Обратимые и необратимые процессы

Среди всех возможных задач социально-экономического прогнозирования существенную часть занимают задачи прогнозирования динамики, задачи, методы решения которых опираются на обработку временных рядов. Временной ряд может формироваться в разных условиях, которые предопределяют его характеристики и свойства. В наиболее общем случае он может отражать два типа процессов — обратимые и необратимые.

Обратимые процессы представляют собой такой тип развития объекта, который характеризуется постоянством качественных характеристик при изменении его количественных показателей как результат реакции на изменение внешних условий. Если внешние условия остаются стабильными, изменение количественных характеристик обратимого процесса определяется только действием случайных факторов г. Из этого понимания обратимого процесса следует, что если в ходе его развития внешние условия x_t станут такими же, как прежде (х₍ = х₀), то количественные характеристики процесса y_t вернутся к прежним величинам (у_г = г/₀), искажаемым разве что влиянием случайных факторов г/₀ + ?.

В отличие от обратимого необратимый процесс происходит в условиях, когда претерпевают изменения его количественные и качественные характеристики. Нод качественными изменениями в процессе следует понимать изменение его структуры, состава элементов, силы и направления взаимосвязи между ними. Тогда под необратимым процессом будем понимать такой тип развития объекта, который характеризуется изменением во времени его количественных характеристик, а также структуры элементов, степени и направления взаимосвязей между ними. Это означает, что если внешние условия протекания процесса остаются стабильными, в нем все равно продолжают происходить изменения, вызванные внутренними факторами и силами, постепенно меняющими структуру процесса. Процесс претерпевает во времени необратимые изменения, поэтому, если в ходе его развития внешние условия x_t станут такими же, как прежде (д7 = х₀), то количественные характеристики процесса y_t будут существенно отличаться от прежней величины (Уг*Уо) —

Следует обратить внимание на то, что в определение необратимого процесса введено «время» как ключевое понятие, а в определении обратимого процесса его нет. Это дает дополнительную возможность для толкования понятия «временной ряд», приведенного в предыдущем параграфе.

Любой наблюдаемый процесс протекает во времени. В случае, когда изменения в процессе вызваны его реакцией на действия внешних факторов без изменения его качественных характеристик, этот ряд значений отражает обратимые процессы и называть его «временным» не имеет смысла, поскольку время здесь выступает просто как индекс. Но если протекающий во времени процесс претерпевает качественные и количественные изменения, то время служит фиксатором этих качественных, а значит, необратимых изменений. Такой ряд мы и будем в дальнейшем рассматривать как «временной».

Обратимые процессы могут иметь самую разную природу и самый разный вид, но и эту сложную совокупность можно разделить на две группы: стационарные и нестационарные обратимые процессы.

В учебной и научной литературе стационарный процесс определяют следующим образом.

«Случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают сущностных изменений с течением времени, называются стационарными.

Условия стационарности %_t заключаются в следующем.

• 1. M (b_>t) = const;
• 2. r^(t_h tj) = гЦх), где т = tj — tj

Из второй формулы видно, что величина автокорреляционной функции r%(t_jy tj) не зависит от начала отсчета, а только от промежутка т, т. е. числа сдвигов. Одним из важнейших свойств стационарного случайного процесса является эргодичность, состоящая в том, что каждая отдельная реализация случайного процесса является как бы полномочным представителем всей совокупности возможных реализаций"^[1].

«Процессы, вероятностная структура которых не изменяется со временем, являются стационарными»^[2].

«Случайный процесс с дискретным временем называют стационарным, если распределение величин Y_t, Y_t2,…, Y_tn совпадает с распределением Y_t 9 Y_t2+,…, Y_tnH для любого конечного множества целых чисел {t_{,… t_n) и любого целого ?»^[3].

«Случайная функция X (t) называется стационарной в широком смысле, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов t_{ и t₂: K_x(tt₂) = K_x(т), где т = r₂ — t_{.

Случайная функция X (t) называется стационарной в узком смысле, если ее /г-мерный закон распределения при любом п зависит только от интервалов t₂ — t_{y… и совсем не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В практических задачах обычно применяют понятие стационарной функции в широком смысле"^[4].

«Стохастический процесс Y_t называется стационарным в сильном смысле (строго стационарным или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей всех переменных y_t{> y_t2, …, y_tn точно такое же, что и для переменных %_2+t,…, y_w

Под стационарным процессом в слабом смысле (в широком смысле) понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными"^[5].

