Электромеханическое преобразование энергии в поле переменных токов. 
Энергия магнитного поля

Ранее мы рассматривали пондеромоторные силы, возникающие между контурами постоянных токов. Они вместе с другими внешними силами определяют движение контуров в соответствии со вторым законом Ньютона. Но это только одна сторона процесса электромеханического преобразования энергии. Движение контуров приведет к появлению электродвижущих сил (ЭДС), которые возникнут вследствие изменения потокосцеплений, пронизывающих контур:

Их появление вызовет приток энергии, часть которой преобразуется в механическую энергию. Существование такой связи было показано в § 1.1, однако это было сделано для постоянных токов, что существенно ограничивает полученные результаты — электромеханическое преобразование энергии происходит только в поле переменных токов. ^зз

Механизм электромеханическою преобразования энергии рассмотрим на примере двух электромагнитно связанных контуров. Уравнения напряжений для каждого из них имеют вид.

где i — напряжения, приложенные к зажимам контуров, щ (0 — потокосцепления контуров, являющиеся функциями токов /'*(/) и пространственных координат q,{(). Настоящие уравнения составяены на основе обобщенного закона Ома [ 1 ].

где ek (t) — индуцированная ЭДС, которая наряду с приложенным напряжением определяет ток ц контура, имеющего сопротивление Rk-

Как было показано выше, для рассматриваемою случая потокосцепления задаются уравнениями (1.23):

Здесь, напомним, собственные L_kk и взаимные L_k" индуктивности являются функциями обобщенных пространственных координат qь г/2,…</" определяющих взаимное положение контуров в пространстве (их зависимость от состояния магнитной системы на данном этапе не рассматривается). С учетом приведенных выражений для потокосцеплений у* найдем ЭДС контуров. При этом будем полагать, что перемещение в пространстве происходит только по одной координате q, в то время как остальные координаты q_k поддерживаются постоянными — виртуальное перемещение. Тогда согласно общему выражению для ЭДС (1.26) найдем.

Слагаемые ЭДС, зависящие от скорости изменения токов, называются трансформаторными. Такое определение связано с тем, что на их основе работают статические аппараты с неподвижными обмотками, служащие для преобразования электрической энергии одного напряжения в другое. Такие аппараты называются трансформаторами.

Электродвижущие силы, вызванные изменением индуктивностей при движении контура, например вдоль q, координаты, называют ЭДС движения. Они определяются скоростью движения контура (или элемента контура) dqjdt = q, что можно наблюдать, если ее значение записать в следующем виде (индексы при токе и индуктивности опущены):

Природа возникновения ЭДС. движения связана с силой Лоренца, действующей на заряды в проводнике, .движущемся в магнитном поле. Они, как было показано выше, определяют механические силы, действующие на контур тока в магнитном поле. Возникновение трансформаторной ЭДС не так очевидно — она существует и должна восприниматься как отражение объективной реальности.

Знак «минус» перед ЭДС (1.26), введенный Ленцем, указывает, что она препятствует изменению магнитного потока. То есть индуцированная ЭДС ведет себя аналогично силе инерции в законе Ньютона, которая стремится удержать тело в состоянии покоя или равномерного.движения. Таким образом, закон электромагнитной индукции Фарадея с правилом Ленца аналогичен закону Ньютона с принципом Датамбера.

Рассмотрим теперь энергетические соотношения. Умножим левую и правую части уравнений напряжений (1.27) на токи контуров и сложим их:

Левая часть возникшего уравнения представляет мощность, поступающую на зажимы контуров (их знаки ставятся в соответствии с положениями, принятыми в теории цепей). Первые два слагаемых правой части определяют мощность, выделяемую на сопротивлениях контуров в виде тента (джоулсвы потери).

Природу двух последних слагаемых, обусловленных возникновением электродвижущих сил, рассмотрим следующим образом. Подставим в (1.30) потокосцешения у, и vp₂ (1.23) и в итоге, обозначая In = /-21= Lm, ПОЛУЧИМ.

Учитывая, что выражение в скобках представляет запасенную энергию W_m, приведенное уравнение, обобщенное на произвольное число контуров, запишется как.

где.

известная нам из § 1.2 как энергия магнитного патя, полученная при постоянной сите тока в контурах (1.20).

Индекс I у второго слагаемого в уравнениях (1.31) и (1.32) означает, что дифференцирование функции W_m производится при постоянстве силы токов, т. е. она представляет частную производную W_m по перемещению ц:

Форма записи частной производной по энергии, принятая при выводе уравнения (1.32), сделана по соображениям лучшей наглядности. Как видно из (1.33), это слагаемое представляет ту часть поступающей электрической мощности, которая преобразуется в механическую мощность под действием пондеромоторных сил:

Она определяется так же, как и для случая постоянных токов, только мгновенными значениями токов. Пришиты этого явления мы коснемся ниже. Здесь же укажем, что мощность (1.33) называют также электромагнитной мощностью Р_ш, а силы (1.34) — электромагнитными силами F_M(i). Заметим, когда подводимая электрическая мощность преобразуется в механическую, мы имеем двигательный режим; обратный процесс будет соответствовать генераторному режиму.

