Дисперсия рентгеновских лучей [1]

При прохождении рентгеновских лучей через границу раздела двух сред направление падающего луча изменяется. При этом падающий и преломленный лучи расположены в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела в точке падения. Угол скольжения между падающим лучом и касательной плоскостью к поверхности раздела в точке падения обозначим.

t. Угол между преломленным лучом и той же плоскостью обозначим ф₂. Отношение косинусов этих углов называется относительным показателем преломления л_1>2 второй среды по отношению к первой:

Если луч входит из вакуума в среду под углом.

0 к касательной плоскости и распространяется внутри среды под углом ф к этой плоскости, то величина.

называется абсолютным показателем преломления среды. Отношение абсолютных показателей преломления двух сред равно их относительному показателю преломления, как это следует из рис. 2.11:

Зависимость показателя преломления п от длины волны к излучения называется дисперсией.

Согласно электромагнитной теории света под влиянием электромагнитной волны, проникающей из первой среды во вторую, электроны атомов второй среды приходят в вынужденные колебания, благодаря которым через вторую среду распространяется индуцированная волна.

Рис. 2.11. Прохождение рентгеновского излучения из вакуума через границу двух сред.

Наложение индуцированной волны на первичную дает результирующую волну, распространяющуюся через вторую среду с измененным направлением. Это и приводит к тому, что показатель преломления отличен от единицы.

Скорость распространения результирующей волны называется фазовой скоростью. Как известно, отношение фазовых скоростей и и и₂ равно относительному показателю преломления:

Если луч входит в среду из вакуума, то абсолютный показатель преломления равен.

Из электромагнитной теории света также известно, что абсолютный показатель преломления связан с диэлектрической проницаемостью среды е следующим соотношением:

Так как при прохождении излучения из одной среды в другую период Т колебаний не меняется, а следовательно, не меняется и частота v колебаний, то длина волны X = u/v изменяется по закону.

Для случая, когда луч входит в среду из вакуума, получим:

где Ао — длина волны в вакууме, X — длина волны в среде, п — абсолютный показатель преломления среды.

Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси у и поляризованную в плоскости ху. Электрический вектор Е такой волны будет направлен параллельно оси х. Если в момент времени / = 0 в точке у = 0 напряженность электрического поля равна Е₀, то в момент времени 1 в той же точке Е = ?oexp (i (Of), а в точке с ординатой у в момент времени t напряженность поля Е будет равна значению напряженности электрического поля в точке у = О на у/с секунд ранее:

Под влиянием этого поля электрон^{-оболочки} атома, расположенного на оси у в точке, удаленной от начала координат на величину у, находится под действием силы — еЕ (у, t), вызывающей колебательные движения электрона. Уравнение движения электрона будет иметь вид.

где F (x_q) — -та>_ч²х_ч — квазиупругая сила, удерживающая.

_ЛЛ._Л 2е²…

электрон в положении равновесия,.

3<�г фиктивного торможения, учитывающая потери электрона на излучение.

Решение уравнения движения (2.26) будем искать в виде колебаний с частотой и фазой вынуждающего эти колебания электрического поля.

Подставляя это выражение в исходное уравнение, определим х₀:

откуда сразу находим х_ч:

Величина x_q представляет собой смещение электрона под действием внешнего поля, т. е. характеризует поляризацию. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то направление вектора поляризации противоположно направлению смещения. Если число g-электронов в единице объема обозначим п_ч, то объемная поляризация среды равна.

Диэлектрическая проницаемость среды выражается через поляризацию Р по формуле 8=1 + ЛпР/Е, а полная поляризация среды Р определяется поляризацией электронов атомов в единице объема вещества: Р = «ZqPq, откуда.

где через z_q обозначена частичная диэлектрическая проницаемость среды.

Подставляя сюда x_q по (2.27), получим.

где введены следующие обозначения:

Согласно (2.22) и (2.29):

так как 8," 1 и p_? «1.

Величина $_q непосредственно связана с частичным линейным коэффициентом поглощения для^{-электронов} x_q: т, = (4я/Х)р,[1].

Преобразуем выражение (2.30) в виде.

где Ь_ы = (е²/Зшс³)со². В области значений со, близких к со₉, b_a = (e²/3mc³)(o_q² и характеризует затухание. В этом случае первое слагаемое в знаменателе (2.33) может стать меньше второго.

Если исключить область значений со, близких к оо₉, то первое слагаемое в знаменателе (2.33) будет значительно больше второго.

Пренебрегая затуханием и поглощением = 0 — теория дисперсии Лоренца), найдем.

Если X < X_q, что имеет место именно в рентгеновской области длин волн, то со > со₉ и 8 > 0. Следовательно, в рентгеновской области спектра действительная часть показателя преломления Re (/?) < 1, тогда как с увеличением длины волны и переходом в оптическую область спектра мы получим для большинства электронов атома X>X_q, со < со₉, 8 1.

Рис. 2.12. Зависимость показателя преломления среды от длины волны [10].

Таким образом, в рентгеновской области спектра всякая среда оптически менее плотна, чем вакуум. Значит и фазовая скорость распространения рентгеновского излучения в среде больше скорости света, но групповая скорость распространения, v = ды/дк, где к = (со/с)и (со), определяющая скорость движения энергии рентгеновского излучения, меньше скорости света.

В рассматриваемом случае при X «Х_ч получим.

где п — полное число электронов в единице объема среды. Как видно из (2.35), с возрастанием длины волны X величина 8 быстро растет.

Теория Лоренца находится в хорошем соответствии с экспериментальными результатами вдали от АГ-края поглощения со стороны коротких волн, хуже согласуется со стороны длинных волн и совершенно неудовлетворительна вблизи краев поглощения (см. рис. 2.13).

Рис. 2.13. Зависимость 8/Х² для кальцита (Я, в А). Сплошная линия — зависимость по теории Лоренца (2.35). Кружки — экспериментальны е данные [1].

Более точное соответствие теории и эксперимента было получено в классической теории дисперсии при учете поглощения (р_(/ Ф 0) и в квантовой теории дисперсии с учетом экранирования уровней атома внешними электронами [1]. Названные теории существенно отличаются от теории Лоренца в области длин волн, близких к^{-границам} поглощения. Если вдали от (/-границ справедливо соотношение (2.35), то вблизи (/-границы этот закон нарушается и имеет место так называемая аномальная дисперсия.