Итак, для стационарного случайного процесса характерна неизменность во времени его основных вероятностных характеристик, таких, как математическое ожидание и дисперсия. Понятно, что оценки этих величин с увеличением членов ряда будут только улучшаться и приближаться к их истинным значениям. Зная это, дадим следующее определение стационарного ряда.

Под стационарными рядами понимаются случайные процессы, характеристики которых не меняются с течением времени t, т. е. они инвариантны относительно временных сдвигов:

при любом фиксированном действительном т.

Характеристики этих процессов (математическое ожидание, дисперсия и пр.) следует найти с заданной степенью точности, в результате чего задача прогнозирования таких стационарных процессов становится чрезвычайно простой.

В то же время стационарные процессы могут иметь самый различный характер динамики — изменение одной их части не имеет ярко выраженных тенденций, динамика другой — имеет явно выраженную тенденцию изменения, которая может носить и очень сложный нелинейный характер.

В первом случае обратимый стационарный процесс протекает в однородных условиях, когда внешняя среда стабильна и подвержена разве что воздействию случайных факторов слабой силы. Во втором — внешняя среда не однородна и претерпевает некоторое изменение. В ответ на это неоднородное изменение изучаемый процесс также меняет свои количественные характеристики.

Поэтому стационарная группа типов динамики временного ряда может быть в свою очередь разделена на две подгруппы:

• • однородный обратимый процесс;
• • неоднородный обратимый процесс.

Для группы факторов однородного типа выполняется условие неизменности во времени их математического ожидания и других характеристик случайных процессов.

Если же математическое ожидание и иные характеристики вероятностного процесса претерпевают изменение во времени под воздействием неоднородной внешней среды, то для таких рядов и процессов их математическое ожидание представляет собой некоторую функциональную зависимость от состояния внешних факторов.

Как следует из условия стационарности, для наиболее полного анализа стационарных процессов следует собрать как можно больше статистических данных о них. В этом случае удастся тем более точно определить и спрогнозировать характеристики процесса, чем более полной будет выборка наблюдений за ними.

Выделив стационарные процессы в указанные две группы, мы тем самым легко определяем и математический аппарат их исследования и прогнозирования. Однородные стационарные процессы применительно к социально-экономическим объектам анализируются и прогнозируются с помощью методов математической статистики. Чаще всего применительно к социально-экономическим процессам для рядов такого типа можно утверждать наличие закона нормального распределения и поэтому основные усилия должны быть направлены на доказательство данного положения с помощью соответствующих статистических гипотез и методов их проверки, а после этого — на вычисление характеристик процесса. Если удалось подтвердить гипотезу о нормальном характере распределения изучаемого ряда, то лучшей оценкой его математического ожидания выступает средняя арифметическая, а лучшей оценкой дисперсии — выборочная дисперсия. Причем, здесь уместен основной принцип выборочного метода — чем больше наблюдений, тем лучше оценки модели.

Неоднородные стационарные процессы свидетельствуют о наличии множества факторов, меняющих свои количественные характеристики и воздействующих на объект, показатели которого в ответ на это воздействие меняются во времени. Поэтому задачей прогнозиста является выявление факторов, влияющих на процесс и построение модели, описывающей их количественное влияние на объект прогнозирования. И в этом случае оценки прогнозных моделей с увеличением числа наблюдений улучшаются. Основная сложность при прогнозировании неоднородных стационарных процессов заключается в том, что часть характеристик этих процессов, в том числе и математическое ожидание процесса, изменяется с изменением внешних условий. Это изменение чаще всего носит сложный нелинейный характер, который априорно неизвестен прогнозисту, перед которым стоит очень непростая задача определить закон изменения математического ожидания, понять и математически описать сложную структуру данного процесса. Здесь исследователь вынужден прибегать к некоторым априорным предположениям — допускать наличие того или иного закона распределения вероятностей, свойств процесса и его взаимосвязей, характера динамики и т. п. В данном случае наиболее эффективно может использоваться раздел экономической науки, получивший название эконометрии.

Нестационарные обратимые процессы, в противоположность стационарным, характеризуются такими изменениями их основных характеристик, которые не вытекают из прежних значений. Под нестационарными в промежуток времени от t до t + т обратимыми процессами понимаются такие из них, характеристики которых меняются вариантно относительно временных сдвигов:

при фиксированном т {действительном или целочисленном), где приращение Дy{t + т) определяется характеристиками процессов в предыдущие моменты времени.