В соответствии с теорией цепей в первом случае мощность на зажимах будет положительной, во втором — отрицательной.

Рассмотрим подробнее составляющие мощности, связанные со скоростью изменения энергии, запасенной в магнитном поле. Ее вид, обобщенный на произвольное число контуров к

Эта мощность обусловлена индуцированными электродвижущими силами. Здесь первое слагаемое показывает мощность, связанную с движением зарядов (током) по контуру, а второе слагаемое представляет мощность, связанную с движением контура в магнитном поле, созданном токами контуров, в том числе и собственным током. Как видно, оно равно механической мощности, совершаемой пондеромоторными силами, т. е. электромагнитной мощности. Такое положение становится основанием для ряда авторов принимать за механическую мощность удвоенное ее значение и, соответственно, силы (1.34). Но это неверно, если учесть, что это выражение для силы было получено на основе силы Ампера (см. § 1.1). Как мы увидим в дальнейшем, в многофазных электромеханических преобразователях энергии при определенных условиях, соответствующих установившемуся режиму работы, оказывается, что dWJdt = 0, причем достигается, когда ни одно из слагаемых этого выражения нс равно нулю. То есть оказывается, что в этом режиме они равны и противоположны по знаку:

Другое замечание связано с природой этих слагаемых, для чего удобней перейти от производных к дифференциалам, т. е. к энергии, выделяемой за бесконечно малое время, для этого умножим (1.35) на dt. В результате получим.

Здесь первое слагаемое в правой части можно представить как полный дифференциат энергии в пространстве токов /*, тогда как второе слагаемое — как полный дифференциал энергии в пространстве координат <7,. Они представляют работу от изменения запасенной энергии в указанных системах координат. Если учесть, что.

являются силами в указанных пространствах, тогда каждый из этих дифференциалов запишется как.

Следовательно, выражение для запасенной энергии может быть найдено не только через работу поадеромогорных сил F" но также и через работу в пространстве токов 4, где роль сил играют потокосцепления у*, т. е.

Хотя представленные выражения для поиска запасенной энергии равнозначны, однако ее определение на основе (1.38) значительно проще, что можно было наблюдать, сравнивая с выводами, приведенными в § 1.2. Использованное там выражение для энергии от собственного потокосцепления легко найдется с помощью приведенною выражения. Энергию, созданную произвольным числом контуров, найдем, подставляя в него потокосцепление |/* (1.23), обобщенное на произвольное число контуров. Интегрируя и полагая нулевыми начальные условия, получим известное нам выражение.

О возможности найти выражение энергии в пространстве токов, где в роли силы выступают потокосцепления, указывалось в§ 1.2.

Приведем и другие способы получения энергии W,". Исходным является уравнение (1.30), полученное на основе сохранения энергии:

Как было показано выше, запасенная энергия W", может быть найдена при фиксированных пространственных координатах q, = const (1.38):

Выразим дифференциалы c/vp, и сЛр₂ через независимые переменные токи /1 и /'г на основе уравнений (1.25):

где производные di_n/di_k представляют при к = п собственные, а при к*п- взаимные индуктивности контуров. С учетом приведенных соотношений интегралы энергии после некоторой группировки приводятся к виду.

Выбирая желательную траекторию перехода от начального положения до конечного (функция энергии, как было показано выше, есть функция потенциальная), получим.

или, с учетом (1.25), в другой форме.

Такое же выражение для энергии получится, если провести интегрирование по частям (1.24):

Используя известные выражения для потокосцеплений и проводя интегрирование, по траектории движения, подобной предыдущему случаю, найдем выражение энергии такое же, как и на основе (1.40).

Здесь мы обратим внимание на симметрию выражений для энергии (1.36) и (1.38). В первом случае мы имеем

во втором.

Отмеченная симметрия справедлива только при линейной связи между токами и потокосцеплениями, которая была использована при выводе приведенных выражений (общий случай будет рассматриваться далее).

Другая форма для запасенной энергии получится, если принять в качестве независимых переменных потокосцепления, а в качестве сил — токи. Для этого разрешим систему (1.23) относительно токов.

где Г<-" - инверсные индуктивности, причем Г|2 = Г2ь После подстановки в (1.38) приведенных выражений для токов подучим.

откуда после уже знакомой процедуры, связанной с выбором пути интегрирования, имеем

Распространяя приведенное выражение на произвольное число контуров п, имеем следующие выражения для определения запасенной энергии:

Подчеркнем, поиск энергии по любой из приведенных формул проводится при фиксированных координатах ц" определяющих взаимное положение контуров и геометрию магнитной системы. Важно заметить, что их применение ограничивается линейными системами — системами, где связь между токами и потокосцсплениями является линейной, т. с. индуктивности являются величинами, не зависящими от токов.

