с| способами. Общее число исходов, благоприятствующих выниманию одной упаковки аспирина, равно сс%. Тогда вероятность того, что будет вынута упаковка аспирина.

Аналогично рассуждая, найдем:

Напишем закон распределения вероятностей (табл. 5.4):

Таблица 5.4. Закон распределения вероятностей числа упаковок аспирина____.

Контроль: 0 + 1/5+3/5 + 1/5 = 1.

Заметим, что используя буквенный ответ из примера 2.8, можно найти искомую вероятность случайной величины X по формуле где JVчисло упаковок в аптечке, п — число упаковок аспирина, т — число вынутых упаковок, к — число упаковок аспирина среди вынутых.

Пример 5.4. Вероятность того, что необходимое больному лекарство есть в аптеке (событие А), равна 0,3. Составить закон распределения вероятностей числа аптек, которые посетит больной, если в городе 4 аптеки.

Решение. Дискретная случайная величина X (число аптек, которые посетит больной) примет возможное значение х, = 1.

(больной посетит 1-ю аптеку), если событие А наступит в первом испытании. Г1о условию задачи вероятность этого события следовательно,

Величина X примет значение х, = 2 (больной посетит 2-ю аптеку), если событие А не наступит в первом испытании, но наступит во втором. Вероятность этого исхода испытания по теореме умножения вероятностей.

следовательно,

Величина X примет значение х₃ = 3 (больной посетит 3-ю аптеку), если событие А не наступит в первых двух испытаниях и наступит в третьем. Вероятность такого исхода.

следовательно,

Теперь рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величина X принимает значение х₄ = 4 (больной посетит четвертую аптеку).

В этом случае возможно событие, состоящее в том, что в трех аптеках лекарство отсутствует, а в четвертой — есть. Результат совместного наступления этих четырех независимых событий по теореме умножения вероятностей:

Наконец, лекарство отсутствует во всех 4 аптеках. Вероятность этого события

Так как может иметь место оба события, то в соответствии с формулами (3.1) и (3.2) имеем:

окончательно Таблица 5.5. Закон распределения вероятностей числа аптек, которые посетит больной_.

Контроль: 0,3 + 0,21+0,147+0,343 =1.

Итак, закон распределения вероятностей числа посещения аптек больным может быть предоставлен в виде табл. 5.5.