Нестационарные процессы, происходящие в условиях однородности внешней среды, являются результатом некоторого выхода характеристик объекта прогнозирования за пределы номинальных значений. Следует напомнить, что номинальными считаются значения, которые соответствуют нормальным условиям функционирования. Поскольку функционирование происходит в условиях однородной среды, то причиной нестационарное™ является такое случайное сочетание факторов внешней среды, которое создает условия, выходящие за номинальные. Понятно, что вероятность действия всех случайных факторов в одном направлении почти равна нулю, но не равна ему в точности. Поэтому крайне не часто, но все же встречаются ситуации, когда все условия одновременно складываются неблагоприятным для объекта прогнозирования образом и это их случайное сочетание приводит к тому, что объект ведет себя не гак, как прежде, т. е. нестационарно.

Примером такого поведения может служить ледоход, когда ранней весной на реках вскрывается лед и льдины плавно перемещаются, но течению реки. Вероятность того, что все льдины вдруг столкнутся и будут «наползать» одна на другую, образуя затор, невелика. Но иногда действие случайных факторов таково, что это происходит (ветер, изменив направление, сдвигает льдины друг к другу; ручей, стекающий в реку, подмывает корни старого дерева, росшего на берегу реки, и оно упало в воду и др.). В результате всех этих случайно сложившихся условий на реке образуется затор. Плавное стационарное течение реки перешло в нестационарное — образовавшийся затор задерживает все новые льдины, которые закупоривают реку и она выходит из берегов, заливая окрестности. Со временем под воздействием температуры затор разрушается, и вся накопившаяся вода потоком устремляется вниз по течению, сея разрушения и наводняя сушу.

Это и будет нестационарным процессом, возникшим в условиях однородности. Процессы такого типа хорошо изучены в естественнонаучных и инженерных дисциплинах, где они называются «переходными процессами». Поскольку эти процессы обратимы, исследователь может неоднократно создавать условия для их возникновения, тщательно изучать их и описывать с помощью математических моделей.

В математической статистике процессы подобного рода рассматривают как переход стационарного процесса от одного уровня к другому. Чаще всего говорят о нестационарности случайного процесса «за счет переменного математического ожидания»¹ — в таком случае следует просто определить форму и характеристики этого математического ожидания и вычесть его от уровней ряда. Довольно часто переход от одного состояния стабильности к другому характеризуется постоянством первой или второй производной. Поэтому для прогнозирования таких нестационарных процессов используют различные процедуры их приведения к стационарному виду — исследуют и моделируют первые или вторые разности вместо исходных уровней ряда, или, обнаружив явление автокорреляции, устраняют ее.

Основной характеристикой нестационарных процессов в условиях однородности, в соответствии с (1.11) является приращение Ay (t + т), которое представляет собой некоторую функцию от уровня ряда в предыдущие значения времени, т. е.

при фиксированном т.

Ситуация значительно усложняется, когда нестационарный процесс протекает в условиях неоднородности. Факторы внешней среды при этом претерпевают значительные изменения, что оказывает влияние на объект прогнозирования и его поведение, причем эти изменения не вытекают ни из свойств самого процесса, ни из состояния внешней среды. Сам объект, адаптируясь к этим внешним изменениям, меняет свои характеристики — качественные и количественные. Наступают необратимые изменения в процессе, которые отражены в ряде динамики его показателей.

В зависимости от того, насколько меняются во времени приращения Дг/(т), такие необратимые процессы могут быть выделены в две подгруппы: хаотические и эволюционные процессы.

В случае, когда приращения Дг/(т) не имеют какой-либо достаточно гладкой тенденции во времени и их изменения хаотичны (например, на первом же наблюдении Дг/(т) может быть достаточно велико в сравнении с самим показателем.

Вентцель Е. С. Теория вероятностей: учебник. М.: КноРус, 2010. С. 481.

у (т)), такие процессы могут быть отнесены к хаотическим. Отношение Ay (t + т) / y (t + т) непредсказуемо в любой момент времени — по модулю оно может быть очень большим либо близиться к нулю. Моделированием подобных нестационарных неоднородных процессов занимаются теория хаоса и теория катастроф.

