Частотный критерий устойчивости Михайлова

Для использования критерия Михайлова берется характеристическое уравнение замкнутой системы вида.

Если в полиноме D (s) вместо .у подставить jeo, то получим так называемую характеристическую функцию Михайлова:

Как всякая комплексная функция, (jeo) может быть представлена:

где <�р (а>) = а_п — а_п_₂со~ + а_п 4со^А + … — вещественная функция Михайлова,.

у/((о) - oj (a_{ii {} — а_п__ъсо~ + а_п 5со^А + …) — мнимая функция Михайлова.

Для каждого значения со функция Михайлова будет представлять собой вектор в комплексной плоскости. Если в функции Михайлова величине со придавать последовательно значения от 0 до оо, то получим семейство векторов.

Кривая, являющаяся геометрическим местом точек концов векторов при изменении в функции Михайлова значений а" от 0 до со, называется годографом кривой Михайлова.

По расположению годографа на комплексной плоскости можно определить, устойчива система или нет.

Для того чтобы замкнутая САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D (jco) при изменении оо от 0 до оо, начав свое движение на вещественной положительной полуоси и вращаясь только против часовой стрелки, последовательно прошел п квадрантов комплексной плоскости, где п — порядок системы.

Рис. 1.45. Примеры кривых Михайлова для устойчивых систем (п — порядок системы).

Рис. 1.46. Виды кривых Михайлова для неустойчивых систем

Признаки неустойчивых САР по виду кривых Михайлова (рис. 1.46):

• 1 — число пройденных квадрантов не равно п;
• 2 — кривая Михайлова при со = 0 началась не на вещественной полуоси;
• 3 — нарушилась последовательность прохождения квадрантов;
• 4 — кривая Михайлова прошла через начало координат (это либо неустойчивая САР, либо на границе устойчивости);
• 5 — кривая Михайлова начала свое движение из начала координат;
• 6 — кривая Михайлова в некоторой области изменения частоты двигалась по часовой стрелке.

При необходимости системы исследуются на устойчивость в области одного-двух параметров. И при необходимости в схему вводятся корректирующие цепи (звенья), приводящие к устойчивой работе системы.

Пример 3. Систему примера 2 проверим на устойчивость с помощью критерия Михайлова (рис. 1.47):

или

Рис. 1.47. Годограф Михайлова для устойчивой системы четвертого порядка

Построенная кривая отвечает всем условиям критерия Михайлова к устойчивым системам.