Изоморфизм. 
Числовые системы

6.2.3. Теорема. Изоморфный образ поля комплексных чисел есть поле комплексных чисел.

Доказательство. По 5.4.3, изоморфный образ поля действительных чисел есть поле действительных чисел, остальное сводится к несложной проверке. ?

6.2.4. Теорема. Любые два поля комплексных чисел изоморфны.

Доказательство. Пусть даны два поля комплексных чисел (С, +,•) и (Cj,+,•), причем первое из них содержит поле действительных чисел (/?,+,*) и мнимую единицу /, а второе — поле действительных чисел (/?,+,•) и мнимую единицу /,. В предыдущей главе установлено, что любые два поля действительных чисел изоморфны, поэтому существует изоморфизм (р поля. Используя <�р, определим отображение /, положив f (a+Ы) = (р{а) + (р{Ь)? i_x для любого а+bieC. Легко доказать, что / - искомый изоморфизм (С, +,•) на (С,+, •). ?

Расширении числовых систем, связанные с решением уравнений

Введение

целых чисел мотивировалось необходимостью обеспечить решение уравнения а + х = Ь (не всегда разрешимого в натуральных числах), введение рациональных чисел было связано с решением уравнений вида ах = Ь (не всегда разрешимых в целых числах), комплексных — с решением уравнения х² = -1. При введении действительных чисел также отмечались уравнения, например, х² =2, которые не разрешимы в поле рациональных чисел, но получают решение в поле действительных чисел. Однако решающую роль в формировании определения системы действительных чисел сыграли геометрические соображения: обеспечение решения задачи об измерении отрезков. Дело в том, что если бы мы, расширяя поле рациональных чисел, заботились лишь о том, чтобы получить поле, в котором разрешимо всякое уравнение с рациональными коэффициентами, то получили бы так называемое поле алгебраических чисел. Напомним, что число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными (а значит, и некоторого многочлена с целыми) коэффициентами. Всякое рациональное число является алгебраическим. Действительные числа V2 и V5 являются алгебраическими, а значит, их сумма, разность, произведение и частное также являются алгебраическими (найдите многочлены с целыми коэффициентами, корнями которых они являются). Вообще, множество всех алгебраических чисел замкнуто относительно сложения и умножения, причем образует поле. Действительные числа л-, е не являются алгебраическими, такие числа называются трансцендентными. Таким Л + 3⁵″ являются алгебраическими (докажите это). На рисунке 14 показано взаимное расположение множества алгебраических чисел л и множества чисел Q, R и С.

образом, поле действительных чисел не совпадает с полем алгебраических чисел. С другой стороны, поле алгебраических чисел «захватывает» часть комплексных чисел. Например, числа /, 2 + 3/,.

Рис. 14.

Поражает неожиданностью тот факт, что во множестве действительных чисел

трансцендентных чисел существенно «больше», чем алгебраических:

трансцендентных чисел «столько же», сколько всех действительных чисел, в то время как алгебраических действительных чисел «столько же», сколько натуральных чисел. Точнее, множество алгебраических действительных чисел счетно, а множество трансцендентных чисел равномощно множеству всех действительных чисел, а значит, в частности, нс является счетным.

При введении поля комплексных чисел мы стремились лишь обеспечить разрешимость уравнения лг=-1, но достигли большего: всякий многочлен степени большей или равной 1 с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. В этом состоит алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел, впервые доказанная К. Ф. Гауссом (1777−1855). Таким образом, с введением поля комплексных чисел идея расширения числовых множеств, связанная с разрешимостью уравнений, получает свое завершение. Дальнейшие расширения связаны с другими идеями.

Упражнения

1. Докажите, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц вида.

где a, beR.

• 2. Рассматривая матрицы из предыдущего упражнения как матрицы линейных операторов 2-мерного векторного пространства над полем R, выясните геометрический смысл этих преобразований.
• 3. Докажите 6.2.3.
• 4. Являются ли множества R и С равномощными?
• 5. Существует ли нетождественное изоморфное отображение поля комплексных чисел на себя?
• 6. Рассмотрите аддитивную группу (С, +> и укажите в ней несколько подгрупп. Существуют ли в ней конечные подгруппы?
• 7. Рассмотрите мультипликативную группу (С*,-), где С* = {с€С|с*0}, и укажите в ней несколько подгрупп. Существуют ли в ней конечные подгруппы?