Если приращения Ау (х) постепенно нарастают с течением времени в результате количественных и качественных изменений, происходящих в объекте, чьей реализацией является нестационарный ряд, то эти процессы могут быть названы эволюционными. При этом отношение Ау (х) / y (t + т), характеризующее нарастание неопределенности, имеет увеличивающуюся со временем т динамику — от нуля до бесконечности:

причем эта динамика может быть как положительной, так и отрицательной Эволюционные процессы в социально-экономической динамике обусловлены влиянием различных факторов, но основной из них обусловлен особенностями человеческого фактора. Человек накапливает знания на собственном опыте, получает знания от других, рационализирует свой труд и труд других людей, на основе полученных знаний меняет свое отношение к потребляемым товарам, к труду и др. Всю жизнь человеку сопутствуют новшества, которые ему предлагает общество, или которые он сам предлагает обществу. Поэтому не будет ошибкой считать, что главной причиной эволюционного характера развития социальноэкономических объектов выступают инновационные процессы, непрерывно протекающие в обществе.

Под влиянием инноваций происходит постепенная смена технологий, уклада хозяйствования, структуры и методов управления. Величина этих «возмущающих» воздействий инноваций на характер динамики социально-экономического объекта ограничивается инерционностью объекта. И именно поэтому отклонения в тенденциях носят постепенный характер, предопределяя эволюционный характер развития процесса.

Хаотический характер динамики возникает в тех случаях, когда или сам процесс не инерционен и легко меняет под воздействием внешних или внутренних факторов динамику развития, или же когда на инерционный процесс воздействуют внешние факторы такой силы, что под их воздействием ломаются и внутренняя структура процесса, и его взаимосвязи, и его динамика.

Иначе говоря, эволюционная динамика характеризует процесс адаптации объекта к внешним и внутренним воздействиям, а хаотическая динамика — отсутствие способности объекта к адаптации.

Сложный характер нестационарной динамики предопределяет и сложность аппарата моделирования и прогнозирования этой динамики.

Прогнозирование эволюционных процессов до последнего времени не попадало в поле зрения специалистов по социально-экономическому прогнозированию как самостоятельная задача, и только в последние годы в учебники по прогнозированию стали включаться соответствующие разделы. На практике эволюционные процессы просто не выделяли в отдельную группу, и для их анализа и прогнозирования использовали приемы классической эконометрии, не задумываясь над корректностью такого применения. Использование аппарата прогнозирования, методологически несовместимого со свойствами объекта прогнозирования, приводит к возникновению серьезных ошибок инструментария и существенной дисперсии прогноза в практике прогнозирования социально-экономической динамики. Для прогнозирования временных рядов социально-экономических показателей эволюционного типа методологически обоснованным является применение адаптивных методов прогнозирования^[6].

Теперь, выяснив особенности социально-экономических процессов, их рассмотренную выше классификацию можно представить в виде схемы (рис. 1.1). На ее основе в дальнейшем и будет излагаться материал настоящего учебника. Исходя из общенаучного принципа «от простого — к сложному», вначале будут изложены методы прогнозирования стационарных социально-экономических процессов.

Рис. 1.1. Классификация социально-экономических процессов по типу динамики.

Затем мы перейдем к рассмотрению методов прогнозирования нестационарных социально-экономических процессов, уделяя особое внимание необратимым процессам эволюционного характера. Хаотическим процессам и их прогнозированию в данном учебнике внимание не уделяется — это сложная тема, выходящая за рамки учебника для студентов экономических специальностей и направлений вузов.

При изложении методов прогнозирования по каждому из типов социально-экономической динамики мы будем рассматривать методы краткосрочного, а затем среднесрочного прогнозирования. Дальнесрочные методы прогнозирования, нацеленные на оценку далекой перспективы, получаются с помощью экспертных и комбинированных методов прогнозирования, методами имитационного динамического моделирования. Поэтому они рассматриваются в конце издания отдельно.

• [1] Килъдишев Г. С., Френкель А. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Статистика, 1973. С. 16—17.
• [2] Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.С. 189.
• [3] Там же. С. 409.
• [4] Справочник, но математике для экономистов: учеб, пособие / под ред.проф. В. И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2007. С. 361.
• [5] Афанасьев В. Я, Юзбашев А/. М. Анализ временных рядов и прогнозирование. С. 258—259.
• [6] Светуньков С. Г. Эконометрические методы прогнозирования спроса (на примере промышленной электроэнергетики). М.: Изд-во МГУ, 1993.