Работа, совершаемая поидеромоторными силами F, равна изменению запасенной энергии W"" значение которой задастся любым из уравнений (1.35):

где сита.

задается выражением, вид которого указывает, что она находится при постоянстве токов и координат щ, где j *? /'.

Обратим внимание и на следующее. Как видно из приведенных выражений для сил и энергии, их вид совпадает с выражениями, полученными ранее для случая, когда токи контуров были постоянными, т. е. в случае переменных токов указанные величины определяются мгновенными значениями токов и нс зависят от характера их изменения. Такое положение является следствием допущения, что переменный ток вдоль контура распространяется мгновенно, т. е. сила тока в любом сечении контура будет одинаковой, его действие в любой момент времени будет таким же, как и постоянного тока того же значения. Такое допущение сделано при записи уравнения напряжений (1.24), в противном случае оно содержало бы частные производные. И хотя в действительности скорость распространения тока конечна, при частотах до 100 000 Гц она мало отличается от скорости света, и поэтому при конечной длине контура тока принятое допущение вполне обосновано и широко используется на практике.

Переменный ток, действие которого в любой момент времени соответствует постоянному току, называют квазисгационарным током. Здесь и далее мы будем иметь дело с переменными токами, которые будут удовлетворять указанному условию — условию квазистационарности («квази» означает мнимый, ненастоящий, т. е. в нашем случае — ненастоящдй постоянный ток).

Выше при поиске выражения для запасенной энергии W," мы воспользовались ее важным свойством — она является потенциальной функцией, т. е. представляет раболу, значение которой не зависит от траектории (пути) от начального до конечного положения. Это свойство позволило успешно взять соответствуй ще интегралы. Критерием поленщщльной природы некоторой функции принималось условие, что совершаемая работа, равная изменению накопленной энергии, предстааляет полный дифференциал от соответствующих переменных. Но когда это условие будет выполняться — осталось за качром. Здесь мы сделаем попытку устранить указанный пробел на основе материалов аналитической механики [3]. Итак, пусть существуют следующие зависимости (функции):

выражающие у, …, у"в виде линейных функций от некоторых величин .V],х". Для того чтобы представленная сумма была полным дис|х|)сренииалом.

необходимо и достаточно выполнения условия.

Справедливость приведенного утверждения покажем на примере, когда п = к = 2:

тогда, интегрируя (1.29), получим.

Как известно, чтобы подынтегральное выражение было дифференциалом функции W от переменных лт и л'2, необходимо и достаточно выполнения условия [3]:

которое, в свою очередь, выполняется, если.

В этом случае интеграл (1.45) не зависит от выбора пути интегрирования, определяемого кривой ©, соединяющей заданные начальную и конечную точки. В результате получим.

Причем обратим внимание, что значения у и уг представляют градиент функции Wnoxi и дэ при выполнении условия (1.46):

С учетом последних выражений доя yi и у? интеграл (1.45) запишется как.

т. е. подьитгегратьное выражение представляет полный дифференциал от функции Щх, х₂).

Если вьшолнястся условие.

тогда, разрешая систему уравнений у* относительно х*, получим.

причем если здесь с*" = с"к, то.

Функция для W в этом случае найдется так же, как это было сделано выше:

итак как

то и в этом случае функция W, определяемая интегралом.

преобразуется к вату.

где подынтегральное выражение представляет полный дифференциал or IV. Разумеется, и здесь выполняется условие «12 = ап (1.48).

Обобщая полученные результаты на произвольное число переменных, получим.

Перенося приведенные результаты на рассматриваемые нами задачи, можно наблюдать, что уравнения связи между контурами токов аналогичны уравнениям (1.42) или (1.47) и при этом удовлетворяют критериям потенциальности (1.44) или (1.48), так как всегда выполняется следующее условие для коэффициентов взаимоиндукции или инверсных индуктивностей:

которые выполняют роль коэффициентов с_пк = с_пк или а_кп = а_пк.

Только при равенстве этих коэффициентов, как было показано выше, электромагнитные (пондеромоторные) силы между контурами токов удовлетворяют третьему закону Ньютона — они равны и направлены в противоположные стороны. Именно это обстоятельство является первопричиной, придающей функции запасенной энергии свойства, присущие потенциальной функции. На этом основании работу, совершенную в пространстве токов A (i), где салами выступают потокосцспления, али работу в пространстве потокосцепленийДу), где силами выступают токи, и, наконец, работу в пространстве механических перемещений А (с/), производимую электромагнитными силами, можно представить через изменение запасенной энергии:

Во всех приведенных выражениях соответствующие силы находятся как частные производные от функции запасенной энергии W_m.